选修2-3 第一章 《计数原理》复习学案
文档属性
| 名称 | 选修2-3 第一章 《计数原理》复习学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 265.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-10 14:07:37 | ||
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文档简介
选修2-3 第一章 《计数原理》复习
班级 姓名
学习目标
1. 进一步巩固本章的四个知识点，正确使用加法原理和乘法原理，正确区分排列和组合问题，熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质；
2. 能把所学知识使用到实际问题中，并能熟练运用.
学习过程
一、课前准备
复习1：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别: .
复习2：排列中的元素满足的两个条件是 和 ；组合中元素只需要满足条件 ，与元素的顺序 关.
复习3：＝
展开式中第项的二项式系数是 ，通项公式是 ，二项式系数的性质有三个是 ， 和 .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：基础知识训练题
1．学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是
2．安排6名歌手演出顺序，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是
3．有5人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，不同分法的种数是 .
4．正十二边形的对角线的条数是
5．的展开式中，系数最大的项是第 项.
6．有4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，则可能的结果数是（ ）
A． B． C． D．
7．已知＝21，那么n＝ ；
8．某市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互异的牌照号码共有( )
A． B． C． D．
9．被9除的余数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答）
※ 典型例题
例1、用二项式定理证明：能被整除.
例2、现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．
(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？
(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？
变式1：有10个不同的小球，其中4红球，6个白球. 若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，现从10个球中任取4个，使总分不低于5分的取法有多少种？
例3、已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式中二项式系数最大的项
变式2：关于二项式(x(1)2007有四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1；
②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为；
④当x=2008时，(x(1)2007除以2008的余数是2007。其中正确命题的序号是 .
三、总结提升
1. 正确区分排列组合问题：与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合；正确使用加法与乘法原理；
2. 熟练掌握二项式定理，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，区分二项式系数与项系数的关系.
课后作业
1．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( )
A．70种 B．112种
C．140种 D．168种
2．在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是( )
A．－5 B．5
C．－10 D．10
3．如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为( )
A．320 B．160
C．96 D．60
4．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选出6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )
A．40 B．74
C．84 D．200
5．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
6．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
7．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场的顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是( )
A．6A B．3A
C．2A D．AAA
8．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有( )
A．24种 B．36种
C．60种 D．66种
9．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有__________种．
10.5的展开式中的常数项为__________(用数字作答)．
11．某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有__________种．
12．已知二项式n展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，
(1)求n；(2)求展开式中含x项的系数；(3)求展开式中所有含x的有理项．
13．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，求满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况的种数．
14．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？
(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋子有2只成双，另两只不成双．
选修2-3第一章 《计数原理》复习参考答案
例2、解：(1)可以组成无重复数字的三位数AA＝648(个)；
(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第AA＋A＋A＝156(个)； 21
(3)可以组成无重复数字的四位偶数
A＋AAA＝2 296(个)．(分0占个位和0不占个位两种情况)．
(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有
AA＋CCA＝1 140(个)．(分选出的偶数是0和不是0两种情况)
(5)由这十个数字组成的所有“渐减数”共有
C＋C＋C＋…＋C＝210－C－C＝1 013(个)．
1、解析：方法一(直接法)：
分类完成：
第1类，甲参加或乙参加，有CC种挑选方法；
第2类，甲、乙都参加，有CC种挑选方法．
所以不同的挑选方法共有CC＋CC＝140种．
方法二(间接法)：
从甲、乙等10人中挑选4人共有C种挑选方法，甲、乙两人都不参加挑选方法有C种，所以甲、乙两人中至少有1人参加的不同的挑选方法有C－C＝140种．
答案：C
2、解析：Tk＋1＝C·(x2)5－k·k＝C·x10－2k·k·(－1)k＝C·x10－3k·(－1)k.
由10－3k＝4知k＝2，
即含x4的项的系数为C(－1)2＝10.
答案：D
3、解析：按③→①→②→④的顺序涂色，有C×C×C×C＝5×4×4×4＝320种不同的方法．
答案：A
4、解析：可按包括前5个题的个数分类，共有不同的选法CC＋CC＋CC＝74种．
答案：B
5、解析：若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A＝6；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.
