课件23张PPT。章末总结网络建构主题串讲一、指数、对数的运算规律方法 (1)指数式的运算:①注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算.②若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
(2)对数式的运算:①注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价.②熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.二、指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质【典例2】 (1)函数f(x)=3a3-x-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点( )
(A)(2,2) (B)(3,2) (C)(2,3) (D)(3,3)
(2)已知函数f(x)=logax若f(2)>f(3),则a的取值范围为( )
(A)(0,1) (B)(1,+∞)
(C)[0,1) (D)(-∞,+∞)解析:(1)令3-x=0,即x=3,则f(3)=3×a0-1=2.
故函数f(x)的图象恒过点(3,2),故选B.
(2)因为对数函数f(x)在(0,+∞)上是单调的,
又f(2)>f(3),
所以f(x)为单调递减函数,故0
0,b>0且ab=1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是( )(4)已知f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a>0且a≠1),若f(4)g(-4)<0,则y=f(x),
y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )解析:(4)因为指数函数f(x)>0恒成立,
所以f(4)g(-4)<0,即g(-4)<0,排除C,D,
A中y=ax-2的a>1,y=loga|x|中的0(2)根据函数解析式特征确定相关的基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数等,然后确定其平移变化的方向,从而判断函数图象.
(3)指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0=1,loga1=0.
(4)指数函数与对数函数都具有单调性,当01时,两者都是递增函数.三、比较大小四、幂函数、指数函数、对数函数的综合(3)解不等式f(t+3)<0.规律方法 研究指数函数与对数函数及幂函数的综合问题,需灵活利用换元法将复合函数分解为两个简单函数,进而将问题转化为常见函数问题来处理.但要注意函数定义域的变化.五、易错题辨析纠错:错解中忽视了对数真数应大于0的条件.点击进入 检测试题谢谢观赏！第二章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.已知x,y为正实数,则( D )
(A)2lg x+lg y=2lg x+2lg y (B)2lg(x+y)=2lg x·2lg y
(C)2lg x·lg y=2lg x+2lg y (D)2lg xy=2lg x2lg y
解析:由对数函数与指数函数的运算法则,知lg x+lg y=lg xy, 2a+b=
2a·2b,所以2lg xy=2lg x+lg y=2lg x2lg y,故D正确,故选D.
2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( C )
(A)y= (B)y=e-x
(C)y=-x2+1 (D)y=lg |x|
解析:y=是奇函数;y=e-x是指数函数,非奇非偶;y=lg|x|是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,y=-x2+1是偶函数且在(0,+∞)上单调递减.故选C.
3.函数f(x)=+ln(1-x)的定义域是( D )
(A)[-1,2) (B)(-2,1) (C)(-2,1] (D)[-2,1)
解析:由题意得,?-2≤x<1,故函数f(x)的定义域为[-2,1).故选D.
4.如果a=21.2,b=()0.3,c=2log2,那么( D )
(A)c>b>a (B)c>a>b
(C)a>b>c (D)a>c>b
解析:因为由指数函数的性质可得a=21.2>2,0c>b.故选D.
5.幂函数y=f(x)经过点(3,),则f(x)是( D )
(A)偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
(B)偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
(C)奇函数,且在(0,+∞)上是减函数
(D)非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
解析:设幂函数为y=xα,代入(3,)得3α=,α=,即y=,为非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.故选D.
6.函数f(x)=()的单调递增区间为( D )
(A)(-∞,] (B)[0,]
(C)[,+∞) (D)[,1]
解析:由已知可得原函数的定义域为[0,1],由于y=()t是减函数,故原函数的增区间就是函数y=-x2+x的减区间[,1].故选D.
7.已知函数f(x)=loga(3x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( A )
(A)0(B)0(C)0(D)0解析:由题中图象可得a>1,所以0又当x=0时,y=logab.
结合图象得-18.若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象大致形状是( B )
解析:由|x-1|=ln知y==e-|x-1|=
因此函数图象关于直线x=1对称;
又当x<0时f(x)递增,当x=1时,y=1,
故选B.
9.已知函数f(x)=则f(2+log23)的值为( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为1所以f(2+log23)=f(2+log23+1)
=f(3+log23)
=f(log224)
=()
=
=
=,
故选D.
10.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( B )
(A)a(C)a解析:由于f(x)为偶函数,所以m=0,
即f(x)=2|x|-1,其图象过原点,且关于y轴对称,
在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
又a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),且0log25,所以c故选B.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分)
11.化简()(-3)÷()= .?
解析:由题意得()(-3)÷()=-9=-9a.
答案:-9a
12.已知()a=,log74=b,用a,b表示log4948为 .?
解析:由()a=可以得出a=log73,而由log74=b可以得到b=2log72,
所以log4948=(4log72+log73)=,
即用a,b表示log4948为.
答案:
13.函数f(x)=的值域为 .?
解析:当x≥1时,f(x)=lox≤lo1=0,此时值域为(-∞,0];当x<1时,0即(-∞,2).
答案:(-∞,2)
14.对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,w,若ax=by=cz=70w≠1,=++,则a= ,b= ,c= .?
解析:因为ax=70w,
所以=7,
同理=7,=7,
所以··=7·7·7,
即(abc=7,
又++=,
所以abc=70=2×5×7,
而a,b,c为正整数且70w≠1,
所以a,b,c均不为1.
又因为a≤b≤c,
所以a=2,b=5,c=7.
答案:2 5 7
15.已知f(x)=ex-e-x,g(x)=ex+e-x(e=2.718…).
(1)则[f(x)]2-[g(x)]2的值为 ;?
(2)若f(x)·f(y)=4,g(x)·g(y)=8,则= .?
