人教新课标A版数学选修2-3综合测试（含详解答案）
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版数学选修2-3综合测试（含详解答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 113.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-05 09:00:41 | ||
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文档简介
选修2-3综合测试
一．选择题（共12小题）
1．满足不等式12的n的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
2．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是（ ）
A．n B． C． D．
4．已知，则的值等于（ ）
A．64 B．32 C．63 D．31
5．若（）n的展开式中所有二项式系数的之和为32，则该展开式中的常数项是（ ）
A．﹣270 B．﹣90 C．270 D．90
6．已知随机变量ξ的分布列为：
ξ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
P
若，则实数x的取值范围是（ ）
A．4＜x≤9 B．4≤x＜9 C．x＜4或x≥9 D．x≤4或x＞9
7．如果随机变量X～N（μ，σ2），且EX＝3，DX＝1，则P（0＜X＜1）等于（ ）
A．0.021 5 B．0.723 C．0.215 D．0.64
8．某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线l：x和相关系数r．现给出以下3个结论：
①r＞0；
②直线l恰过点D；
③1．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．为了检验设备M与设备N的生产效率，研究人员作出统计，得到如表所示的结果，则
设备M 设备N
生产出的合格产品 48 43
生产出的不合格产品 2 7
附：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．（ ）
A．有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
B．没有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
D．不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
11．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
12．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X的数学期望约为（ ）
附若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.9545
A．171 B．239 C．341 D．477
二．填空题（共4小题）
13．若，则a0+a1+a2+…+a6+a7＝ ，a6＝ ．
14．袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是 ．
15．某高中高三某班上午安排五门学科（语文，数学，英语，化学，生物）上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是 ．
16．设随机变量X～B（5，），则P（2＜X≤4）＝ ．
三．解答题（共6小题）
17．某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（A）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
（B）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．
18．哈三中群力校区高二、六班同学用随机抽样的办法对所在校区老师的饮食习惯进行了一次调查，饮食指数结果用茎叶图表示如图，图中饮食指数低于70的人是饮食以蔬菜为主：饮食指数高于70的人是饮食以肉类为主．
（1）完成下列2×2列联表：
主食蔬菜 主食肉类 总计
不超过45岁
45岁以上
总计
能否有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关？
（2）从群力校区任一名老师设“选到45岁以上老师为事件A，“饮食指数高于70的老师”为事件B，用调查的结果估计P（B|A）及P（B|）（用最简分数作答）；
（3）为了给食堂提供老师的饮食信息，根据（1）（2）的结论，能否有更好的抽样方法来估计老师的饮食习惯，并说明理由．
附：
P（K2≥k0） 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
k2
19．某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；
（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．
20．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得9.97，s0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.09．
22．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．满足不等式12的n的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【分析】利用排列数公式得12，即（n﹣5）（n﹣6）＞12，解出即可得出．
【解答】解：由排列数公式得12，即（n﹣5）（n﹣6）＞12，
解得n＞9或n＜2，又n≥7，所以n＞9．又n∈N*，
所以n的最小值为10．
故选：B．
2．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求出“问题未被解答”的概率，利用对立事件的概率公式得到“问题被解答”的概率．
【解答】解：此题没有被解答的概率为 （1）（1）（1），
故能够将此题解答出的概率为1，
故选：B．
3．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是（ ）
A．n B． C． D．
【分析】先由超几何分布的意义，确定本题中抽到次品数服从超几何分布，再由超几何分布的性质：若随机变量X～H（n，M，N），则其数学期望为，计算抽到的次品数的数学期望值即可
【解答】解：设抽到的次品数为X，
则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数X服从超几何分布
