2.2.3独立重复试验与二项分布 同步学案

选修2-3 第二章 §2.2.3独立重复试验与二项分布
班级 姓名
学习目标
1．理解离散型随机变量的分布列的两种形式；
2．理解并运用两点分布和超几何分布．
学习过程
一、课前准备
复习1：生产一种产品共需道工序，其中1～5道工序的生产合格率分别为96%，99%，98%，97%，96%，现从成品中任意抽取件，抽到合格品的概率是多少？
复习2：掷一枚硬币 3次，则只有一次正面向上的概率为 ．
二、新课导学
探究1：在次重复掷硬币的过程中，各次掷硬币试验的结果是否会受其他掷硬币试验的影响？
新知1：独立重复试验：
一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
在n次独立重复试验中，记是“第次试验的结果”．
显然， ；
独立重复试验的特点：
（1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；
（2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。
探究2：投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为，则针尖向下的概率为，连续掷一枚图钉次，仅出现次针尖向上的概率是多少？
新知2：二项分布：
一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为：
= ，
则称随机变量服从二项分布．记作：～（n，p），并称为 概率．
试一试：（1）将一枚硬币连续抛掷5次，则正面向上的次数的分布列为（ ）
A. B. C. D.
（2）随机变量，则=（ ）
A.0.192 B.0.288 C.0.648 D. 0.254
※ 典型例题
例1、某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射击手在次射击中．
（1）恰有次击中目标的概率； （2）至少有次击中目标的概率．
变式1：1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列； (2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
例2、某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9，如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分布列．
例3、 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
(1)试求甲打完5局才能取胜的概率．(2)按比赛规则甲获胜的概率．
例4、某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡的寿命为1年以上的概率为，寿命为2年以上的概率为。从使用之日起每满年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。
（1）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（2）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（3）当时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率。（结果保留两个有效数字）
三、总结提升
1．独立重复事件的定义；
2．二项分布与二项式定理的公式．
课后作业
一、基础训练题
1．独立重复试验应满足的条件是：
①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生与不发生两种结果之一；
③每次实验发生的机会是均等的； ④各次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是(　　)
A．①②　　　　　　　B．②③ C．①②③ D．①②④
2．有5粒种子，每粒种子发芽的概率均为98%，在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是(　　)
A．0.984×0.02 B．0.98×0.24 C．C×0.984×0.02 D．C×0.98×0.024
3．已知η～B(6，)，则P(η＝4)等于(　　)
A. B. C. D.
4．若ξ～B(10，)，则P(ξ≥2)＝(　　)
A. B. C. D.
5．在4次独立重复试验中，事件出现的概率相同，若事件A至少出现一次的概率为，则事件A在一次试验中出现的概率为(　　)
A. B. C. D.
6．(2010·湖北文，13)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．
7．下面四个随机变量：
①随机变量ξ表示重复投掷一枚硬币n次，正面向上的次数；
②有一批产品共有N件，其中M件是次品，采用有放回抽取的方法，则η表示n次抽取中出现次品的件数；
③其命中率为P(0④随机变量ξ为观察n次射击中命中目标的次数．
上述四个随机变量服从二项分布的是 ．
8．一袋中装有5个红球，3个白球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现8次为止，记ξ为取球的次数，则P(ξ＝10)＝________________(写出表达式即可)．21
9．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥1)＝________.y.com
10．某校的有关研究性学习小组进行一种验证性试验，已知该种试验每次成功的概率为.
(1)求他们做了5次这种试验至少有2次成功的概率；
(2)如果在若干次试验中，累计有两次成功就停止试验，求该小组做了5次试验就停止试验的概率．
11．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．21教育网
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．
12．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人各次射击是否击中目标相互之间没有影响．2·1·c·n·j·y
(1)求甲射击4次至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．
二、提高训练题
13．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)
A．()5 B．C()5 C．C()3 D．CC()5
14．(2010·全国Ⅰ理，18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．
(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列．
选修2-3 第二章 §2.2.3独立重复试验与二项分布参考答案
1、[答案]　C
2、[答案]　C
3、[答案]　B
[解析]　P(η＝4)＝C()4(1－)2＝C()4()2＝.
4、[答案]　C
[解析]　P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－C()0()10－C()()9＝1－－＝.
5、[答案]　A
[解析]　设事件A在一次试验中出现的概率为p，则1－(1－p)4＝，
∴(1－p)4＝，∴1－p＝.∴p＝.
6、[答案]　0.9477
[解析]　本题主要考查二项分布．C·0.93·0.1＋(0.9)4＝0.9477.
7、[答案]　①②④
8、[答案]　C()8()2
[解析]　依题意知，ξ＝10表示“取得红球的事件”，在前9次恰有7次取得红球，第10次取得红球，故P(ξ＝10)＝C()7()2×＝C()8()2.
9、[答案]　
[解析]　P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝.
∴P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－(1－p)4＝1－4＝.
解：(1)设5次试验中，只成功一次为事件A，一次都不成功为事件B，至少成功2次为事件C，
则P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝1－C()1()4－C()5＝1－－＝.
所以，5次试验至少2次成功的概率为.
该小组做了5次试验，依题意知，前4次仅成功一次，且第5次成功．设该事件为D，
则P(D)＝C()4×＝.
所以做了5次试验就停止的概率为.
解　(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，
“该人参加过计算机培训”为事件B，
由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.
任选1名下岗人员，该人没有参加培训的概率是
P1＝P(·)＝P()·P()＝0.4×0.25＝0.1.
所以该人参加过培训的概率是
P2＝1－P1＝1－0.1＝0.9.
因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布
B(3,0.9)，P(ξ＝k)＝C×0.9k×0.13－k，(k＝0,1,2,3)，
即ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
12、解　(1)记“甲射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－4＝.
所以甲射击4次至少有一次未击中的概率为.
记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A.
“乙射击4次恰有3次击中目标”为事件B，则
P(A)＝C×22＝，
P(B)＝C×3＝.
由于甲、乙射击相互独立，故
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
所以两人各射击4次，甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为.
13、[答案]　B
[解析]　由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C()3()2＝C()5＝C()5.
14、[分析]　本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．(1)“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解．(2)X服从二项分布，结合公式求解即可．
[解析]　(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用．
则D＝A＋B·C，
而P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3
故P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.4.
(2)随机变量X服从二项分布，即X～B(4,0.4)，
X的可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.1 296
P(X＝1)＝C×0.4×(1－0.4)3＝0.3 456
P(X＝2)＝C×0.42×(1－0.4)2＝0.3 456
P(X＝3)＝C×0.43×(1－0.4)＝0.1 536
P(X＝4)＝0.44＝0.0 256
故其分布列为