2.2.2 对数函数及其性质
第一课时 对数函数的图象及性质
1.下列函数是对数函数的是( C )
(A)y=logax2(a>0且a≠1)
(B)y=logax(a>0且a≠1)
(C)y=lox(a>0且a≠1)
(D)y=loga|x|(a>0且a≠1)
解析:A和D中真数不是自变量x,不是对数函数;B中logax前的系数不是1,故不是对数函数.故选C.
2.函数f(x)=loga(2x-3)-4(a>0且a≠1)的图象恒过定点( D )
(A)(1,0) (B)(1,-4) (C)(2,0) (D)(2,-4)
解析:因为总有f(2)=loga(2×2-3)-4=-4,所以函数恒过定点(2,-4).故选D.
3.已知函数f(x)=loga(x-m)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是( A )
(A)增函数 (B)减函数
(C)奇函数 (D)偶函数
解析:由题意知所以
故f(x)=log4(x-3).因此函数在定义域上是增函数,选A.
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,若实数a满足f()>f(-),则a的取值范围是( B )
(A)(-∞,) (B)(0,)
(C)(,+∞) (D)(1,)
解析:由题知f()>f(-)可得f()>f(),
即f()>f(),
又可知f(x)在[0,+∞)上单调递减,则0<<,
即log3a<得0
5.已知f(x)=满足f(a)=3,则f(a-5)的值为( A )
(A) (B) (C)log23 (D)1
解析:当a≤3时,f(a)=2a-3+1=3?a=4>3,不合题设;
当a>3时,f(a)=log2(a+1)=3?a=7>3,成立,
所以f(a-5)=f(2)=22-3+1=.故选A.
6.函数f(x)=的定义域为(0,10],则实数a的值为( C )
(A)0 (B)10 (C)1 (D)
解析:由已知,得a-lg x≥0的解集为(0,10],由a-lg x≥0,得lg x≤a,x≤10a,又07.已知a解析:由题图可知08.函数f(x)=loga|x|+1(a>1)的图象大致为( C )
解析:函数f(x)=loga|x|+1(a>1)是偶函数,
所以f(x)的图象关于y轴对称,当x>0时,f(x)=logax+1是增函数;当x<0时,f(x)=loga(-x)+1是减函数,又因为图象过(1,1),(-1,1)两点,结合选项可知,选C.
9.函数f(x)=+lg(1-3x)的定义域为 .?
解析:由题得得x<.
答案:(-∞,)
10.如果函数f(x)=(3-a)x,g(x)=logax的增减性相同,则a的取值范围是 .?
解析:若f(x),g(x)均为增函数,则即1答案:(1,2)
11.若函数y=log2x+2的反函数的定义域为(3,+∞),则此函数的定义域为 .?
解析:函数y=log2x+2的反函数的定义域为(3,+∞),则这个函数的值域为(3,+∞),
所以log2x+2>3,
得log2x>1,
所以x>2.
答案:(2,+∞)
12.若函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),并且对任意x1,x2∈(0,+∞)时,>0,试写出满足题意的一个函数解析式 .?
解析:由对数函数满足f(xy)=f(x)+f(y)且根据>0知为增函数,故函数y=f(x)可以是一个对数的底数大于1的增函数.
答案:f(x)=log3x(x>0)(只要是底数大于1的对数函数均可)
13.已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及此时x的值.
解:y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+log3x2+2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3,
因为f(x)的定义域为[1,9],
则y=[f(x)]2+f(x2)中x必须满足
所以1≤x≤3,
所以0≤log3x≤1,
所以6≤y≤13.
所以当x=3时,ymax=13.
14.已知函数f(x)=loga(3+2x),g(x)=loga(3-2x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域;
(2)判断函数y=f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明.
解:(1)要使函数y=f(x)-g(x)有意义,
必须有解得-所以函数y=f(x)-g(x)的定义域是{x-(2)y=f(x)-g(x)是奇函数.
由(1)知函数y=f(x)-g(x)的定义域关于原点对称,
f(-x)-g(-x)=loga(3-2x)-loga(3+2x)
=-[loga(3+2x)-loga(3-2x)]
=-[f(x)-g(x)].
所以函数y=f(x)-g(x)是奇函数.
15.设定义域均为[,8]的两个函数f(x)和g(x),其解析式分别为f(x)=log2x-2和g(x)=log4x-.
(1)求函数y=f(x)的值域;
(2)求函数G(x)=f(x)·g(x)的值域.
解:(1)因为y=log2x在[,8]上是增函数,
所以log2≤log2x≤log28,即log2x∈[,3].
故log2x-2∈[-,1],
即函数y=f(x)的值域为[-,1].
(2)G(x)=f(x)·g(x)=(log2x-2)(log4x-)
=(log2x-2)(log2x-)
=[(log2x)2-3log2x+2],
令t=log2x,x∈[,8],t∈[,3],
则y=(t2-3t+2)=(t-)2-,t∈[,3],
故当t=时,y取最小值,最小值为-;
当t=3时,y取最大值,最大值为1.
所以函数G(x)=f(x)·g(x)的值域为[-,1].
16.若函数f(x)=a1-x(a>0,a≠1),且f(-1)=,则g(x)=loga|x+1|的图象是( A )
解析:由f(-1)=得,a2=,所以a=,
所以g(x)=lo|x+1|=
由此选A.
17.若log(2a-1)(a2-2a+1)的值为正数,则a的取值范围是( D )
(A)(0,2) (B)(0,)∪(1,2)
(C)(-∞,0)∪(2,+∞) (D)(,1)∪(2,+∞)
解析:由于对数值为正,
则或
解得a∈(,1)∪(2,+∞).故选D.