即X～H（n，M，N），
∴抽到的次品数的数学期望值EX
故选：C．
4．已知，则的值等于（ ）
A．64 B．32 C．63 D．31
【分析】由已知可得，（1﹣4）n＝729，解方程可求n，再结合二项展开式的性质可求．
【解答】解：∵，
∴（1﹣4）n＝729＝36，
∴n＝6，
则1＝26﹣1＝63，
故选：C．
5．若（）n的展开式中所有二项式系数的之和为32，则该展开式中的常数项是（ ）
A．﹣270 B．﹣90 C．270 D．90
【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：n＝5，由（）5的展开式的通项为Tr+1（）5﹣r（）r＝（﹣1）r35﹣rx，令0得r＝3，即该展开式中的常数项是（﹣1）33290，得解．
【解答】解：由（）n的展开式中所有二项式系数的之和为32，
得2n＝32，解得n＝5，
由（）5的展开式的通项为Tr+1（）5﹣r（）r＝（﹣1）r35﹣rx，
令0得r＝3，
即该展开式中的常数项是（﹣1）33290，
故选：B．
6．已知随机变量ξ的分布列为：
ξ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
P
若，则实数x的取值范围是（ ）
A．4＜x≤9 B．4≤x＜9 C．x＜4或x≥9 D．x≤4或x＞9
【分析】由随机变量ξ的分布列，知ξ2的可能取值为0，1，4，9，
分别求出相应的概率，由此利用P（ξ2＜x），求出实数x的取值范围．
【解答】解：由随机变量ξ的分布列，知：
ξ2的可能取值为0，1，4，9，
且P（ξ2＝0），
P（ξ2＝1），
P（ξ2＝4），
P（ξ2＝9），
∵P（ξ2＜x），
∴实数x的取值范围是4＜x≤9．
故选：A．
7．如果随机变量X～N（μ，σ2），且EX＝3，DX＝1，则P（0＜X＜1）等于（ ）
A．0.021 5 B．0.723 C．0.215 D．0.64
【分析】由已知求得μ＝3，σ＝1，结合2σ与3σ原则求解．
【解答】解：由已知可得，μ＝3，σ＝1．
∴随机变量X～N（3，1），
则P（0＜X＜1）[P（（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）﹣P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）]
．
故选：A．
8．某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线l：x和相关系数r．现给出以下3个结论：
①r＞0；
②直线l恰过点D；
③1．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据散点图的相关性判断①，计算x，y的平均数判断②，根据回归直线与直线OD的关系判断③．
【解答】解：由散点图可知各点横纵坐标具有较强的相关性，故r＞0，故①正确；
根据各点坐标计算得：4，3.5，
∴回归直线l必经过点D（4，3.5），故②正确．
由散点图可知回归直线的斜率kOD1，故③错误．
故选：A．
9．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】记事件A为“取出的2件中有1件不是一等品“，事件B为“取出的2件中，1件一等品，1件不是一等品“，根据P（B|A）可得．
【解答】解：记事件A为“取出的2件中存在1件不是一等品“，事件B为“取出的2件中，1件一等品，1件不是一等品“，
则P（A），P（AB），
∴P（B|A）．
故选：D．
10．为了检验设备M与设备N的生产效率，研究人员作出统计，得到如表所示的结果，则
设备M 设备N
生产出的合格产品 48 43
生产出的不合格产品 2 7
附：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．（ ）
A．有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
B．没有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
D．不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
【分析】根据列联表求出K2≈3.053＞2.706，
【解答】解：∵K23.053＞2.706，
因此有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性．
故选：A．
11．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
【分析】分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案
【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有36，
根据分类计数原理，共有24+36＝60（种）
故选：D．
12．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X的数学期望约为（ ）
附若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.9545
A．171 B．239 C．341 D．477
【分析】先根据正态分布求得质量在（10，10.2）kg的袋数的概率，再根据袋数Y服从二项分布可得．
【解答】解：∵P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.9545，且μ＝10，σ＝0.1，
∴P（9.8＜X＜10.2）≈0.9545，∴P（10＜X＜10.2）0.47725，
则面粉质量在（10，10.2）kg的袋数Y服从二项分布，即Y～B（500，0.47752），
则E（Y）＝500×0.47752≈239．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
13．若，则a0+a1+a2+…+a6+a7＝ 128 ，a6＝ 21 ．
【分析】由二项式定理及展开式系数的求法得：x＝0得：a0+a1+a2+…+a6+a7＝27＝128．又（2﹣x）7＝[3﹣（1+x）]7，由[3﹣（1+x）]7展开式的通项为Tr+137﹣r（1+x）r，令r＝6得a621，得解．
【解答】解：由，
令x＝0得：a0+a1+a2+…+a6+a7＝27＝128，
故a0+a1+a2+…+a6+a7＝128，
又（2﹣x）7＝[3﹣（1+x）]7，
由[3﹣（1+x）]7展开式的通项为Tr+137﹣r（1+x）r，
令r＝6得a621，
故a6＝21，
故答案为：128 21．
14．袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是 ．
【分析】本题考查了条件概率，利用条件概率的求概率公式计算即可．
【解答】解：法①设事件A表示第一次出现黑球，事件B表示第二次出现黑球，
