2.3.2 离散型随机变量的方差 同步学案

选修2-3 第二章 §2.3.2 离散型随机变量的方差
班级 姓名
学习目标
理解随机变量方差的概念；
各种分布的方差．
学习过程
一、课前准备
复习1：若随机变量 ～，则 ；又若，则
复习2：已知随机变量的分布列为 ：
0
1
P
且，则 ；
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：
要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩纪录，第一名同学击中目标靶的环数～，第二名同学击中目标靶的环数，其中～，请问应该派哪名同学参赛？
新知1：离散型随机变量的方差：当已知随机变量的分布列为 时，则称 为的方差， 为的标准差
随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 ．越小，稳定性越 ，波动越 ．
新知2：方差的性质：当均为常数时，随机变量的方差 ．
特别是：
①当时， ，即常数的方差等于 ；
②当时， ，即随机变量与常数之和的方差就等于这个随机变量的方差；
③当时， ，即随机变量与常之积的方差，等于常数的 与这个随机变量方差的积
新知3：常见的一些离散型随机变量的方差：
（1）两点分布： ； （2）二项分布： ．
探究2：甲、乙两工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列：
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
则有结论（ ）
A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C．两人的产品质量一样好 D．无法判断谁的质量好一些
※ 典型例题
例1、已知随机变量的分布列为：
0
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
求和．
变式：已知随机变量的分布列：
P
求

小结：求随机变量的方差的两种方法：
一是列出分布列，求出期望，再利用方差定义求解；另一种方法是借助方差的性质求解
例2、随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．
例3、有甲、乙两个单位都愿意用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资/元
1200
1400
1600
1800
获得相应职位的概率
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资/元
1000
1400
1800
2200
获得相应职位的概率
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
思考：如果认为自已的能力很强，应选择 单位；如果认为自已的能力不强，应该选择 单位．
例4、设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求．
-1
0
1
三、总结提升
1．离散型随机变量的方差、标准差；
2．方差的性质，几个常见的随机变量的方差．
课后作业
一、基础训练题
1．设ξ是随机变量，a，b是非零常数，则下列等式中正确的是(　　)
A．D(aξ＋b)＝a2D(ξ)＋b　　B．E(aξ)＝a2E(ξ) C．D(aξ)＝a2D(ξ) D．E(aξ＋b)＝aE(ξ)
2．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(　　)
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
3．设离散型随机变量为ξ，下列说法中正确的是(　　)
A．E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 B．D(ξ)反映了ξ取值的平均水平
C．E(ξ)反映了ξ取值的平均水平 D．D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
4．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的情况为
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
则有结论(　　)
A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C．两人的产品质量一样好 D．无法判断谁的质量好一些
5．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)等于(　　)
A．6 B．9 C．3 D．4
6．已知某运动员投篮命中率P＝0.6，则他连续投5次，命中次数η的方差为________．
7．已知随机变量ξ的分布列如下
ξ
1
2
3
P
0.4
0.1
x
则ξ的标准差为________．
8．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
10．有A，B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
ξA
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
ξB
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中ξA，ξB分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A，B两种钢筋哪一种质量较好．
甲、乙两人射击，甲射击一次中靶的概率是p1，乙射击一次中靶的概率是p2，且，是方程
x2－5x＋6＝0的两个实根．已知甲射击5次，中靶次数的方差是.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求p1，p2的值；
(2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
(3)若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目的．则完成目的的概率是多少？
二、提高训练题
12．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
育网
13．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
14．(2013·北京高考)如图，是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
选修2-3 第二章 §2.3.2 离散型随机变量的方差参考答案
1、答案　C
2、答案　A
解析　依题意得解得
3、答案　C
4、答案　B
解析　设甲、乙出次品的个数分别为ξ、η. 则E(ξ)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，
E(η)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.∵E(ξ)>E(η)，
∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些，故选B.
5、答案　A
解析　由题意知，
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2. D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
∴D(3ξ＋5)＝9D(ξ)＝6.
6、答案　1.2
解析　依题意知η～B(5,0.6)D(η)＝5×0.6×(1－0.6)＝1.2.
7、答案　
解析　∵由分布列的性质知，x＝0.5，E(ξ)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，
D(ξ)＝(1－2.1)2×0.4＋(2－2.1)2×0.1＋(3－2.1)2×0.5＝0.484＋0.001＋0.405＝0.89.
∴σ(ξ)＝＝.
8、答案　
解析　依题意得解得a＝，b＝，c＝.
故D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝×＋×＋×＝.
10、解　先比较ξA与ξB的期望值：
E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，21cnjy.com
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，21·cn·jy·com
所以，它们的期望值相同．再比较它们的方差：
D(ξA)＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，www.21-cn-jy.com
D(ξB)＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165，2·1·c·n·j·y
所以D(ξA)11、解　(1)由题意可知，甲射击5次中靶次数ξ服从二项分布B(5，p1)，
∴D(ξ)＝5p1(1－p1)＝.∴p－p1＋＝0，21·世纪*教育网
解得，p1＝.又·＝6，∴p2＝.
(2)分两种情况：共击中3次的概率为
C()2()0×C()1()1＋C()1()1×C()2()0＝；
共击中4次的概率为C()2×C()2＝.
故所求概率为＋＝.
(3)两人各射击1次，都未中靶的概率为(1－)(1－)＝，
∴两人各射击1次，至少中靶1次的概率为1－＝.
12、答案　　5
解析　依题意成功次数ξ服二项分布，即ξ～B(100，p)，D(ξ)＝100p(1－p)≤100×2＝25.当且仅当p＝1－p，即p＝时，成功次数的标准差有最大值5.21教
13、【解】　(1)X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.
又∵E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或即为所求．
14、【解】　设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且
P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



故X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.