答案：B
6、解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)
＝(2＋)4×(－2＋)4＝1.
答案：A
7、解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A种选法，这两名女歌手有A种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A种排法，根据分步乘法计数原理，有AAA种出场方案．
答案：D
8、解析：先排甲、乙外的3人，有A种排法，再插入甲、乙两人，有A种方法，又甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占，故所求不同的站法有AA＝36(种)．
答案：B
9、解析：从除甲外的乙，丙，丁三名同学中选出两人有C种选法，再将3人安排到三个科目，有A种不同排法，因此共有CA＝18种不同方案．
答案：18
10、解析：(化简三项为二项)：原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.
所以所求的常数项为＝.
答案：
11、解析：先从6对夫妻中任选出一对，有C种不同的选法，再从其余的10人中任选出2人，
有C种选法，其中这2人恰好是一对夫妻的选法有C种，
所以共有C(C－C)＝240种不同选法．
答案：240
12、解：(1)由已知得：4n－2n＝240,2n＝16，n＝4.
(2)二项展开式的通项为：C(5x)4－rr＝C54－r(－1)rx4－r，
令4－r＝1?r＝2
所以含x项的系数：C52(－1)2＝150.
(3)由(2)得：4－r∈Z，(r＝0,1,2,3,4)，
即r＝0,2,4.
所以展开式中所有含x的有理项为：
第1项625x4，第3项150x，第5项x－2.
13、解：由题意知需要分两类：
第1类，甲上7楼，乙和丙在2,3,4,5,6层楼每个人有5种下法，
共有52种；
第2类，甲不上7楼，则甲有4种下法，乙和丙选一人上7楼，另一人有5种下法，
共有4×2×5种．
根据分类加法计数原理知，共有52＋4×2×5＝65种可能情况．
14、解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同的选法，
每双鞋子各取一只，分别有2种取法，
根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C·24＝3 360(种)．
(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，即45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，
再从9双鞋子中选取2双鞋有C种选法，
每双鞋只取一只各有2种取法，
根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC·22＝1 440(种)．
班级 姓名
学习目标
1. 进一步巩固本章的四个知识点，正确使用加法原理和乘法原理，正确区分排列和组合问题，熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质；
2. 能把所学知识使用到实际问题中，并能熟练运用.
学习过程
一、课前准备
复习1：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别: .
复习2：排列中的元素满足的两个条件是 和 ；组合中元素只需要满足条件 ，与元素的顺序 关.
复习3：＝
展开式中第项的二项式系数是 ，通项公式是 ，二项式系数的性质有三个是 ， 和 .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：基础知识训练题
1．学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是
2．安排6名歌手演出顺序，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是
3．有5人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，不同分法的种数是 .
4．正十二边形的对角线的条数是
5．的展开式中，系数最大的项是第 项.
6．有4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，则可能的结果数是（ ）
A． B． C． D．
7．已知＝21，那么n＝ ；
8．某市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互异的牌照号码共有( )
A． B． C． D．
9．被9除的余数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答）
※ 典型例题
例1、用二项式定理证明：能被整除.
例2、现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．
(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？
(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？
变式1：有10个不同的小球，其中4红球，6个白球. 若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，现从10个球中任取4个，使总分不低于5分的取法有多少种？
例3、已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式中二项式系数最大的项
变式2：关于二项式(x(1)2007有四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1；
②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为；
④当x=2008时，(x(1)2007除以2008的余数是2007。其中正确命题的序号是 .
三、总结提升
1. 正确区分排列组合问题：与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合；正确使用加法与乘法原理；
2. 熟练掌握二项式定理，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，区分二项式系数与项系数的关系.