则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是＝P（B|A）．
法②事件A发生，则取出了一个黑球，还剩1个黑球3个白球，此时事件B发生的概率为．
故填：．
15．某高中高三某班上午安排五门学科（语文，数学，英语，化学，生物）上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是 60 ．
【分析】由题意可以分两类，根据分类计数原理可得．
【解答】解：若第五节排语文或数学中的一门，则第四节排英语，化学，生物中的一门，其余三节把剩下科目任意排，则有A21A31A33＝36种，
若第五节排英语，化学中的一门，剩下的四节，将语文和数学插入到剩下的2门中，则有A21A22A32＝24种，
根据分类计数原理共有36+24＝60种，
故答案为：60．
16．设随机变量X～B（5，），则P（2＜X≤4）＝ ．
【分析】利用二项分布和n次独立重复试验的模型直接求解．
【解答】解：∵随机变量X～B（5，），
∴P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4）
．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
17．某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（A）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
（B）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．
【分析】（I）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率．
（II）（A）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是C303，满足条件的事件数是C281，根据等可能事件的概率公式，得到结果．
（B）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2，该变量符合超几何分布，根据超几何分布的概率公式写出变量的概率，写出这组数据的分布列和期望值．
【解答】解：（Ⅰ）根据所给的频率分步直方图中小正方形的长和宽，
得到第三组的频率为0.06×5＝0.3；
第四组的频率为0.04×5＝0.2；
第五组的频率为0.02×5＝0.1．
（Ⅱ）（A）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数是C303，
设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试
满足条件的事件数是C281，
∴P（M）
（B）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2
该变量符合超几何分布，
∴
∴分布列是
ξ 0 1 2
P
∴
18．哈三中群力校区高二、六班同学用随机抽样的办法对所在校区老师的饮食习惯进行了一次调查，饮食指数结果用茎叶图表示如图，图中饮食指数低于70的人是饮食以蔬菜为主：饮食指数高于70的人是饮食以肉类为主．
（1）完成下列2×2列联表：
主食蔬菜 主食肉类 总计
不超过45岁 4 8 12
45岁以上 16 2 18
总计 20 10 30
能否有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关？
（2）从群力校区任一名老师设“选到45岁以上老师为事件A，“饮食指数高于70的老师”为事件B，用调查的结果估计P（B|A）及P（B|）（用最简分数作答）；
（3）为了给食堂提供老师的饮食信息，根据（1）（2）的结论，能否有更好的抽样方法来估计老师的饮食习惯，并说明理由．
附：
P（K2≥k0） 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
k2
【分析】（1）由K210＞6.635可得解
（2）由条件概率公式得：P（B|A），P（B|），
（3）“选到45岁以上老师“与，“选到45岁以下老师“调查差异较大，采用分层抽样的抽样方法更好．
【解答】解：（1）由K210＞6.635
即有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关，
故答案为：有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关，
（2）P（B|A），P（B|），
故答案为：，
（3）为了给食堂提供老师的饮食信息，根据（1）（2）的结论，
“选到45岁以上老师“与，“选到45岁以下老师“调查差异较大，
为了更科学估计老师的饮食习惯，采用分层抽样的抽样方法更好．
故答案为：分层抽样
19．某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；
（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．
【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解x＝0.15．
（Ⅱ）利用分布直方图求解即可．
（Ⅲ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望．
【解答】（共13分）
解：（Ⅰ）由0.05×2+0.08×2+0.10×2+0.12×2+2x＝1，
可得x＝0.15…（3分）
（Ⅱ）0.10×2+0.05×2＝0.30，
即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30＝150，
所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．
…（6分）
（Ⅲ）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2＝0.16，50×0.16＝8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，
8名学生为3名女生，5名男生，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，； ；； ．
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故X的期望（13分）
20．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，有P（A），
∴事件A发生的概率为；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．
P（X＝k）（k＝1，2，3，4）．
∴随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望E（X）．
