2.1.1 指数与指数幂的运算
第一课时 根 式
1.下列说法正确的是(其中n∈N*)( C )
(A)正数的n次方根是一个正数
(B)负数的n次方根是一个负数
(C)0的n次方根为0
(D)a的n次方根是
2.下列各式正确的是( C )
(A)=-3 (B)=a
(C)()3=-2 (D)=2
解析:由于=3,=|a|,=-2,故选项A,B,D错误,故选C.
3.若+(a-2)0有意义,则a的取值范围是( D )
(A)a≥0 (B)a=2
(C)a≠2 (D)a≥0且a≠2
解析:由题知得a≥0且a≠2,故选D.
4.若2 018
(A)1 (B)4 034-2m
(C)4 034 (D)2m-4 034
解析:因为2 018故原式=m-2 018+|m-2 019|
=m-2 018+2 019-m
=1.故选A.
5.给出下列4个等式:①=±2;②=;③若a∈R,则(a2-a+1)0=1;④设n∈N*,则=a.其中正确的个数是( B )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①中==2,所以①错误;②错误;③因为a2-a+1>0恒成立,所以(a2-a+1)0有意义且恒等于1,所以③正确;④若n为奇数,则=a,若n为偶数,则=|a|,所以当n为偶数时,a<0时不成立,所以④错误.故选B.
6.函数f(x)=(x-5)0+的定义域为( A )
(A){x|25} (B){x|x>2}
(C){x|x>5} (D){x|x≠5且x≠2}
解析:因为解得x>2且x≠5,
即定义域为{x|25}.故选A.
7.++的值为( A )
(A)-6 (B)2-2 (C)2 (D)6
解析:=-6,=|-4|=4-,=-4,
所以原式=-6+4-+-4=-6.故选A.
8.当a>0时,等于( C )
(A)x (B)x
(C)-x (D)-x
解析:因为a>0,所以x<0,=|x|=-x,故选C.
9.若81的平方根为a,-8的立方根为b,则a+b= .?
解析:因为81的平方根为±9,
所以a=±9.
又因为-8的立方根为b,
所以b=-2.
所以a+b=-11或a+b=7.
答案:-11或7
10.若x≠0,则|x|-+= .?
解析:因为x≠0,所以原式=|x|-|x|+=1.
答案:1
11.若=x-4,则实数x的取值范围是 .?
解析:因为==|x-4|=x-4,所以x≥4.
答案:[4,+∞)
12.化简:+= .?
解析:原式=+=3++3-=6.
答案:6
13.化简:+.
解:原式=|x-2|+|x+2|.
当x≤-2时,原式=(2-x)+[-(x+2)]=-2x;
当-2当x≥2时,原式=(x-2)+(x+2)=2x.
综上,原式=
14.化简:+.
解:依题意,有x≥0,y≥0,且x≠y,
原式=+
=--(-)=0.
15.已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,求的值.
解:因为a,b是方程x2-6x+4=0的两根,所以
又因为a>b>0,所以>,
()2====.
所以==.
16.若a<,则的化简结果是( C )
(A) (B)-
(C) (D)-
解析:因为a<,所以2a-1<0,
所以=.
又==.故选C.
17.若函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则的值为( C )
(A)2b (B)a-b+c (C)-2b (D)0
解析:因为开口向下,所以a<0,
且f(-1)=a-b+c=0,
所以a+c=b,
所以==|a+b+c|=|2b|,
又因为对称轴x=-<0,
所以b<0,所以=-2b.故选C.
18.设f(x)=,若0解析:f(a+)==
==a-,
由于0答案:-a
19.已知+x=1,化简()2++= .?
解析:由题|x-1|=1-x,所以x≤1,
所以原式=1-x+1-x+x-1=1-x.
答案:1-x
20.若a2-b2>0,试化简a-b.
名师点拨:由于本题待化简式中的分母一个为a-b,另一个为a+b,因此可想到统一分母的形式便于化简后通分,从而第一个式子分子分母同乘以a+b,第二个式子分子分母同乘以a-b,变形后的两个式子的分子均含完全平方式,开方时要考虑它们的符号,从而需分类讨论.
解:原式=a-b=-,
因为a2-b2>0,
所以a+b>0且a-b>0或a+b<0且a-b<0.
当a+b>0且a-b>0时,原式===.
当a+b<0且a-b<0时,
原式==.
第二课时 指数幂及其运算性质
1.用分数指数幂的形式表示a3·(a>0)的结果是( B )
(A) (B) (C)a4 (D)
解析:因为a>0,所以a3·=a3·==.故选B.
2.下列运算结果中,正确的是( D )
(A)a2·a3=a6 (B)(-a2)3=(-a3)2
(C)(+1)0=0 (D)(-a2)3=-a6
解析:a2·a3=a2+3=a5,A错;
(-a2)3=(-1)3×a2×3=-a6,(-a3)2=(-1)2×a3×2=a6,B错;(+1)0=1,C错,故选D.
3.下列各式中成立的一项是( D )
(A)()7=n7 (B)=
(C)=(x+y (D)=
解析:A中()7=n7m-7,故A错;B中的===,故B错;C中不可进行化简运算;D中的=(=(=,故D正确.
4.化简()(-3)÷()等于( C )
(A)6a (B)-a (C)-9a (D)9a
解析:原式=(-3×3)=-9a.故选C.
5.若-=m,则等于( C )
(A)m2-2 (B)2-m2
(C)m2+2 (D)m2
解析:将-=m两边平方,得a-2+a-1=m2,即a+a-1=m2+2,
所以原式=a+=m2+2.故选C.
6.设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:====a2·=,故选C.
