2.3.1离散型随机变量的均值(2)同步学案
文档属性
| 名称 | 2.3.1离散型随机变量的均值(2)同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 143.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-10 13:40:36 | ||
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文档简介
选修2-3 第二章 §2.3.1离散型随机变量的均值(2)
班级 姓名
学习目标
1．进一步理解数学期望；
2．应用数学期望来解决实际问题．
学习过程
一、课前准备
复习1：设一位足球运动员，在有人防守的情况下，射门命中的概率为，求他一次射门时命中次数的期望
复习2：一名射手击中靶心的概率是，如果他在同样的条件下连续射击次，求他击中靶心的次数的均值？
二、新课导学
探究：某公司有万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类拟项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是 元．
※ 典型例题
例1、根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为，有大洪水的概率为．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失元，遇到小洪水时要损失元．为保护设备，有以下种方案：
方案1：运走设备，搬运费为元
方案2：建保护围墙，建设费为元，但围墙只能防小洪水 ．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好．
变式1：统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？
例2、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
三、总结提升
1．随机变量的均值；
2．各种分布的期望．
课后作业
一、基础训练题
1．口袋中有5只球，编号1,2,3,4,5，从中任取3球，以X表示取出的球的最大号码，则E(X)等于( )
A．4 B．5 C．4.5 D．4.75
2．生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为( )
A. B．1 C. D.
3．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
2
P
0.3
3k
4k
随机变量η＝2ξ＋1，则η的数学期望为( )
A．1.1 B．3.2 C．11k D．22k＋1
4．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为( )
X
1
2
3
4
P
m
n
A. B. C. D.
5．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又X的数学期望E(X)＝3，则a＋b＝________.
6．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．
7．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问题：
(1)若直到取到好电池为止，求抽取次数ξ的分布列及均值；
(2)若将题设中的无放回改为有放回，求检验5次取到好电池个数X的数学期望．
8．某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元，设生产各种产品相互独立．
(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
二、提高训练题
9．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为( )
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
10．(2013·大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
11．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．
选修2-3 第二章 §2.3.1离散型随机变量的均值(2)参考答案
例3、(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
P(X＝6)＝＝0.63， P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1， P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为：
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(x)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(x)≥4.73，即4.76－x≥4.73.
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
1、【答案】 C
【解析】 X的分布列为
X
3
4
5
P
E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5.
2、【答案】 D
【解析】 遇到红灯的次数X～B(4，)，∴E(X)＝.
∴E(Y)＝E(2X)＝2×＝.
3、【答案】 B
【解析】 由0.3＋3k＋4k＝1得k＝0.1，
∴E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1，
E(η)＝2E(ξ)＋1＝2×1.1＋1＝3.2.
4、【答案】 A
【解析】 由Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而E(X)＝，
∴E(X)＝1×＋2×m＋3×n＋4×＝，
又m＋n＋＋＝1，联立求解得m＝.
5、【答案】
【解析】 由题意，得a(1＋2＋3＋4)＋4b＝1，即10a＋4b＝1，
再由E(X)＝3，得a＋b＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，
解得b＝0，a＝. 故a＋b＝.
6、【答案】
【解析】 由题意知，ξ的可能取值为0,1,2，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
7、【解】 (1)ξ可取的值为1、2、3，
则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××1＝，
抽取次数ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝1.5.
(2)每次检验取到好电池的概率均为，
故X～B(n，p)，即X～B(5，)，
则E(X)＝5×＝3.
8、【解】 (1)由题设知，X可能取值为10,5,2，－3，且
P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，
P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，
P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，
P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.
由此得X的分布列为
X
10
5
2
－3
P
0.72
0.18
0.08
0.02
(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4－n件．
由题意知，4n－(4－n)≥10，解得n≥，
又n∈N，得n＝3，或n＝4.
所以P＝C×0.83×0.2＋C0.84＝0.8192.
故所求概率为0.8192.
9、【答案】 C
【解析】 记命中后剩余子弹数为ξ，则ξ可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝0.44＋0.43×0.6＝0.064，
P(ξ＝1)＝0.42×0.6＝0.096，
P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(ξ＝3)＝0.6.
∴E(ξ)＝0×0.064＋0.096×1＋0.24×2＋0.6×3＝2.376.
10、【解】 (1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”，
则A＝A1·A2，
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)X的可能取值为0,1,2.
设A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(·B3)＝P()P(B3)＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝，
故EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.