21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得9.97，s0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.09．
【分析】（1）通过P（X＝0）可求出P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；
（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；
（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（9.334，10.606），进而需剔除之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．
【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，
则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974＝0.0026，
因为P（X＝0）（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，
所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，
又因为X～B（16，0.0026），
所以E（X）＝16×0.0026＝0.0416；
（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ⅱ）由9.97，s≈0.212，得μ的估计值为9.97，σ的估计值为0.212，由样本数据可以看出一个
零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为
（16×9.97﹣9.22）＝10.02，
因此μ的估计值为10.02．
2＝16×0.2122+16×9.972≈1591.134，
剔除之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为
（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，
因此σ的估计值为0.09．
22．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望
【分析】（1）记事件A1＝{从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2＝{从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，事件C＝{顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．
【解答】解：（1）记事件A1＝{从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2＝{从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，事件C＝{顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1＝A1A2，B2，C＝B1+B2，因为P（A1），P（A2），所以，P（B1）＝P（A1）P（A2），P（B2）＝P（）+P（），故所求概率为：P（C）＝P（B1+B2）＝P（B1）+P（B2）．
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3）．
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E（X）＝3．
第1页（共1页）
一．选择题（共12小题）
1．满足不等式12的n的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
2．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是（ ）
A．n B． C． D．
4．已知，则的值等于（ ）
A．64 B．32 C．63 D．31
5．若（）n的展开式中所有二项式系数的之和为32，则该展开式中的常数项是（ ）
A．﹣270 B．﹣90 C．270 D．90
6．已知随机变量ξ的分布列为：
ξ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
P
若，则实数x的取值范围是（ ）
A．4＜x≤9 B．4≤x＜9 C．x＜4或x≥9 D．x≤4或x＞9
7．如果随机变量X～N（μ，σ2），且EX＝3，DX＝1，则P（0＜X＜1）等于（ ）
A．0.021 5 B．0.723 C．0.215 D．0.64
8．某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线l：x和相关系数r．现给出以下3个结论：
①r＞0；
②直线l恰过点D；
③1．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．为了检验设备M与设备N的生产效率，研究人员作出统计，得到如表所示的结果，则
设备M 设备N
生产出的合格产品 48 43
生产出的不合格产品 2 7
附：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．（ ）
A．有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
B．没有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
D．不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
11．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
12．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X的数学期望约为（ ）
附若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.9545
A．171 B．239 C．341 D．477
二．填空题（共4小题）
13．若，则a0+a1+a2+…+a6+a7＝ ，a6＝ ．
14．袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是 ．
15．某高中高三某班上午安排五门学科（语文，数学，英语，化学，生物）上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是 ．
16．设随机变量X～B（5，），则P（2＜X≤4）＝ ．
三．解答题（共6小题）
17．某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（A）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
