2.1.2 指数函数及其性质
第一课时 指数函数的图象及性质
1.下列各函数中,是指数函数的是( D )
(A)y=(-3)x (B)y=-3x
(C)y=3x-1 (D)y=()x
解析:根据指数函数的定义y=ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确.
2.已知集合M={-1,1},N={x<2x+1<4,x∈Z},则M∩N为( B )
(A){-1,1} (B){-1} (C){0} (D){-1,0}
解析:因为<2x+1<4,所以2-1<2x+1<22,
所以-1
所以-23.已知1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx的图象为( C )
解析:由于04.要得到函数y=21-2x的图象,只需将函数y=()x的图象( D )
(A)向左平移1个单位 (B)向右平移1个单位
(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位
解析:因为y=21-2x==(),所以只需将y=()x的图象向右平移个单位可得.故选D.
5.函数y=ax在区间[0,1]上的最大值和最小值的和为3,则函数y=3ax-1在区间[0,1]上的最大值是( C )
(A)6 (B)1 (C)5 (D)
解析:由于函数y=ax在[0,1]上为单调函数,
所以有a0+a1=3,即a=2.
所以函数y=3ax-1,即y=6x-1在[0,1]上单调递增,其最大值为y=6×1-1=5.故选C.
6.函数f(x)=ax-3+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则定点P的坐标为( B )
(A)(3,3) (B)(3,2) (C)(3,6) (D)(3,7)
解析:由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(0,1),
故令x-3=0,解得x=3,当x=3时,f(3)=2,
即无论a为何值时,x=3,y=2都成立,因此,函数f(x)=ax-3+1的图象恒过定点(3,2),
故选B.
7.函数f(x)=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则f(x)的定义域为( D )
(A)(-1,1)∪[2,4] (B)(0,1)∪[2,4]
(C)[2,4] (D)(-∞,0]∪[1,2]
解析:令t=2x,则y=t2-3t+3,因为原函数值域为[1,7],即y=t2-3t+3的值域为[1,7],
由1≤t2-3t+3≤7得-1≤t≤1或2≤t≤4,
所以-1≤2x≤1或2≤2x≤4,
所以x≤0或1≤x≤2.故选D.
8.函数g(x)=2 016x+m图象不过第二象限,则m的取值范围是( A )
(A)(-∞,-1] (B)(-∞,-1)
(C)(-∞,-2 016] (D)(-∞,-2 016)
解析:函数g(x)=2 016x+m为增函数,若g(x)=2 016x+m图象不过第二象限,则满足g(0)≤0,则g(0)=1+m≤0,则m≤-1,故选A.
9.若指数函数y=f(x)的图象经过点(-2,),则f(-)= .?
解析:设f(x)=ax(a>0且a≠1).
因为f(x)过点(-2,),
所以=a-2,
所以a=4.
所以f(x)=4x,
所以f(-)==.
答案:
10.方程4x-3·2x+1+8=0的解集为 .?
解析:化简得(2x)2-6·2x+8=0,
即(2x-2)(2x-4)=0,即2x=2或2x=4,
即x=1或x=2.
故原方程的解集为{1,2}.
答案:{1,2}
11.关于x的方程()|x|+a-2=0有解,则a的取值范围是 .?
解析:()|x|+a-2=0有解等价于a=2-()|x|有解,由于|x|≥0,所以0<()|x|≤1,由此1≤2-()|x|<2,可得关于x的方程()|x|+a-2=0有解,则a的取值范围是1≤a<2.
答案:[1,2)
12.函数y=的值域为 .?
解析:令t=4+3x-x2,由t≥0得-1≤x≤4,
易得0≤t≤,
所以0≤≤,所以1≤3 ≤,
即1≤3 ≤9,
故原函数的值域为[1,9].
答案:[1,9]
13.已知函数f(x)=k·a-x(k,a为常数,a>0且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=,试判断函数g(x)的奇偶性并给出证明.
解:(1)由已知得解得k=1,a=.
故f(x)=()-x=2x.
(2)由(1)知g(x)=,函数g(x)为奇函数.
证明:函数g(x)的定义域为R,
又g(-x)===-=-g(x).
故函数g(x)是奇函数.
14.已知f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2].
(1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值与最小值;
(2)求f(x)的最大值与最小值.
解:(1)因为t=3x在[-1,2]上是增函数,
所以tmax=32=9,tmin=3-1=.
(2)令t=3x,
因为x∈[-1,2],
所以t∈[,9].
所以f(t)=t2-2t+4,
所以f(t)=(t-1)2+3,t∈[,9],
所以当t=1时,此时x=0,f(x)min=3,
当t=9时,此时x=2,f(x)max=67.
15.已知函数y=()|x+1|.
