2.3 幂函数
1.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( C )
解析:设幂函数为y=xα,将点(4,2)代入得4α=2,α=,
故f(x)=.故选C.
2.已知点M(,3)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)的表达式为( D )
(A)f(x)= (B)f(x)=
(C)f(x)=x2 (D)f(x)=x-2
解析:设f(x)=xa,代入点M(,3)得()a=3,
所以a=-2,所以f(x)=x-2.故选D.
3.如图所示的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象.已知n分别取-1,1,,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为( A )
(A)2,1,,-1 (B)2,-1,1,
(C),1,2,-1 (D)-1,1,2,
解析:在图象中,作出直线x=2,根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小,
可得曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为2,1,,-1,故选A.
4.设a=30.4,b=log30.4,c=0.43,则a,b,c的大小关系为( A )
(A)a>c>b (B)a>b>c
(C)c>a>b (D)c>b>a
解析:因为b=log30.4<0,a>1,0
c>b.故选A.
5.函数y=在区间[4,64]上的最大值为( A )
(A) (B) (C)2 (D)8
解析:因为函数y=为(0,+∞)上的减函数,所以该函数在[4,64]上单调递减,当x=4时y取得最大值,最大值为=,故选A.
6.下列结论中,正确的是( C )
(A)幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)
(B)幂函数的图象可以出现在第四象限
(C)当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数
(D)当α=-1时,幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数
解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不经过原点,故A错误;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα(α∈R)>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故B错误;当α>0时,y=xα是增函数,故C正确;当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,但在整个定义域上不是减函数,故D错误.故选C.
7.设a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系是( A )
(A)a>c>b (B)a>b>c (C)c>a>b (D)b>c>a
解析:由于幂函数y=在(0,+∞)上是增函数,且>,所以()>(),即a>c.由于指数函数y=()x在R上是减函数,且<,所以()>(),即c>b.
综上可知,a>c>b.故选A.
8.下列幂函数中是奇函数且在(0,+∞)上单调递增的是 (填序号).?
①y=x2;②y=x;③y=;④y=x3;⑤y=x-1.
解析:由奇偶性的定义知y=x2为偶函数,y==既不是奇函数也不是偶函数.由幂函数的单调性知y=x-1在(0,+∞)上单调递减,易知②④满足题意.
答案:②④
9.设α∈(-2,-1,-,,,1,2,3),则使f(x)=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α的值是 .?
解析:由f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减,可知α<0.
又因为f(x)=xα为奇函数,所以α只能取-1.
答案:-1
10.若幂函数y=(m2-3m+3)的图象不经过坐标原点,则实数m的值为 .?
解析:由题m2-3m+3=1,m=1或m=2,当m=2时,f(x)=x0,不经过原点,当m=1时,f(x)=x-2不经过原点.
答案:1或2
11.若幂函数f(x)的图象过点(4,),则f(x)的值域为 .?
解析:由题意设f(x)=xm,由点(4,)在函数图象上得4m=,解得m=-2.
所以f(x)=x-2=,故其值域为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
12.讨论函数y=的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出函数图象的草图.
解:因为y==≥0,
所以函数y=f(x)的定义域为R,值域为[0,+∞).
因为f(-x)=(-x====f(x),
所以f(x)是偶函数.
由于>0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,
又f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,
根据以上性质可画出函数y=图象的草图,如图所示.
13.已知函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数,且为奇函数.
(1)求m的值;
(2)求函数g(x)=h(x)+在x∈[0,]的值域.
解:(1)因为函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数,
所以m2-5m+1=1,解得m=0或5.
又因为h(x)为奇函数,所以m=0.
(2)由(1)可知,g(x)=x+,x∈[0,].
令=t,则t∈[0,1]?g(x)=h(t)=-t2+t+,得值域为[,1].
14.已知函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且f(3)(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-2x](a>0且a≠1),求g(x)在(2,3]上的值域.
解:(1)因为f(3)所以由幂函数的性质得,-2m2+m+3>0,
解得-1因为m∈Z,所以m=0或m=1.
