3.1 回归分析的基本思想及其初步应用(2)同步学案

选修2-3 第三章 §3.1 回归分析的基本思想及其初步应用(2)
班级 姓名
学习目标
1、理解回归模型的一般步骤；
2、回归模型在实际生活中的应用。
学习过程
一、课前准备
复习1：残差的概念及如何提高预报精度：
复习2：学过的函数模型：
复习3：建立回归模型的基本步骤：
二、新课导学
例1、现收集了一只红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表：
温度xoC
21
23
25
27
29
32
35
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
(1)试建立y与x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。
(2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？
解：选择变量，画散点图
方案1：选择线性回归方程:y=bx+a
通过计算器求得线性回归方程:
进行回归分析和预测：
R2≈
预测当气温为28时，产卵数为____个。这个线性回归模型中温度解释了______产卵数的变化。
你对此结果有什么疑问吗？如何解决你的困惑？
方案2：
(1)选择y=bx2+a来拟合，如何变为线性方程，从而利用最小二乘法求出来
(2)利用计算器计算出y和t的线性回归方程：
(3)转换回y和x的模型：

R2≈ 这个回归模型中温度解释了________产卵数的变化。
预测：当气温为28 时，产卵数为____个。
你对此结果还有疑问吗？如何解决你的困惑？
方案3：
(1)选择指数型y=来拟合，如何变为线性方程，从而利用最小二乘法求出来
(2)利用计算器计算出z和x的线性回归方程： z=0.272x-3.849
(3)转换回y和x的模型：
(4)计算相关指数R2≈ ，这个回归模型中温度解释了_______产卵数的变化。
预测：当气温为28 时，产卵数为______个。
思考1：你对此结果有什么看法？
思考2：比较以上三个方案的R2的值，说明了什么问题？
三、总结提升
一般地，建立回归模型的基本步骤：
1、确定研究对象，明确解释、预报变量；
2、画散点图；
3、确定回归方程类型（用r判定是否为线性）；
4、求回归方程；
5、评价拟合效果.
课后作业
1．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
2．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和如下表：
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
哪位同学的试验结果体现拟合A、B两变量关系的模型拟合精度高？(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．(2013·厦门高二检测)观察两个相关变量的如下数据：
x
－1
－2
－3
－4
－5
y
－0.9
－2
－3.1
－3.9
－5.1
x
5
4
3
2
1
y
5
4.1
2.9
2.1
0.9
则两个变量间的回归直线方程为(　　)
A.＝0.5x－1 B.＝x C.＝2x＋0.3 D.＝x＋1
4．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为(　　)
A．83% B．72% C．67% D．66%
5．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
6．2009年春季，某国家HINI流感流行，该国政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，如下表所示是5月1日至5月12日该国每天患HINI流感治愈者数据，根据这些数据绘制出的散点图如图所示．
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
人数
100
109
115
118
121
134
日期
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
人数
141
152
168
175
186
203
下列说法：①根据散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系．其中正确的为(　　)
A．① B．② C．①② D．以上都不对
7．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性进行分析，并用回归分析的方法分别求得相关指数R2与残差平方和Q(，)如下表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.67
0.61
0.48
0.72
Q(，)
106
115
124
103
则能体现A，B两个变量有更强的线性相关性的为________．
8．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万年，年饮食支出平均增加________万元．
9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤．
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
选修2-3 第三章 §3.1 回归分析的基本思想及其初步应用(2)参考答案
1、【答案】　B
【解析】　由图易知，①③两个图中的样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型拟合．
2、【答案】　D
【解析】　残差平方和越小，R2值越大，拟合精度越高．
3、【答案】　B
【解析】　＝(－1－2…－5＋5＋4＋…＋2＋1)＝0，
＝(－0.9－2－…－5.1＋5＋…0.9)＝0.
由回归直线方程过样本中心点(，)知B正确．
4、【答案】　A
【解析】　将y＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.2·1·c·n·j·y
5、【答案】　A
【解析】　相关指数越大，拟合效果越好．
6、【答案】　A
[解析]　由散点图知时间与人数(治愈人数)具有一定的相关关系，并不是确定性的函数关系，这种相关关系可以通过回归直线进行预测，但不能说具有一次函数关系，故A正确．
7、【答案】　丁
【解析】　丁同学所求得的相关指数R2最大，残差平方和Q(，)最小．此时A，B两变量线性相关性更强．
8、【答案】　0.254
【解析】　由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－[0.254x＋0.321]＝0.254.
9、【解】　(1)由题设所给数据，可得散点图，如图：
(2)由数据，计算得：x＝86，
＝＝4.5，
＝＝3.5，
已知xiyi＝66.5.
所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：
＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
因此，所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．