(1)作出此函数的图象;
(2)由图象确定其单调性;
(3)由图象指出当x取什么值时函数有最大值.
解:由解析式可得y=()|x+1|=
(1)当x≥-1时,y=x+1是由y=x向左平移1个单位得到,
当x<-1时,y=3x+1是由y=3x向左平移1个单位得到,如图实线部分所示.
(2)由图象知,函数在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数.
(3)由图象知,当x=-1时,函数有最大值为1.
16.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是( D )
(A)(-,-1)∪(1,) (B)(-1,1)
(C)(-∞,-1)∪(1,+∞) (D)(-∞,-)∪(,+∞)
解析:依题意得a2-1>1,a2>2,所以|a|>,所以实数a的取值范围是 (-∞,-)∪(,+∞).故选D.
17.函数y=(0解析:当x>0时,y=ax(018.已知f(x)=-,且f(1-a)+f(1-a2)<0,则实数a的取值范围为 .?
解析:f(x)=,该函数的定义域为R,又f(-x)==-=-f(x),故f(x)为R上的奇函数,所以f(1-a)+f(1-a2)<0等价于f(1-a)a2-1,也即a2+a-2<0,解得-2答案:(-2,1)
19.若f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围为 .?
解析:因为f(x)是R上的增函数,
所以解得4≤a<8.
答案:[4,8)
20.已知函数y=b+(a,b是常数,且a>0,a≠1)在区间[-,0]上有ymax=3,ymin=,试求a,b的值.
名师点拨:本题是已知与指数函数有关的复合函数的值域求参数问题.由于指数是一个二次函数,因此需先求二次函数的值域,结合指数函数的单调性及已知条件列方程组.但由于本题中底数a的值不确定,因此需对底数分a>1和0解:令t=x2+2x=(x+1)2-1,
因为x∈[-,0],所以t∈[-1,0],
(1)若a>1,函数y=b+at在[-1,0]上为增函数,
所以当t=-1时,y取到最小值,
即b+=, ①
当t=0时,y取到最大值,即b+1=3,②
联立①②得方程组解得
(2)若0由题意得解得
综上,所求a,b的值为或
第二课时 指数函数图象及性质的应用(习题课)
1.若()2a+1<()3-2a,则实数a的取值范围是( B )
(A)(1,+∞) (B)(,+∞)
(C)(-∞,1) (D)(-∞,)
解析:考查指数函数y=()x,
因为0<<1,()2a+1<()3-2a,
所以2a+1>3-2a.
所以a>.
所以实数a的取值范围是(,+∞).故选B.
2.设a=22.5,b=2.50,c=()2.5,则a,b,c的大小关系是( D )
(A)b解析:因为函数y=2x在R上单调递增,
所以a=22.5>20=1,c=()0.5=2-0.5<20=1,b=2.50=1,所以c3.函数f(x)=是( B )
(A)偶函数,在(0,+∞)上是增函数
(B)奇函数,在(0,+∞)上是增函数
(C)偶函数,在(0,+∞)上是减函数
(D)奇函数,在(0,+∞)上是减函数
解析:因为f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数,
又因为y=2x是增函数,y=2-x为减函数,
故f(x)=为增函数.
故选B.
4.一批价值为a的设备,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,则n年后这批设备的价值为( D )
(A)na(1-b%) (B)a(1-nb%)
(C)a[1-(b%)n] (D)a(1-b%)n
解析:1年后,这批设备价值为a(1-b%)
2年后,这批设备价值为a(1-b%)(1-b%)=a(1-b%)2
……
n年后,这批设备价值为a(1-b%)n.故选D.
5.若定义运算:a☉b=则函数f(x)=3x☉3-x的值域是( A )
(A)(0,1] (B)[1,+∞)
(C)(0,+∞) (D)(-∞,+∞)
解析:当x>0时,3x>3-x,f(x)=3-x,f(x)∈(0,1);
当x=0时,f(x)=3x=3-x=1;
当x<0时,3x<3-x,f(x)=3x,f(x)∈(0,1).故f(x)的值域为(0,1].
故选A.
6.函数y=|2x-1|的大致图象是( C )
解析:如图先作y=2x的图象,再向下平移1个单位得y=2x-1的图象,再把y=2x-1的图象在x轴下方的图象翻折上去得y=|2x-1|的图象,如图实线部分.故选C.
7.已知函数f(x)的定义域为(1,2),则函数f(2x)的定义域是( A )
(A)(0,1) (B)(2,4) (C)(,1) (D)(1,2)
解析:由题知1<2x<2,则08.设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( B )
(A)f()(B)f()(C)f(((D)f()解析:由题意得f(x)=f(2-x),
所以f()=f(2-)=f(),f()=f(2-)=f().
