3.1 回归分析的基本思想及其初步应用(1) 同步学案

选修2-3 第三章 §3.1 回归分析的基本思想及其初步应用(1)
班级 姓名
学习目标
1．了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析；
2．明确建立回归模型的基本步骤，解决实际应用问题；
3．理解残差产生的原因及残差对预报精度的影响。
学习过程
一、课前准备
复习1：相关关系、正相关、负相关的定义:
复习2：对具有线性相关关系的两个变量做回归分析的一般步骤：
二、新课导学
探究：对于一组具有线性相关关系的数据：（) , () ，…， ()，
我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：
（1）
（2）
其中：， 的意义分别是：_____ ______ ,（）称为：________________
注意：回归直线一定过样本中心.
结论：回归分析的基本步骤：
三、典例分析：
例1、 从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高和体重数据如表
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体重．
解：设身高为自变量 x ，体重为因变量 y .
作散点图:
说明：一般地，我们用相关系数来衡量两个变量之间线性相关关系．相关系数的具体计算公式为
当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当r的绝对值大于0. 75 时认为两个变量有很强的线性相关关系．
在本例中，可以计算出r =0. 798．
思考1：以上式子能反映身高与体重的真实关系吗？
思考2：真实的关系如何表示？
真实的身高和体重的关系可用下面的线性回归模型来表示：

问：上式中a、b、e的意义分别是什么？x称为_____________,y称为______________
所以：线性回归模型的完整表达式为：
(1)
在线性回归模型（1）中，随机误差e越小，通过回归直线： (2)
预报真实值y的精度越高．
思考3:产生随机误差项e的原因是什么?
思考4：为了衡量预报的精度，需要估计e的值．如何得到随机变量的样本呢？
残差：, 称为相应于点的残差．
思考5：如何减小随机误差来提高预报的精度？
在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．这方面的分析工作称为残差分析．下表列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据，称为残差表：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
残差
-6.373
2.627
2.419
-4.618
1.137
6.627
-2.883
0.382
从上表中你能发现什么？怎样修改才能提高预报精度？
我们可以用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：
显然，取值越大，意味着残差平方和越小，模型的拟合效果越好． 越接近于1，表示回归的效果越好
在例 1 中，=0. 64 ，表明“女大学生的身高解释了64 ％的体重变化”，或者说“女大学生的体重差异有 64 ％是由身高引起的”.
归纳：一般地，建立回归模型的基本步骤为：
三、总结提升
1．正相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化。
2．相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量
3．相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。
课后作业
1．对于回归分析，下列说法错误的是(　　)
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的，也可以是负的
C．回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
2．对于线性相关系数r，下列说法正确的是(　　)
A．|r|∈(－∞，＋∞)，|r|越大，相关程度越大；反之，相关程度越小
B．|r|≤1，r越大，相关程度越大；反之，相关程度越小
C．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小
D．以上说法都不正确
3．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要(　　)h.
A．6.5　　　 B．5.5　　 　C．3.5　　　 D．0.5
4．设有一个回归方程为＝2－2.5x，则变量x增加一个单位时(　　)
A．y平均增加2.5个单位 B．y平均增加2个单位
C．y平均减少2.5个单位 D．y平均减少2个单位
5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y与x的回归直线的斜率为b，纵截距为a，则必有(　　)
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同 C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
6．工人月工资y(元)关于劳动生产率x(千元)的回归方程为＝650＋80x，下列说法中正确的个数是(　　)21世纪教育网版权所有
①劳动生产率为1000元时，工资为730元；
②劳动生产率提高1000元时，则工资提高80元；
③劳动生产率提高1000元时，则工资提高730元；
④当月工资为810元时，劳动生产率约为2000元．
A．1 B．2
C．3 D．4
设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是(　　)
A．直线l过点(，) B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在0到1之间 D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
8．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，且ei恒为0，则R2为________．
9．若施化肥量x与水稻产量y的回归直线方程为＝5x＋250，当施化肥量为80 kg时，预报水稻产量为__________．
10．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程＝x＋其中＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为___．
11．已知x、y之间的一组数据如下表：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
试：(1)分别计算：、、x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4、x＋x＋x＋x； (2)求出回归方程．
12．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程，＝x＋，并在坐标中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
选修2-3 第三章 §3.1 回归分析的基本思想及其初步应用(1)参考答案
1、[答案]　D
2、[答案]　C
3、[答案]　A
4、[答案]　C
5、[答案]　A
[解析]　线性回归方程为＝bx＋a，b＞0时，x与y正相关，b＜0时，x与y负相关．因此b与r的符号相同．
6、[答案]　C
[解析]　代入方程计算，可判断①②④正确．
7、[答案]　A
[解析]　回归直线过样本中心点(，)．
8、[答案]　1
9、[答案]　650 kg
10、[答案]　68
[解析]　＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40.
又＝－2，∴＝＋2＝60.
故线性回归方程为＝－2x＋60.
当x＝－4 ℃时，＝68(度)．
11、【解】　(1)＝＝1.5，＝＝4，
x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，
x＋x＋x＋x＝02＋12＋22＋32＝14；
(2)＝＝2，
＝－＝4－2×1.5＝1，故＝2x＋1.
12、【解】　(1)散点图如图．
(2)由表中数据得xiyi＝52.5，＝3.5，＝3.5，x＝54，
∴＝…＝0.7.∴＝…＝1.05.∴＝0.7x＋1.05.
回归直线如图中所示．
(3)将x＝10代入回归直线方程，得＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，
∴预测加工10个零件需要8.05小时．