（B）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．
18．哈三中群力校区高二、六班同学用随机抽样的办法对所在校区老师的饮食习惯进行了一次调查，饮食指数结果用茎叶图表示如图，图中饮食指数低于70的人是饮食以蔬菜为主：饮食指数高于70的人是饮食以肉类为主．
（1）完成下列2×2列联表：
主食蔬菜 主食肉类 总计
不超过45岁
45岁以上
总计
能否有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关？
（2）从群力校区任一名老师设“选到45岁以上老师为事件A，“饮食指数高于70的老师”为事件B，用调查的结果估计P（B|A）及P（B|）（用最简分数作答）；
（3）为了给食堂提供老师的饮食信息，根据（1）（2）的结论，能否有更好的抽样方法来估计老师的饮食习惯，并说明理由．
附：
P（K2≥k0） 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
k2
19．某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；
（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．
20．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得9.97，s0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.09．
22．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．满足不等式12的n的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【分析】利用排列数公式得12，即（n﹣5）（n﹣6）＞12，解出即可得出．
【解答】解：由排列数公式得12，即（n﹣5）（n﹣6）＞12，
解得n＞9或n＜2，又n≥7，所以n＞9．又n∈N*，
所以n的最小值为10．
故选：B．
2．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求出“问题未被解答”的概率，利用对立事件的概率公式得到“问题被解答”的概率．
【解答】解：此题没有被解答的概率为 （1）（1）（1），
故能够将此题解答出的概率为1，
故选：B．
3．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是（ ）
A．n B． C． D．
【分析】先由超几何分布的意义，确定本题中抽到次品数服从超几何分布，再由超几何分布的性质：若随机变量X～H（n，M，N），则其数学期望为，计算抽到的次品数的数学期望值即可
【解答】解：设抽到的次品数为X，
则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数X服从超几何分布
即X～H（n，M，N），
∴抽到的次品数的数学期望值EX
故选：C．
4．已知，则的值等于（ ）
A．64 B．32 C．63 D．31
【分析】由已知可得，（1﹣4）n＝729，解方程可求n，再结合二项展开式的性质可求．
【解答】解：∵，
∴（1﹣4）n＝729＝36，
∴n＝6，
则1＝26﹣1＝63，
故选：C．
5．若（）n的展开式中所有二项式系数的之和为32，则该展开式中的常数项是（ ）
A．﹣270 B．﹣90 C．270 D．90
【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：n＝5，由（）5的展开式的通项为Tr+1（）5﹣r（）r＝（﹣1）r35﹣rx，令0得r＝3，即该展开式中的常数项是（﹣1）33290，得解．
【解答】解：由（）n的展开式中所有二项式系数的之和为32，
得2n＝32，解得n＝5，
由（）5的展开式的通项为Tr+1（）5﹣r（）r＝（﹣1）r35﹣rx，
令0得r＝3，
即该展开式中的常数项是（﹣1）33290，
故选：B．
6．已知随机变量ξ的分布列为：
ξ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
P
若，则实数x的取值范围是（ ）
A．4＜x≤9 B．4≤x＜9 C．x＜4或x≥9 D．x≤4或x＞9
【分析】由随机变量ξ的分布列，知ξ2的可能取值为0，1，4，9，
分别求出相应的概率，由此利用P（ξ2＜x），求出实数x的取值范围．
【解答】解：由随机变量ξ的分布列，知：
ξ2的可能取值为0，1，4，9，
且P（ξ2＝0），
P（ξ2＝1），
P（ξ2＝4），
P（ξ2＝9），
∵P（ξ2＜x），
∴实数x的取值范围是4＜x≤9．
故选：A．
7．如果随机变量X～N（μ，σ2），且EX＝3，DX＝1，则P（0＜X＜1）等于（ ）
A．0.021 5 B．0.723 C．0.215 D．0.64
【分析】由已知求得μ＝3，σ＝1，结合2σ与3σ原则求解．
【解答】解：由已知可得，μ＝3，σ＝1．
∴随机变量X～N（3，1），
则P（0＜X＜1）[P（（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）﹣P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）]
．
故选：A．
8．某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线l：x和相关系数r．现给出以下3个结论：
①r＞0；
②直线l恰过点D；
③1．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据散点图的相关性判断①，计算x，y的平均数判断②，根据回归直线与直线OD的关系判断③．
【解答】解：由散点图可知各点横纵坐标具有较强的相关性，故r＞0，故①正确；
根据各点坐标计算得：4，3.5，
∴回归直线l必经过点D（4，3.5），故②正确．
由散点图可知回归直线的斜率kOD1，故③错误．
故选：A．
9．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】记事件A为“取出的2件中有1件不是一等品“，事件B为“取出的2件中，1件一等品，1件不是一等品“，根据P（B|A）可得．
【解答】解：记事件A为“取出的2件中存在1件不是一等品“，事件B为“取出的2件中，1件一等品，1件不是一等品“，
则P（A），P（AB），
∴P（B|A）．
故选：D．
10．为了检验设备M与设备N的生产效率，研究人员作出统计，得到如表所示的结果，则
设备M 设备N
生产出的合格产品 48 43
生产出的不合格产品 2 7
附：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．（ ）