因为1<<<,又f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,因此f()9.若-1解析:因为-11,0.2x>1,又因为0.5x<0.2x,所以b答案:b10.解方程:52x-6×5x+5=0的解集为 .?
解析:令t=5x>0,则原方程可化为t2-6t+5=0,
所以t=5或t=1,即5x=5或5x=1,
所以x=1或x=0.
答案:{0,1}
11.函数f(x)=在(-∞,1)内单调递增,则a的取值范围是 .?
解析:设u=-x2+2ax,则y=3u是R上的增函数,而原函数在(-∞,1)内单调递增,所以u=-x2+2ax在(-∞,1)也是增函数,而u=-x2+2ax的单调增区间为(-∞,a),
所以a≥1.
答案:[1,+∞)
12.若(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,则实数x的取值范围为 .?
解析:因为a2+a+2=(a+)2+>1,
所以y=(a2+a+2)x在R上是增函数.
所以x>1-x,解得x>.
所以x的取值范围是(,+∞).
答案:(,+∞)
13.已知指数函数f(x)的图象过点(2,).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知f(|x|)>f(1),求x的取值范围;
解:(1)设f(x)=ax(a>0且a≠1).
将点(2,)代入得=a2.
解得a=.
故f(x)=()x.
(2)由(1)知f(x)=()x,显然f(x)在R上是减函数,
又f(|x|)>f(1),所以|x|<1,解得-1即x的取值范围为(-1,1).
14.已知f(x)=,g(x)=()5x+5,其中a>0且a≠1.
(1)若0(2)求关于x的不等式f(x)≥g(x)的解的集合.
解:(1)由f(x)<1得<1即0,
解得x>1或x<-1,
即所求x的取值的集合为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)由f(x)≥g(x)得≥a-5x-5.
①若a>1,则3x2-3≥-5x-5,
即3x2+5x+2≥0,解得x≤-1或x≥-;
②若0即3x2+5x+2≤0,解得-1≤x≤-,
综上,若a>1,则所求解集为(-∞,-1]∪[-,+∞);若015.已知函数f(x)=a2-x(a>0且a≠1),当x>2时,f(x)>1,则f(x)在R上( A )
(A)是增函数
(B)是减函数
(C)当x>2时是增函数,当x<2时是减函数
(D)当x>2时是减函数,当x<2时是增函数
解析:因为当x>2时,2-x<0.f(x)>1,所以016.已知实数a,b满足等式()a=()b,给出下列五个关系式:①0(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:作y=()x与y=()x的图象.当a=b=0时,()a=()b=1;当ab>0时,也可以使()a=()b.故①②⑤都可能成立,不可能成立的关系式是③④.故选B.
17.已知函数f(x)=()|x-1|,则f(x)的单调递增区间是 .?
解析:令u=|x-1|,因为f(x)=y=()u在R上单调递减,
故要求f(x)的单调递增区间,只需求u=|x-1|的单调递减区间,为 (-∞,1],所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1].
答案:(-∞,1]
18.已知函数f(x)=+ax,则f(2 017)+f(-2 017)= .?
解析:f(x)+f(-x)=+ax+-ax=+=+==2,
故f(2 017)+f(-2 017)=2.
答案:2
19.已知函数f(x)=b·ax(a>0且a≠1,b∈R)图象经过A(1,6),
B(3,24).
(1)求a,b的值;
(2)设函数g(x)=-,确定函数g(x)的奇偶性;
(3)若对任意x∈(-∞,1),不等式()x>2m+1恒成立,求m的取值集合.
解:(1)由题知f(1)=6,f(3)=24,得
得
(2)由(1)知f(x)=3×2x,
则g(x)=-=·,
显然g(x)的定义域为R,
又g(-x)=·=·=-g(x),
所以g(x)为奇函数.
(3)设h(x)=()x=()x,
则当x∈(-∞,1)时,h(x)>2m+1恒成立,
即h(x)min>2m+1,
因为h(x)在R上为减函数,
则当x∈(-∞,1)时,h(x)>h(1)=,
而h(x)最小值取不到,
所以2m+1≤,得m≤-,
所以m的取值集合为{mm≤-}.
课件25张PPT。2.1.2 指数函数及其性质
第一课时 指数函数的图象及性质课标要求:1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数图象.3.初步掌握指数函数的有关性质. 自主学习1.指数函数的定义
函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.知识探究y=ax(a>0,且a≠1)2.指数函数的图象和性质(0,1) y>101增函数减函数自我检测1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( )
(A)y=(-4)x (B)y=λx(λ>1)
(C)y=-4x (D)y=ax+2(a>0且a≠1)B2.函数f(x)=ax-1+2的图象恒过定点( )
(A)(3,1) (B)(0,2)
(C)(1,3) (D)(0,1)C3.若a>1,-1(A)第一、二、三象限 (B)第一、三、四象限
(C)第二、三、四象限 (D)第一、二、四象限A答案:5x题型一指数函数概念 课堂探究解析:④为指数函数.
