2.2.2 事件的相互独立性 同步学案

选修2-3 第二章 §2.2.2 事件的相互独立性
班级 姓名
学习目标
1．了解相互独立事件的意义，求一些事件的概率；
2．理解独立事件概念以及其与互斥，对立事件的区别与联系．
学习过程
一、课前准备
复习1：把一枚硬币任意掷两次，事件“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则等于？
复习2：已知，，则 成立．
A． B． + C． D．
二、新课导学
※ 学习探究
探究一：
3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学有放回地抽取，事件为“第一名同学没有抽到奖券”，事件为“最后一名同学抽到奖券”，事件的发生会影响事件发生的概率吗？
新知1：事件与事件相互独立：
设为两个事件，若 ，则称事件与事件相互独立．
注意三点：
① 在事件与相互独立的定义中，与的地位是对称的；
② 如果事件与相互独立，那么与，与，与也都相互独立；
③ 不能用作为事件与事件相互独立的定义，因为这个等式的适用范围是．
试一试：
分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设事件为“第1枚为正面”，事件为“第2枚为正面”，事件为“2枚结果相同”，问：中哪两个相互独立？
小结：判定相互独立事件的方法：
① 由定义，若，则独立；
② 根据实际情况直接判定其独立性．
※ 典型例题
例1、某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码．
变式1：两次都没有抽到指定号码的概率是多少？
思考：二次开奖至少中一次奖的概率是一次开奖中奖概率的两倍吗？
例2、下列事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
（1）“掷一枚硬币，得到正面向上”与“掷一枚骰子，向上的点是点”；（ ）
（2）“在一次考试中，张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的成绩不及格”； （ ）
（3）在一个口袋内有白球、黑球，则“从中任意取个球得到白球”与“从中任意取个得到黑球”
（ ）
变式2、天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都降雨的概率；（2）甲、乙两地都不降雨的概率；（3）其中至少一个地方降雨的概率．
变式3、某同学参加科普知识竞赛，需回答个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得分、分、分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为，且各题答对与否相互之间没有影响．
（1）求这名同学得分的概率； （2）求这名同学至少得分的概率．
变式4、一个口袋内装有2个白球和2个黑球，
（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是＿＿＿＿＿＿；
（2）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是＿＿＿＿＿＿．
三、总结提升
1．相互独立事件的定义；
2．相互独立事件与互斥事件、对立事件的区别．
课后作业
一、基础训练题
1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
2．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是(　　)
A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1) C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)
3．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为(　　)　　21*cnjy*com
A. B. C. D.
4．从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是(　　)
A．2个球都是白球 B．2个球都不是白球 C．2个球不都是白球 D．2个球中恰好有1个白球
5．(2010·广州模拟)在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内，至少有1人去此地的概率是(　　)
A. B. C. D.
6．甲、乙两同学同时解一道数学题，设事件A：“甲同学做对”，事件B：“乙同学做对”，用事件A，B表示下列事件：
(1)甲同学做错，乙同学做对为________； (2)甲、乙两同学同时做错为________；
(3)甲、乙两同学中至少一人做对为________； (4)甲、乙两同学中至多一人做对为________；
(5)甲、乙两同学中恰有一人做对为________．
7．设A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A·)＝ ；P(·)＝__ _.wm
8．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________．
9．(2010·重庆文，14)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________．
10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．
11．某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意取出2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
(1)求取出6件产品中有一件产品是二等品的概率；
(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．21·cn·jy·com
二、提高训练题
12．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝________，P(A|B)＝________.21·世纪*教育网
13．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．
14．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
选修2-3 第二章 §2.2.2 事件的相互独立性参考答案
1、[答案]　A
[解析]　P甲＝＝，P乙＝，所以P＝P甲·P乙＝.
2、[答案]　B
[解析]　设甲解决问题为事件A，乙解决问题为事件B，恰有一人解决为事件B＋A，由题设P(A)＝p1，P(B)＝p2，∴P(B＋A)＝P(B)＋P(A)＝P()·P(B)＋P(A)·P()＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)．
3、[答案]　C
[解析]　由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.
在这段道路上三处都不停车的概率为P＝××＝.
4、[答案]　C
[解析]　从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，
故两个球都是白球的概率为P1＝×＝，∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝.
5、[答案]　C
[解析]　解法一：设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B，
则至少1人去此地的概率为P＝P(A)·P()＋P()P(B)＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝.
解法二：考查对立事件P＝1－P()·P()＝1－×＝.
6、[答案]　(1)·B (2)· (3)A·＋·B＋A·B (4)·＋A·＋·B (5)A·＋·B
[解析]　由于事件A和B是相互独立的，故只须选择适合的形式表示相应的概率即可．
7、[答案]　　
[解析]　∵P(A)＝，P(B)＝，∴P()＝，P()＝. ∴P(A·)＝P(A)·P()＝×＝.
P(·)＝P()·P()＝.
8、[答案]　
[解析]　甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1)＝××＝，
乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝××＝，
丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3)＝××＝.
甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1＋A2＋A3)＝＋＋＝.
9、[答案]　
[解析]　本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法．
设加工出来的零件为次品为事件A，则为加工出来的零件为正品．
P(A)＝1－P()＝1－(1－)(1－)(1－)＝.
10、解　设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)∵A，B，C相互独立，∴恰有一名同学当选的概率为
P(A··)＋P(·B·)＋P(··C)＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋P()·P()·P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为1－P(A·B·C)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－××＝.
解　设Ai表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0,1；
Bi表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0,1,2.
(1)依题意所求的概率为P1＝P(A1·B0)＋P(A0·B1)＝P(A1)·P(B0)＋P(A0)·P(B1)＝·＋·＝.
(2)所求的概率为P＝1－P(A0·B0)－P1＝1－·－＝.
12、[答案]　0.65　0.3
[解析]　∵事件A，B相互独立，∴，也相互独立．
由P(A＋B)＝1－P(·)＝1－P()P()可知，P(A＋B)＝1－0.7×0.5＝0.65.
P(A|B)＝P(A)＝0.3.
13、解　(1)由题意得甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.
P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝2)＝×＋×＝， P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝， P(ξ＝8)＝×＝.
∴甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
ξ
0
2
4
6
8
P





14、解　(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)＝＝＝，P(B)＝＝＝.
(2)方法1：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P(·)＝P()·P()＝×＝.
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(·)＝1－＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
方法2：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝P(A·)＋P(·B)＋P(A·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.