2.4 正态分布 同步学案
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选修2-3 第二章 §2.4 正态分布
班级 姓名
学习目标
1．了解正态曲线的形状；
2．会求服从正态分布的随机变量的概率分布．
学习过程
一、课前准备
复习：函数的定义域是 ；它是 （奇或偶）函数；当 时，函数有最 值，是 ．
二、新课导学
探究：
1．一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；
2．某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少．生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻划呢？
新知1、总体密度曲线
总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
新知2、一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足
则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X～
正态分布密度函数的理解：
其中：是圆周率；是自然对数的底；是随机变量的取值；为正态分布的均值；
是正态分布的标准差．正态分布一般记为．
练习1：给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值和标准差
（1） （2）
新知3：正态曲线的特点和性质：
（1）曲线位于轴 ，与轴 ；
（2）曲线是单峰的，它关于直线 对称；
（3）曲线在 处达到峰值 ；
（4）曲线与轴之间的面积为 ．
（5）当一定时，曲线随着的变化而沿轴 ；
（6）当一定时，曲线的 由确定．
越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；
越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 .
练习2：把一个正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线，下列说法中不正确的是（ ）．
A．曲线仍然是正态曲线
B．曲线和曲线的最高点的纵坐标相等
C．以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望大2
D．以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差大2
新知4：正态分布中的三个概率：原则
；
；
.
新知5：“小概率事件”和假设检验的基本思想
“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。进行假设检验分三步：
第一步，提出统计假设。
第二步，确定一次试验中的取值是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）；
第三步，作出推断。如果∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。
※ 典型例题
例1、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于，则该正态分布的概率密度函数的解析式为 ．
例2、某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N(70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？
(参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)
变式1：商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），则任选一袋这种大米质量在9.8~10.2kg的概率是 ．
变式2：若X~N（μ，σ2），则X位于区域（μ，μ＋σ）内的概率是 ．
思考题：某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm)ξ～N(10，0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52 cm和9.98 cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常．
三、总结提升
1．正态密度曲线及其特点；
2．服从正态分布的随机变量的概率．
课后作业
一、基础训练题
1．已知随变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )2·1·c·n·j·y
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c的值是( )
A．－μ B．0
C．μ D．σ2
3．已知随机变量X～N(0,1)，则X在区间(－3，＋∞)内取值的概率为( )
A．0.8874 B．0.0026
C．0.0013 D．0.9987
4．如果提出统计假设：某工人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)，当随机抽取某一个值a时，下列哪种情况可以说明假设不成立( )21教育网
A．a∈(μ－3σ，μ＋3σ) B．a?(μ－3σ，μ＋3σ)
C．a∈(μ－2σ，μ＋2σ) D．a?(μ－2σ，μ＋2σ)
5．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X<0)＝0.4，则P(X>2)＝( )
A．0.1 B．0.2 C．3 D．0.4
某市组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数
f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是( )www.21-cn-jy.com
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩的标准差为10
7．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
8．设离散型随机变量ξ～N(0,1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2<ξ<2)＝________.21cnjy.com
9．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在(3,5)里的概率相等，那么这个正态分布的均值为________．
10．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，δ2)(δ>0)，若ξ在(0,1)内的取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
11．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．
12．在某次考试中，考生的数学成绩ξ服从正态分布N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试中共有2000名学生，试估计考试成绩在(80,100)间的学生大约有多少人？
www-2-1-cnjy-com
二、提高训练题
13．给出下列函数：①f(x)＝e－；②f(x)＝e－；③f(x)＝e－；④f(x)＝e－(x－μ)2，其中μ∈(－∞，＋∞)，σ＞0，则可以作为正态分布密度函数的个数有( )
A．1 B．2 C．3 D．4
选修2-3 第二章 §2.4 正态分布参考答案
例2、解 由题意得：μ＝70，σ＝10，
P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.
(1)P(ξ＜60)＝－P(60＜ξ≤80)＝－×0.682 6＝0.158 7.