解析:(1)[f(x)]2-[g(x)]2
=[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]
=[(ex-e-x)+(ex+e-x)][(ex-e-x)-(ex+e-x)]
=2ex·(-2e-x)
=-4.
(2)因为f(x)·f(y)=(ex-e-x)(ey-e-y)
=ex+y-ex-y-ey-x+e-(x+y),
g(x)·g(y)=(ex+e-x)(ey+e-y)
=ex+y+ex-y+ey-x+e-(x+y),
g(x+y)=ex+y+e-(x+y),
g(x-y)=ex-y+e-(x-y)=ex-y+ey-x,
所以
解得
所以==3.
答案:(1)-4 (2)3
16.若函数f(x)=lo(3+ax)分别在(-,1),[-,1]上为减函数,求a的取值范围分别为 , .?
解析:设t=3+ax,由y=lot为减函数知t=3+ax是x的增函数,故a>0.
若f(x)=lo(3+ax)在(-,1)上是减函数,
则t=3+ax在(-,1)上是增函数,且其最小值大于等于0,即-+3≥0,
所以a≤6,因此0若f(x)=lo(3+ax)在[-,1]上是减函数,
则-+3>0,即a<6,所以0答案:(0,6] (0,6)
17.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
(1)若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围为 ;?
(2)若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围为 .?
解析:(1)因为f(x)的值域为R,
所以要求u=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞).
当a<0时,显然不可能;
当a=0时,u=2x+1∈R成立;
当a>0时,u=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞),
则Δ=4-4a≥0,
解得0综上,可知a的取值范围是[0,1];
(2)因为f(x)的定义域为R,
所以u=ax2+2x+1的值恒为正,
所以
解得a>1,故a的取值范围是(1,+∞).
答案:(1)[0,1] (2)(1,+∞)
三、解答题(共74分)
18.(本小题满分14分)
(1)已知+=3,计算:;
(2)计算:(5)0.5-2×(2)-2×()0÷()-2;
(3)计算:log535+2log0.5-log5-log514+.
解:(1)因为(+)2=x+x-1+2=9,
所以x+x-1=7;
同理(x+x-1)2=x2+x-2+2=49,
所以x2+x-2=47,
所以原式==4.
(2)原式=()-2×()-2×
=--
=0.
(3)原式=log5(35×50÷14)+lo2+3=3-1+3=5.
19.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=+ln(3x-)的定义域为M.
(1)求M;
(2)当x∈M时,求g(x)=-2x+2+1的值域.
解:(1)由已知可得?
所以-1所以M={x|-1(2)g(x)=-2x+2+1=2·22x-4·2x+1=2(2x-1)2-1,
因为-1所以当2x=1,即x=0时,g(x)min=-1.
当2x=4,即x=2时,g(x)max=17,
所以g(x)的值域为[-1,17].
20.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1).
(1)若函数y=f(x)的图象经过P(3,4)点,求a的值;
(2)比较f(lg)与f(-2.1)大小,并写出比较过程.
解:(1)因为函数y=f(x)的图象经过P(3,4),
所以a2=4.
又a>0,所以a=2.
(2)当a>1时,f(lg)>f(-2.1);
当0证明:由于f(lg)=f(-2)=a-3;f(-2.1)=a-3.1.
当a>1时,y=ax在(-∞,+∞)上为增函数,
因为-3>-3.1,所以a-3>a-3.1.
即f(lg)>f(-2.1).
当0因为-3>-3.1,
所以a-3故有f(lg)21.(本小题满分15分)
已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)当x∈[,3]时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.
解:(1)因为f(x)在定义域R上是奇函数.
所以f(0)=0,
即=0,
所以b=1.
又由f(-1)=-f(1),即=-,
所以a=2,
检验知,当a=2,b=1时,原函数是奇函数.
(2)f(x)在R上单调递减.证明:
由(1)知f(x)==-+,
任取x1,x2∈R,设x1则f(x2)-f(x1)=-=,
因为函数y=2x在R上是增函数,
且x1所以-<0,
又(+1)(+1)>0,
所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减.
(3)因为f(x)是奇函数,从而不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x),
因为f(x)在R上是减函数,由上式推得kx2<1-2x,
即对一切x∈[,3]有k<恒成立,
设g(x)==()2-2·,
令t=,t∈[,2],
则有h(t)=t2-2t,t∈[,2],
所以g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,
所以k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1).
22.(本小题满分15分)
已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)+g(x)=2log2(1-x).
(1)求f(x)及g(x)的解析式及定义域;
(2)若偶函数F(x)=2g(x)+(k-2)x在区间(-1,1)上为单调函数,求实数k的范围;
(3)若关于x的方程f(2x)-m=0有解,求实数m的取值范围.
解:(1)因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
因为f(x)+g(x)=2log2(1-x),①
所以用-x取代x代入上式得
f(-x)+g(-x)=2log2(1+x),
即-f(x)+g(x)=2log2(1+x),②
联立①②可得,
f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)=log2(-1g(x)=log2(1-x)+log2(1+x)=log2(1-x2)(-1(2)因为g(x)=log2(1-x2),
所以F(x)=-x2+(k-2)x+1,
因为函数F(x)在区间(-1,1)上为单调函数,
所以≤-1或≥1,
所以所求实数k的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞).
(3)因为f(x)=log2,
所以f(2x)=log2.
设t=,
则t==-1+.
因为f(x)的定义域为(-1,1),2x>0,
所以0<2x<1,1<1+2x<2,<<1,
0<-1+<1,
即0因为关于x的方程f(2x)-m=0有解,则m<0,
故m的取值范围为(-∞,0).