课后作业
1．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( )
A．70种 B．112种
C．140种 D．168种
2．在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是( )
A．－5 B．5
C．－10 D．10
3．如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为( )
A．320 B．160
C．96 D．60
4．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选出6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )
A．40 B．74
C．84 D．200
5．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
6．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
7．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场的顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是( )
A．6A B．3A
C．2A D．AAA
8．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有( )
A．24种 B．36种
C．60种 D．66种
9．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有__________种．
10.5的展开式中的常数项为__________(用数字作答)．
11．某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有__________种．
12．已知二项式n展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，
(1)求n；(2)求展开式中含x项的系数；(3)求展开式中所有含x的有理项．
13．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，求满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况的种数．
14．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？
(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋子有2只成双，另两只不成双．
选修2-3第一章 《计数原理》复习参考答案
例2、解：(1)可以组成无重复数字的三位数AA＝648(个)；
(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第AA＋A＋A＝156(个)； 21
(3)可以组成无重复数字的四位偶数
A＋AAA＝2 296(个)．(分0占个位和0不占个位两种情况)．
(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有
AA＋CCA＝1 140(个)．(分选出的偶数是0和不是0两种情况)
(5)由这十个数字组成的所有“渐减数”共有
C＋C＋C＋…＋C＝210－C－C＝1 013(个)．
1、解析：方法一(直接法)：
分类完成：
第1类，甲参加或乙参加，有CC种挑选方法；
第2类，甲、乙都参加，有CC种挑选方法．
所以不同的挑选方法共有CC＋CC＝140种．
方法二(间接法)：
从甲、乙等10人中挑选4人共有C种挑选方法，甲、乙两人都不参加挑选方法有C种，所以甲、乙两人中至少有1人参加的不同的挑选方法有C－C＝140种．
答案：C
2、解析：Tk＋1＝C·(x2)5－k·k＝C·x10－2k·k·(－1)k＝C·x10－3k·(－1)k.
由10－3k＝4知k＝2，
即含x4的项的系数为C(－1)2＝10.
答案：D
3、解析：按③→①→②→④的顺序涂色，有C×C×C×C＝5×4×4×4＝320种不同的方法．
答案：A
4、解析：可按包括前5个题的个数分类，共有不同的选法CC＋CC＋CC＝74种．
答案：B
5、解析：若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A＝6；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.
答案：B
6、解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)
＝(2＋)4×(－2＋)4＝1.
答案：A
7、解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A种选法，这两名女歌手有A种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A种排法，根据分步乘法计数原理，有AAA种出场方案．
答案：D
8、解析：先排甲、乙外的3人，有A种排法，再插入甲、乙两人，有A种方法，又甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占，故所求不同的站法有AA＝36(种)．
答案：B
9、解析：从除甲外的乙，丙，丁三名同学中选出两人有C种选法，再将3人安排到三个科目，有A种不同排法，因此共有CA＝18种不同方案．
答案：18
10、解析：(化简三项为二项)：原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.
所以所求的常数项为＝.
答案：
11、解析：先从6对夫妻中任选出一对，有C种不同的选法，再从其余的10人中任选出2人，
有C种选法，其中这2人恰好是一对夫妻的选法有C种，
所以共有C(C－C)＝240种不同选法．
答案：240
12、解：(1)由已知得：4n－2n＝240,2n＝16，n＝4.
(2)二项展开式的通项为：C(5x)4－rr＝C54－r(－1)rx4－r，
令4－r＝1?r＝2
所以含x项的系数：C52(－1)2＝150.
(3)由(2)得：4－r∈Z，(r＝0,1,2,3,4)，
即r＝0,2,4.
所以展开式中所有含x的有理项为：
第1项625x4，第3项150x，第5项x－2.
13、解：由题意知需要分两类：
第1类，甲上7楼，乙和丙在2,3,4,5,6层楼每个人有5种下法，
共有52种；
第2类，甲不上7楼，则甲有4种下法，乙和丙选一人上7楼，另一人有5种下法，
共有4×2×5种．
根据分类加法计数原理知，共有52＋4×2×5＝65种可能情况．
14、解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同的选法，
每双鞋子各取一只，分别有2种取法，
根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C·24＝3 360(种)．
(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，即45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，
再从9双鞋子中选取2双鞋有C种选法，
每双鞋只取一只各有2种取法，
根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC·22＝1 440(种)．