11、【思路探究】 (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率．
(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和期望．
【自主解答】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．
(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，
由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P()＝1－
＝1－＝.
(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.
从而知ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
班级 姓名
学习目标
1．进一步理解数学期望；
2．应用数学期望来解决实际问题．
学习过程
一、课前准备
复习1：设一位足球运动员，在有人防守的情况下，射门命中的概率为，求他一次射门时命中次数的期望
复习2：一名射手击中靶心的概率是，如果他在同样的条件下连续射击次，求他击中靶心的次数的均值？
二、新课导学
探究：某公司有万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类拟项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是 元．
※ 典型例题
例1、根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为，有大洪水的概率为．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失元，遇到小洪水时要损失元．为保护设备，有以下种方案：
方案1：运走设备，搬运费为元
方案2：建保护围墙，建设费为元，但围墙只能防小洪水 ．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好．
变式1：统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？
例2、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
三、总结提升
1．随机变量的均值；
2．各种分布的期望．
课后作业
一、基础训练题
1．口袋中有5只球，编号1,2,3,4,5，从中任取3球，以X表示取出的球的最大号码，则E(X)等于( )
A．4 B．5 C．4.5 D．4.75
2．生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为( )
A. B．1 C. D.
3．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
2
P
0.3
3k
4k
随机变量η＝2ξ＋1，则η的数学期望为( )
A．1.1 B．3.2 C．11k D．22k＋1
4．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为( )
X
1
2
3
4
P
m
n
A. B. C. D.
5．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又X的数学期望E(X)＝3，则a＋b＝________.
6．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．
7．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问题：
(1)若直到取到好电池为止，求抽取次数ξ的分布列及均值；
(2)若将题设中的无放回改为有放回，求检验5次取到好电池个数X的数学期望．
8．某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元，设生产各种产品相互独立．
(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
二、提高训练题
9．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为( )
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
10．(2013·大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
11．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．
选修2-3 第二章 §2.3.1离散型随机变量的均值(2)参考答案
例3、(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
P(X＝6)＝＝0.63， P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1， P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为：
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(x)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(x)≥4.73，即4.76－x≥4.73.
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
1、【答案】 C
【解析】 X的分布列为
X
3
4
5
P
E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5.
2、【答案】 D
【解析】 遇到红灯的次数X～B(4，)，∴E(X)＝.
∴E(Y)＝E(2X)＝2×＝.
3、【答案】 B
【解析】 由0.3＋3k＋4k＝1得k＝0.1，
∴E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1，
E(η)＝2E(ξ)＋1＝2×1.1＋1＝3.2.
4、【答案】 A
【解析】 由Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而E(X)＝，
∴E(X)＝1×＋2×m＋3×n＋4×＝，
又m＋n＋＋＝1，联立求解得m＝.
5、【答案】
【解析】 由题意，得a(1＋2＋3＋4)＋4b＝1，即10a＋4b＝1，
再由E(X)＝3，得a＋b＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，
解得b＝0，a＝. 故a＋b＝.
6、【答案】
【解析】 由题意知，ξ的可能取值为0,1,2，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
7、【解】 (1)ξ可取的值为1、2、3，
则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××1＝，
抽取次数ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝1.5.
(2)每次检验取到好电池的概率均为，
故X～B(n，p)，即X～B(5，)，
则E(X)＝5×＝3.
8、【解】 (1)由题设知，X可能取值为10,5,2，－3，且
P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，
P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，
P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，
P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.
由此得X的分布列为
X
10
5
2
－3
P
0.72
0.18
0.08
0.02
(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4－n件．
由题意知，4n－(4－n)≥10，解得n≥，
又n∈N，得n＝3，或n＝4.
所以P＝C×0.83×0.2＋C0.84＝0.8192.
故所求概率为0.8192.
9、【答案】 C
【解析】 记命中后剩余子弹数为ξ，则ξ可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝0.44＋0.43×0.6＝0.064，
P(ξ＝1)＝0.42×0.6＝0.096，
P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(ξ＝3)＝0.6.
∴E(ξ)＝0×0.064＋0.096×1＋0.24×2＋0.6×3＝2.376.
10、【解】 (1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”，
则A＝A1·A2，
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)X的可能取值为0,1,2.
设A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(·B3)＝P()P(B3)＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝，
故EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.
11、【思路探究】 (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率．
(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和期望．
【自主解答】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．
(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，
由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P()＝1－
＝1－＝.
(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.
从而知ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.