(2)P(ξ≥90)＝－P(50＜ξ≤90)＝－×0.954 4＝0.022 8.
答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.
1、[答案] C
[解析] ∵ξ～N(0，σ2)，∴μ＝0，即图象关于y轴对称，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ<－2)－P(ξ>2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.
2、[答案] C
3、[答案] D
[解析] 由X～N(0,1)知，正态曲线的对称轴为y轴，在区间[－3,3]上的概率为0.9974，
则(－3，＋∞)内取值的概率比0.9974还大，故选D.
4、[答案] B
[解析] 如果是正态分布，那么零件尺寸落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.9974，而任取一个值a?(μ－3σ，μ＋3σ)，说明不是正态分布，所以假设不成立．
5、[答案] A
[解析] 由X～N(0，σ2)知，P(0＜X≤2)＝P(－2≤X＜0)＝0.4.
∴P(X＞2)＝－P(0＜X≤2)＝0.5－0.4＝0.1.
6、[答案] B
7、[答案] A
[解析] 根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得.
8、[答案] 0.9544
[解析] P(ξ≤0)＝.
P(－2＜ξ<2)＝P(0－2＜ξ＜0＋2)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.
9、[答案] 1
[解析] ∵区间(－3，－1)与(3,5)．关于x＝1对称，也就是说正态曲线的对称轴为x＝1，∴μ＝1.
10、[答案] 0.8
[解析] 由正态分布N(1，δ2)(δ>0)知，正态曲线的对称轴为x＝1，
所以P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.21世纪教育网版权所有
11、[答案] (24.94,25.06)
[解析] 正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．
12、解 ∵ξ～N(90,100)．∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.6826，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以，考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．
13、[答案] C
[解析] 对于①，f(x)＝e－.由于μ∈(－∞，＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若σ＝1，则应为f(x)＝e.若σ＝，则应为f(x)＝e－，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于③，它就是当σ＝，μ＝0时的正态分布密度函数；对于④，它是当σ＝时的正态分布密度函数．所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．
班级 姓名
学习目标
1．了解正态曲线的形状；
2．会求服从正态分布的随机变量的概率分布．
学习过程
一、课前准备
复习：函数的定义域是 ；它是 （奇或偶）函数；当 时，函数有最 值，是 ．
二、新课导学
探究：
1．一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；
2．某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少．生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻划呢？
新知1、总体密度曲线
总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
新知2、一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足
则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X～
正态分布密度函数的理解：
其中：是圆周率；是自然对数的底；是随机变量的取值；为正态分布的均值；
是正态分布的标准差．正态分布一般记为．
练习1：给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值和标准差
（1） （2）
新知3：正态曲线的特点和性质：
（1）曲线位于轴 ，与轴 ；
（2）曲线是单峰的，它关于直线 对称；
（3）曲线在 处达到峰值 ；
（4）曲线与轴之间的面积为 ．
（5）当一定时，曲线随着的变化而沿轴 ；
（6）当一定时，曲线的 由确定．
越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；
越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 .
练习2：把一个正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线，下列说法中不正确的是（ ）．
A．曲线仍然是正态曲线
B．曲线和曲线的最高点的纵坐标相等
C．以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望大2
D．以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差大2
新知4：正态分布中的三个概率：原则
；
；
.