A．有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
B．没有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
D．不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
【分析】根据列联表求出K2≈3.053＞2.706，
【解答】解：∵K23.053＞2.706，
因此有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性．
故选：A．
11．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
【分析】分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案
【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有36，
根据分类计数原理，共有24+36＝60（种）
故选：D．
12．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X的数学期望约为（ ）
附若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.9545
A．171 B．239 C．341 D．477
【分析】先根据正态分布求得质量在（10，10.2）kg的袋数的概率，再根据袋数Y服从二项分布可得．
【解答】解：∵P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.9545，且μ＝10，σ＝0.1，
∴P（9.8＜X＜10.2）≈0.9545，∴P（10＜X＜10.2）0.47725，
则面粉质量在（10，10.2）kg的袋数Y服从二项分布，即Y～B（500，0.47752），
则E（Y）＝500×0.47752≈239．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
13．若，则a0+a1+a2+…+a6+a7＝ 128 ，a6＝ 21 ．
【分析】由二项式定理及展开式系数的求法得：x＝0得：a0+a1+a2+…+a6+a7＝27＝128．又（2﹣x）7＝[3﹣（1+x）]7，由[3﹣（1+x）]7展开式的通项为Tr+137﹣r（1+x）r，令r＝6得a621，得解．
【解答】解：由，
令x＝0得：a0+a1+a2+…+a6+a7＝27＝128，
故a0+a1+a2+…+a6+a7＝128，
又（2﹣x）7＝[3﹣（1+x）]7，
由[3﹣（1+x）]7展开式的通项为Tr+137﹣r（1+x）r，
令r＝6得a621，
故a6＝21，
故答案为：128 21．
14．袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是 ．
【分析】本题考查了条件概率，利用条件概率的求概率公式计算即可．
【解答】解：法①设事件A表示第一次出现黑球，事件B表示第二次出现黑球，
则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是＝P（B|A）．
法②事件A发生，则取出了一个黑球，还剩1个黑球3个白球，此时事件B发生的概率为．
故填：．
15．某高中高三某班上午安排五门学科（语文，数学，英语，化学，生物）上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是 60 ．
【分析】由题意可以分两类，根据分类计数原理可得．
【解答】解：若第五节排语文或数学中的一门，则第四节排英语，化学，生物中的一门，其余三节把剩下科目任意排，则有A21A31A33＝36种，
若第五节排英语，化学中的一门，剩下的四节，将语文和数学插入到剩下的2门中，则有A21A22A32＝24种，
根据分类计数原理共有36+24＝60种，
故答案为：60．
16．设随机变量X～B（5，），则P（2＜X≤4）＝ ．
【分析】利用二项分布和n次独立重复试验的模型直接求解．
【解答】解：∵随机变量X～B（5，），
∴P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4）
．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
17．某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（A）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
（B）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．
【分析】（I）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率．
（II）（A）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是C303，满足条件的事件数是C281，根据等可能事件的概率公式，得到结果．
（B）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2，该变量符合超几何分布，根据超几何分布的概率公式写出变量的概率，写出这组数据的分布列和期望值．
【解答】解：（Ⅰ）根据所给的频率分步直方图中小正方形的长和宽，
得到第三组的频率为0.06×5＝0.3；
第四组的频率为0.04×5＝0.2；
第五组的频率为0.02×5＝0.1．
（Ⅱ）（A）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数是C303，
设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试
满足条件的事件数是C281，
∴P（M）
（B）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2
该变量符合超几何分布，
∴
∴分布列是
ξ 0 1 2
P
∴
18．哈三中群力校区高二、六班同学用随机抽样的办法对所在校区老师的饮食习惯进行了一次调查，饮食指数结果用茎叶图表示如图，图中饮食指数低于70的人是饮食以蔬菜为主：饮食指数高于70的人是饮食以肉类为主．
（1）完成下列2×2列联表：
主食蔬菜 主食肉类 总计
不超过45岁 4 8 12
45岁以上 16 2 18
总计 20 10 30
能否有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关？
（2）从群力校区任一名老师设“选到45岁以上老师为事件A，“饮食指数高于70的老师”为事件B，用调查的结果估计P（B|A）及P（B|）（用最简分数作答）；
（3）为了给食堂提供老师的饮食信息，根据（1）（2）的结论，能否有更好的抽样方法来估计老师的饮食习惯，并说明理由．
附：