当m=0时,f(x)=x3不是偶函数,
当m=1时,f(x)=x2是偶函数,
所以m=1,f(x)=x2.
(2)由(1)知g(x)=loga(x2-2x),
设t=x2-2x,x∈(2,3],则t∈(0,3],
此时g(x)在(2,3]上的值域,就是函数y=logat,t∈(0,3]的值域.
当a>1时,y=logat在区间(0,3]上是增函数,
所以y∈(-∞,loga3];当0所以y∈[loga3,+∞).
所以当a>1时,函数g(x)的值域为(-∞,loga3],
当015.已知a=()x,b=x3,c=ln x,当x>2时,a,b,c的大小关系为( B )
(A)a(C)c解析:当x=e,a=()e=<1,b=e3>1,c=ln e=1,
所以a16.给出下列函数:①f(x)=()x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=;⑤f(x)=log2x.其中满足条件f()>(0(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:①f(x)=()x,②f(x)=x2,③f(x)=x3在第一象限均是下凹图象,故不满足条件;④f(x)=,⑤f(x)=log2x在第一象限都是上凸图象,故满足条件.故选B.
17.已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则lof(2)= .?
解析:设幂函数f(x)=xα,
因为y=f(x)过点(4,2),所以4α=2,
解得α=,即f(x)=,
lof(2)=lo=-log2=-.
答案:-
18.定义函数f(x)=max{x2,x-2},x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则f(x)的最小值为 .?
解析:在同一坐标系中作出函数y=x2与y=x-2的图象,由此可得函数f(x)的图象如图所示实线部分.
由图象知f(x)在x=-1与x=1时均取最小值1,
所以f(x)min=1.
答案:1
19.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围.
解:(1)因为f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,
所以-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,
解得-1又m∈Z,
所以m=0,1,2.
而当m=0或2时,f(x)=x3不是偶函数;
当m=1时,f(x)=x4是偶函数.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x4.
(2)由(1)知f(x)=x4,
则g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c-1).
因为g(x)>2对任意的x∈R恒成立,
所以g(x)min>2,且x∈R.
又g(x)min=g(-1)=c-1,
所以c-1>2,解得c>3.
故实数c的取值范围是(3,+∞).
课件25张PPT。2.3 幂函数 自主学习1.幂函数的概念
一般地,函数 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数.知识探究y=xαxα3.幂函数的性质增减增增减自我检测1.下列函数是幂函数的是( )
(A)y=3x (B)y=log3x
(C)y=x3 (D)y=(x-1)3C2.幂函数y=xα(α是常数)的图象( )
(A)一定经过点(0,0) (B)一定经过点(-1,-1)
(C)一定经过点(1,1) (D)一定经过点(1,-1)CAB答案:-1,2题型一幂函数的概念 课堂探究解析:(1)②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B.解析:(2)由幂函数的定义可知m2-3m+3=1,
即m2-3m+2=0.解得m=1或m=2.故选C.方法技巧 幂函数解析式的结构特征:(1)解析式是单项式;(2)幂指数为常数,底数为自变量,系数为1.题型二幂函数的图象(2)如图(2),曲线C1与曲线C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限的图象,则下列结论正确的是( )
(A)n(B)m(C)n>m>0
(D)m>n>0解析:(2)由幂函数的图象知,m,n均小于0,取特殊值,令x=2,由图象可知,2m>2n,而y=2x为增函数,所以0>m>n.故选A.方法技巧 根据幂函数的图象比较指数的大小,可根据幂函数的单调性以及图象的变化判断,也可利用特征,如令x=2,作出直线x=2与各图象的交点,由指数函数y=2x的单调性即可由交点的纵坐标确定指数的大小关系.幂函数性质题型三方法技巧 比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.(4)由指数函数y=0.6x在(0,+∞)上单调递减,可知0.61.5<0.60.6,由幂函数y=x0.6在(0,+∞)上单调递增,可知0.60.6<1.50.6.
所以0.61.5<0.60.6<1.50.6.点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！