7.若a>1,b>0,ab+a-b=2,则ab-a-b等于( D )
(A) (B)2或-2 (C)-2 (D)2
解析:因为a>1,b>0,所以ab>a-b,(ab-a-b)2=(ab+a-b)2-4=(2)2-4=4,
所以ab-a-b=2.故选D.
8.设x,y是正数,且xy=yx,y=9x,则x的值为( B )
(A) (B) (C)1 (D)
解析:依题意得x9x=(9x)x,(x9)x=(9x)x,所以x9=9x.所以x8=9,所以x==.故选B.
9.-+的值为 .?
解析:原式=-+=-+=.
答案:
10.2+1-()-2-()= .?
解析:原式=(33+()-4-[()3]=9+-4-=3.
答案:3
11.若10x=3,10y=4,则102x-y= .?
解析:102x-y=102x÷10y===.
答案:
12.若a=2+,b=2-,则(a+1)-2+(b+1)-2= .?
解析:原式=(3+)-2+(3-)-2
=()2+()2
=.
答案:
13.计算:
(1)(2)0+2-2·(2)+()0.5+;
(2)(·()÷.
解:(1)原式=1+·()++2
=1+++2=4.
(2)原式=×()×()
=2×()
=2×()4
=.
14.当a=4,b=27时,求下列各式的值.
(1)+;
(2)÷().
解:(1)因为====.
又因为=,
所以原式=+,
故当a=4,b=27时,原式=+2=+(33=+9=.
(2)因为原式=÷()=÷(·=b÷(ab)=.
所以原式==(22=.
15.化简求值:
(1)2×(×)6+(-4×()-×80.25+(-2 005)0;
(2)(2)(-6)÷(-3).
解:(1)原式=2×(×)6+(×-4×-×+1=2×22×33+2-3-2+1=214.
(2)原式=[2×(-6)÷(-3)]
=4ab0
=4a.
16.若=9,则3-x的值为( D )
(A)3 (B) (C)81 (D)
解析:将=9两边平方,得3x=81,所以3-x=.故选D.
17.已知a+=3(a>0),下列各式正确的个数为( C )
①a2+a-2=7;②a3+a-3=18;③+=±;④a+=2.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:将a+=3两边平方,得a2++2=9,
所以a2+a-2=7,故①正确;
将a+=3两边立方,得a3++3a+=27,
所以a3+a-3=18,故②正确;
a++2=(+)2=5,又因为>0,>0,
所以+=,故③错误;
a+=(+)(a+a-1-1)=(3-1)=2,故④正确.故选C.
18.计算:(+2)2 016(2-)2 017= .?
解析:原式=(+2)2 016(2-)2 016(2-)
=[(2+)(2-)]2 016(2-)
=2-.
答案:2-
19.已知函数f(x)=则f()-f(5+)的值为 .?
解析:因为=<1,而5+>1,
所以f()-f(5+)=·-(5+-5)2+3=-+3=3.
答案:3
20.已知函数f(x)=,g(x)=.分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
名师点拨:由于-与+的乘积恰好为平方差公式的变形.先根据已知条件中解析式的特征计算f(x)·g(x)的值,并结合f(4),f(9)的值计算f(4)-5f(2)g(2)与f(9)-5f(3)g(3)的值均为0,并且由解析式可知f(x2)恰好等于5f(x)g(x),由此可概括出一般的等式f(x2)-5f(x)g(x)=0.
解:由f(x)=,g(x)=,
得f(4)-5f(2)g(2)=-5××=-=-=0,
f(9)-5f(3)g(3)=-5××=-=0.
由此得出x≠0时有f(x2)-5f(x)g(x)=0.
证明:f(x2)-5f(x)g(x)
=-5××
=-
=-
=0.
课件21张PPT。第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第一课时 根 式课标要求:1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式运算性质进行化简、求值,体验分类讨论思想的应用. 自主学习1.根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果 ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示知识探究xn=a根指数被开方数0aa|a|-a自我检测A解析:原式=|x+3|-(x-3),当x≥-3时,原式=6;当x<-3时,原式=-2x,故选C.CC 答案:1或2a-1题型一根式的概念 课堂探究答案:③④误区警示 根式概念问题应关注的两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;
(2)n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号.②中(-4)2n+1<0,所以无意义;
③中根指数为5,有意义;
④中若a<0,则a5<0,所以无意义.故选B.题型二根式性质的应用误区警示条件根式的化简题型三答案:-1误区警示 为使开偶次方后不出现符号错误,第一步先用绝对值表示开方的结果,第二步再去掉绝对值符号,化简时要结合条件进行分类讨论.解:(1)原式=|6-x|-|2x+1|+|x+5|,
因为x<-5,
所以6-x>0,2x+1<0,x+5<0,
所以原式=6-x+2x+1-x-5=2.点击进入 课时作业谢谢观赏！课件22张PPT。第二课时 指数幂及其运算性质课标要求:1.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化.2.掌握有理数指数幂的运算性质.3.了解无理数指数幂的意义. 自主学习1.分数指数幂的概念知识探究0 没有意义2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras= (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= (a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
3.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.ar+sarsarbr实数自我检测BBC题型一根式与指数幂的互化 课堂探究方法技巧 (1)根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应.①根指数?分数指数的分母;②被开方数(式)的指数?分数指数的分子.
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂途径有两条:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.题型二利用指数幂的运算性质化简求值方法技巧 进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,化带分数为假分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,以达到化繁为简的目的.附加条件的幂的求值题型三(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,所以a2+a-2=47.方法技巧 条件求值问题的基本步骤是先找条件和所求之间的关系,然后进行化简,最后代值运算,求值过程中要注意平方差公式、立方差公式以及一元二次方程中根与系数关系的灵活应用.点击进入 课时作业谢谢观赏！