①中底数-8<0,
所以不是指数函数.
②中指数不是自变量x,而是x的函数,
所以不是指数函数;
③中底数a,只有规定a>0且a≠1时,才是指数函数;
⑤中3x前的系数是2,而不是1,
所以不是指数函数.故选A.方法技巧 判断一个函数为指数函数只需判定解析式符合y=ax(a>0且a≠1)结构前系数为1,指数为自变量x.即时训练1-1:函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数,则a的值是 .?答案:3题型二指数函数的图象特征【例2】 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
(A)a(B)b(C)1(D)a法二 作直线x=1,与四个图象分别交于A,B,C,D四点,则A(1,a),B(1,b), C(1,c),D(1,d),由图可知b(1)由第一象限内“底大图高”的规律判断.
(2)取特殊值x=1得函数值的大小即底数大小进行判断.即时训练2-1:(1)若y=ax+m-1(a>0且a≠1)的图象在第二、三、四象限内,则( )
(A)a>1,m>0 (B)a>1,m<0
(C)00解析:(1)由函数y=ax+m-1图象特点可知0记t=2x>0.
则y=t2-4t+1=(t-2)2-3.
故当t=2,即2x=2,
解得x=1时,y取得最小值-3.
所以函数的值域为[-3,+∞).③y=4x+2x+1+2.解:③函数定义域为R,记t=2x>0,
则y=t2+2t+2=(t+1)2+1,
对称轴为t=-1,
所以函数y=(t+1)2+1在(0,+∞)上为增函数,
所以y>2,故函数值域为(2,+∞).(2)若函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-2,2]上的最大值为14,求实数a的值.点击进入 课时作业谢谢观赏！课件27张PPT。第二课时 指数函数图象及性质的应用(习题课)课标要求:1.理解指数函数的单调性与底数a的关系,能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a对函数图象的影响.3.学会用函数思想、分类讨论思想分析解决问题. 自主学习1.已知a=20.1,b=20.2,则( )
(A)a>b (B)a(C)a=b (D)a,b大小不确定BAB5.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在x∈[-2,2]上恒有 f(x)<2,则实数a的取值范围为 .?题型一利用指数函数图象与性质比较大小 课堂探究解:(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y=1.5x的两个函数值,由于底数1.5>1,所以函数y=1.5x在R上是增函数,因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.(3)1.70.2和0.92.1;(4)0.20.3和0.30.2;(5)a1.1与a0.3(a>0且a≠1).解:(3)由指数函数性质得,1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,
所以1.70.2>0.92.1.
(4)因为0<0.2<0.3<1,所以y=0.2x与y=0.3x在定义域R上均是减函数,
且在区间(0,+∞)上函数y=0.2x的图象在y=0.3x图象的下方,所以0.20.2< 0.30.2,
又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数可得0.20.3<0.20.2<0.30.2,
所以0.20.3<0.30.2.
(5)当a>1时,y=ax在R上是增函数,故a1.1>a0.3;
当0(1)同底数幂比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较.
(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象,当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.
(3)底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较.
(4)当底数含参数时,要按底数a>1和0(1)形如ax>ay的不等式,借助y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解;
(3)形如ax>bx的形式,利用图象求解.解:(1)①当0由y=ax在R上单调递减得-3x解得x>-1.
②当a>1时,由y=ax在R上单调递增得-3x>x+4,
即-4x>4.
解得x<-1.
综上,当0当a>1时,x的取值范围为(-∞,-1).指数函数性质的综合应用题型三(2)若f(x)为奇函数,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.方法技巧 (1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题,可利用奇、偶函数的定义,根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),结合指数运算性质建立方程求参数;(2)若奇函数在原点处有定义,则可利用f(0)=0,建立方程求参数.(2)判断函数f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用单调性定义给予证明;(3)求函数f(x)的值域.解:(3)由(2)知f(x)在[0,+∞)上单调递增,
又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,
所以f(x)≥f(0)=2.故函数f(x)的值域为[2,+∞).题型四指数函数的实际应用【例4】 某驾驶员喝了少量酒后,血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少.为了保障交通安全,某地交通规则规定,驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL,那么该驾驶员停止喝酒后至少要过几小时才能驾驶?(精确到1小时)即时训练4-1:某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)之间满足函数关系y=ekx+b(e=2.718……为自然对数的底数,k,b为常数).已知该食品在0 ℃的保鲜时间为160小时,在20 ℃的保鲜时间为40小时.
(1)求该食品在30 ℃的保鲜时间;(2)若要使该食品的保鲜时间至少为80小时,则储存温度需要满足什么条件?点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！