P（K2≥k0） 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
k2
【分析】（1）由K210＞6.635可得解
（2）由条件概率公式得：P（B|A），P（B|），
（3）“选到45岁以上老师“与，“选到45岁以下老师“调查差异较大，采用分层抽样的抽样方法更好．
【解答】解：（1）由K210＞6.635
即有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关，
故答案为：有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关，
（2）P（B|A），P（B|），
故答案为：，
（3）为了给食堂提供老师的饮食信息，根据（1）（2）的结论，
“选到45岁以上老师“与，“选到45岁以下老师“调查差异较大，
为了更科学估计老师的饮食习惯，采用分层抽样的抽样方法更好．
故答案为：分层抽样
19．某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；
（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．
【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解x＝0.15．
（Ⅱ）利用分布直方图求解即可．
（Ⅲ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望．
【解答】（共13分）
解：（Ⅰ）由0.05×2+0.08×2+0.10×2+0.12×2+2x＝1，
可得x＝0.15…（3分）
（Ⅱ）0.10×2+0.05×2＝0.30，
即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30＝150，
所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．
…（6分）
（Ⅲ）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2＝0.16，50×0.16＝8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，
8名学生为3名女生，5名男生，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，； ；； ．
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故X的期望（13分）
20．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，有P（A），
∴事件A发生的概率为；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．
P（X＝k）（k＝1，2，3，4）．
∴随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望E（X）．
21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得9.97，s0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.09．
【分析】（1）通过P（X＝0）可求出P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；
（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；
（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（9.334，10.606），进而需剔除之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．
【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，
则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974＝0.0026，
因为P（X＝0）（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，
所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，
又因为X～B（16，0.0026），
所以E（X）＝16×0.0026＝0.0416；
（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ⅱ）由9.97，s≈0.212，得μ的估计值为9.97，σ的估计值为0.212，由样本数据可以看出一个
零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为
（16×9.97﹣9.22）＝10.02，
因此μ的估计值为10.02．
2＝16×0.2122+16×9.972≈1591.134，
剔除之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为
（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，
因此σ的估计值为0.09．
22．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望
【分析】（1）记事件A1＝{从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2＝{从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，事件C＝{顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．
【解答】解：（1）记事件A1＝{从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2＝{从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，事件C＝{顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1＝A1A2，B2，C＝B1+B2，因为P（A1），P（A2），所以，P（B1）＝P（A1）P（A2），P（B2）＝P（）+P（），故所求概率为：P（C）＝P（B1+B2）＝P（B1）+P（B2）．
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3）．
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E（X）＝3．
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