2.3.1离散型随机变量的均值(1)同步学案

选修2-3 第二章 §2.3.1离散型随机变量的均值(1)
班级 姓名
学习目标
1．理解并应用数学期望来解决实际问题；
2．各种分布的期望．
学习过程
一、课前准备
复习1、甲箱子里装个白球，个黑球，乙箱子里装个白球，个黑球，从这两个箱子里分别摸出个球，则它们都是白球的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
复习2、某企业正常用水的概率为，则天内至少有天用水正常的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
二、新课导学
※ 学习探究
探究：某商场要将单价分别为元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按的比例混合销售，应该对混合糖果定价为＿＿＿＿＿＿＿才合理？
新知1：均值或数学期望：
若离散型随机变量的分布列为：
…
…
…
…
则称 为随机变量的均值或数学期望．
它反映离散型随机变量取值的 ．
新知2：离散型随机变量期望的性质：
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
…
…
…
…
…
…
※ 典型例题
例1、在篮球比赛中，罚球命中次得分，不中得分．如果某运动员罚球命中的概率为，那么他罚球次的得分的均值是多少？
例2、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望。


新知3：
① 若服从两点分布，则；（为成功的概率）
② 若～，则．（为成功的概率）
例3、一次单元测验由个选择题构成，每个选择题有个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得分，不选或选错不得分，满分分．学生甲选对任意一题的概率为，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求甲学生和乙学生在这次测验中的成绩的均值 ．
思考1、学生甲在这次单元测试中的成绩一定会是分吗？他的均值为分的含义是什么？
三、总结提升
1．随机变量的均值；
2．各种分布的期望．
课后作业
一、基础训练题
1．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为(　　)
A．无法求　　 B．0 C．E(X) D．2E(X)
2．设E(ξ)＝10，E(η)＝3，则E(3ξ＋5η)＝(　　)
A．45　　 　 B．40　　 　 C．30　　 　 D．15
3．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)＝(　　)
A．3×0.64 B．2×0.45 C．2×0.44 D．3×0.44
4．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝(　　)
A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.22
5．设随机变量X的分布列如下表所示且E(X)＝1.6，则a－b＝(　　)
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A.0.2 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4
6．(2008·浙江)有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　)
A. B. C. D．1
7．(2010·新课标全国理，6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为(　　)
A．100 B．200 C．300 D．400
8．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，(k＝1,2,3,4)，则E(ξ)的值为________．【来源：21·世纪·教育·网】
9．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)＝________.21·世纪*教育网
10．(2010·江西理，18)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望(均值)．

11．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望；(3)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
二、提高训练题
12．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
P
－p
p

则E(X)的最大值为________．
13．某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元，摸出两个红球可获得奖金50元，现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令ξ表示甲、乙摸球后获得的奖金总额，求：www.21-cn-jy.com
(1)ξ的分布列； (2)ξ的数学期望．
14．(2009·全国Ⅰ·理19)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；
(2)设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及均值．
选修2-3 第二章 §2.3.1离散型随机变量的均值(1)参考答案
1、[答案]　B
[解析]　只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．
∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.
2、[答案]　A
3、[答案]　D
[解析]　由E(ξ)＝0.6n＝3，得n＝5.∴P(ξ＝1)＝C0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.
4、[答案]　B
[解析]　设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件，X的可能取值为0、1、2，
P(X＝0)＝P(·)＝P()·P()＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.
P(X＝1)＝P(A·＋·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22.
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.9×0.85＝0.765.
∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
5、[答案]　C
[解析]　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，①
又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，
得a＋2b＝1.3，②
由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2，故应选C.
6、[答案]　A
[解析]　X＝1时，P＝；X＝2时，P＝.
∴E(X)＝1×＋2×＝＝，
故选A.
7、[答案]　B
[解析]　本题以实际问题为背景，考查的事件的均值问题．
记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.
8、[答案]　
[解析]　E(ξ)＝(1＋2＋3＋4)＝.
9、[答案]　
[解析]　P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
10、[解析]　本题考查学生的全面分析能力，考查学生对事件概率的求解能力以及对文字描述的理解能力．解本题的两个关键点是：一是ξ的所有取值，二是概率．
解：(1)ξ的所有可能取值为：1,3,4,6
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝6)＝，所以ξ的分布列为：
ξ
1
3
4
6
P




(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝(小时)
11、解　(1)ξ可能取的值为0,1,2. P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



(2)由(1)得，ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
(3)由(1)得“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.
12、[答案]　
[解析]　由表可得从而得P∈[0，]，期望值E(X)＝0×(－p)＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.
13、解　(1)ξ的所有可能的取值为0,10,20,50,60.
P(ξ＝0)＝3＝； P(ξ＝10)＝×2＋×＝；
P(ξ＝20)＝×＝； P(ξ＝50)＝×＝； P(ξ＝60)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
10
20
50
60
P





(2)E(ξ)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝3.3(元)．
14、[解析]　设Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.
(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5.
由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
(2)X的可能取值为2,3.
由于各局比赛结果相互独立，所以
P(X＝2)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52，
P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48.
故X的分布列为
X
2
3
P
0.52
0.48
E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.