新知5：“小概率事件”和假设检验的基本思想
“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。进行假设检验分三步：
第一步，提出统计假设。
第二步，确定一次试验中的取值是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）；
第三步，作出推断。如果∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。
※ 典型例题
例1、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于，则该正态分布的概率密度函数的解析式为 ．
例2、某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N(70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？
(参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)
变式1：商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），则任选一袋这种大米质量在9.8~10.2kg的概率是 ．
变式2：若X~N（μ，σ2），则X位于区域（μ，μ＋σ）内的概率是 ．
思考题：某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm)ξ～N(10，0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52 cm和9.98 cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常．
三、总结提升
1．正态密度曲线及其特点；
2．服从正态分布的随机变量的概率．
课后作业
一、基础训练题
1．已知随变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )2·1·c·n·j·y
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c的值是( )
A．－μ B．0
C．μ D．σ2
3．已知随机变量X～N(0,1)，则X在区间(－3，＋∞)内取值的概率为( )
A．0.8874 B．0.0026
C．0.0013 D．0.9987
4．如果提出统计假设：某工人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)，当随机抽取某一个值a时，下列哪种情况可以说明假设不成立( )21教育网
A．a∈(μ－3σ，μ＋3σ) B．a?(μ－3σ，μ＋3σ)
C．a∈(μ－2σ，μ＋2σ) D．a?(μ－2σ，μ＋2σ)
5．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X<0)＝0.4，则P(X>2)＝( )
A．0.1 B．0.2 C．3 D．0.4
某市组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数
f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是( )www.21-cn-jy.com
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩的标准差为10
7．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
8．设离散型随机变量ξ～N(0,1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2<ξ<2)＝________.21cnjy.com
9．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在(3,5)里的概率相等，那么这个正态分布的均值为________．
10．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，δ2)(δ>0)，若ξ在(0,1)内的取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
11．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．
12．在某次考试中，考生的数学成绩ξ服从正态分布N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试中共有2000名学生，试估计考试成绩在(80,100)间的学生大约有多少人？
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二、提高训练题
13．给出下列函数：①f(x)＝e－；②f(x)＝e－；③f(x)＝e－；④f(x)＝e－(x－μ)2，其中μ∈(－∞，＋∞)，σ＞0，则可以作为正态分布密度函数的个数有( )
A．1 B．2 C．3 D．4
选修2-3 第二章 §2.4 正态分布参考答案
例2、解 由题意得：μ＝70，σ＝10，
P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.
(1)P(ξ＜60)＝－P(60＜ξ≤80)＝－×0.682 6＝0.158 7.
(2)P(ξ≥90)＝－P(50＜ξ≤90)＝－×0.954 4＝0.022 8.
答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.
1、[答案] C
[解析] ∵ξ～N(0，σ2)，∴μ＝0，即图象关于y轴对称，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ<－2)－P(ξ>2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.
2、[答案] C
3、[答案] D
[解析] 由X～N(0,1)知，正态曲线的对称轴为y轴，在区间[－3,3]上的概率为0.9974，
则(－3，＋∞)内取值的概率比0.9974还大，故选D.
4、[答案] B
[解析] 如果是正态分布，那么零件尺寸落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.9974，而任取一个值a?(μ－3σ，μ＋3σ)，说明不是正态分布，所以假设不成立．
5、[答案] A
[解析] 由X～N(0，σ2)知，P(0＜X≤2)＝P(－2≤X＜0)＝0.4.
∴P(X＞2)＝－P(0＜X≤2)＝0.5－0.4＝0.1.
6、[答案] B
7、[答案] A
[解析] 根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得.
8、[答案] 0.9544
[解析] P(ξ≤0)＝.
P(－2＜ξ<2)＝P(0－2＜ξ＜0＋2)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.
9、[答案] 1
[解析] ∵区间(－3，－1)与(3,5)．关于x＝1对称，也就是说正态曲线的对称轴为x＝1，∴μ＝1.
10、[答案] 0.8
[解析] 由正态分布N(1，δ2)(δ>0)知，正态曲线的对称轴为x＝1，
所以P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.21世纪教育网版权所有
11、[答案] (24.94,25.06)
[解析] 正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．
12、解 ∵ξ～N(90,100)．∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.6826，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以，考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．
13、[答案] C
[解析] 对于①，f(x)＝e－.由于μ∈(－∞，＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若σ＝1，则应为f(x)＝e.若σ＝，则应为f(x)＝e－，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于③，它就是当σ＝，μ＝0时的正态分布密度函数；对于④，它是当σ＝时的正态分布密度函数．所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．