18.函数y=lo(3+2x-x2)的值域是 .?
解析:设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4,
因为u>0,所以0又因为y=lou在(0,+∞)上是减函数,
所以y=lou≥lo4=-2.
答案:[-2,+∞)
19.已知函数f(x)=的值域为R,那么a的取值范围是 .?
解析:由题意得当x≥1时,ln x≥0,要使函数f(x)的值域为R,则需满足解得-1≤a<.所以实数a的取值范围为[-1,).
答案:[-1,)
20.函数f(x)=lg(ax)·lg.
(1)当a=0.1,求f(1 000)的值;
(2)若f(10)=10,求a的值;
(3)若对一切正实数x恒有f(x)≤,求a的取值范围.
名师点拨:当a=0.1时,直接代入x=1 000可求f(1 000)的值,而根据f(10)=10,可转化为关于lg a的二次方程,解方程可求a,当f(x)≤时,可转化为关于lg x的二次不等式恒成立问题,由此根据判别式的符号结合对数函数性质求a的范围.
解:(1)当a=0.1时,f(x)=lg(0.1x)·lg,
所以f(1 000)=lg 100·lg=2×(-7)=-14.
(2)因为f(10)=lg(10a)·lg
=(1+lg a)(lg a-2)
=lg2a-lg a-2=10,
所以lg2a-lg a-12=0,
所以(lg a-4)(lg a+3)=0,
所以lg a=4或lg a=-3.
所以a=104或a=10-3.
(3)因为对一切正实数x恒有f(x)≤,
所以lg(ax)·lg≤对一切正实数恒成立.
即(lg a+lg x)(lg a-2lg x)≤,
所以2lg2x+lg alg x-lg2a+≥0对任意正实数x恒成立.
因为x>0,所以lg x∈R.
由二次函数的性质可得,Δ=lg2a-8(-lg2a)≤0.
所以lg2a≤1,所以-1≤lg a≤1.
所以≤a≤10.
所以a的取值范围为[,10].
课件23张PPT。2.2.2 对数函数及其性质
第一课时 对数函数的图象及性质课标要求:1.初步理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的图象和性质.3.了解反函数的概念,知道指数函数与对数函数互为反函数.4.通过类比思想,利用指数函数探索对数函数的图象及性质,学会研究函数的方法. 自主学习1.对数函数的概念
函数 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是 .知识探究y=logax(a>0,且a≠1)(0,+∞) 2.对数函数的图象与性质(1,0)增函数减函数3.反函数
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)和指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为 .反函数自我检测DBC5.函数y=2+log2x(x≥1)的值域为 .?解析:当x≥1时,log2x≥0,所以y=2+log2x≥2.
答案:[2,+∞)题型一对数函数的概念 课堂探究【例1】 (1)下列函数中,是对数函数的是 .?
①y=logax2(a>0,且a≠1);②y=log2x-1;③y=2log8x;④y=logxa(x>0,且x≠1);⑤y=log5x.解析:(1)①中真数不是自变量x,不是对数函数;
②中对数式后减1,故不是对数函数;
③中log8x前的系数是2,而不是1,故不是对数函数;
④中底数是自变量x,而非常数a,故不是对数函数;
⑤是对数函数.
答案:(1)⑤ 答案:(2)f(x)=log3x方法技巧 (1)判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:
①系数为1;
②底数为大于0且不等于1的常数;
③对数的真数仅有自变量x.
(2)若已知对数函数过定点求解析式时,常用待定系数法,设f(x)=logax(a>0且a≠1),将定点代入后利用指对数式互化或指数幂的运算性质求a.解析:(1)a2-a+1=1,解得a=0或a=1.
又a+1>0,且a+1≠1,所以a=1.
(2)因为函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过(1,0),
则令x+1=1,得x=0,
此时y=loga(0+1)-2=-2,
所以函数图象恒过定点(0,-2).
答案:(1)1 (2)(0,-2)即时训练1-1:(1)函数f(x)=(a2-a+1)loga+1x是对数函数,则实数a= ;?
(2)函数y=loga(x+1)-2(a>0且a≠1)的图象恒过点 .?题型二对数函数的图象特征(2)函数y=loga|x|+1(0(1)令y=logax=1,则自变量x等于底数a,由自变量大小确定a的大小.
(2)根据对数函数在第一象限符合底大图右的规律判断.即时训练2-1:已知a>0且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是( )解析:由y=loga(-x)的定义域为(-∞,0)知,图象应在y轴左侧,可排除A,D选项.
当a>1时,y=ax应为增函数,y=loga(-x)应为减函数,可知B项正确.
而对C项,由图象知y=ax递减?0(1)负数和0没有对数;
(2)对数函数的底数是一个大于0且不等于1的数;
(3)真数大于0.点击进入 课时作业谢谢观赏！第二课时 对数函数的图象及性质的应用(习题课)
1.已知a=log23.4,b=log43.6,c=log30.3,则( A )
(A)a>b>c (B)b>a>c
(C)a>c>b (D)c>a>b
解析:因为a=log23.4>1,0b>c,故选A.
2.已知a=lg e,b=(lg e)2,c=lg,则( B )
(A)a>b>c (B)a>c>b
(C)c>a>b (D)c>b>a
解析:因为e>,所以lg e>lg,所以a>c,
因为0c>b.
故选B.
3.若loga<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围为( C )
(A)(,1) (B)(,+∞)
(C)(0,)∪(1,+∞) (D)(0,)∪(,+∞)
解析:当a>1时,loga,此时a>1,
当0综上可知01,选C.
4.设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a等于( D )
(A) (B)2 (C)2 (D)4
解析:因为a>1,所以f(x)=logax在区间[a,2a]上单调递增,所以loga(2a)-logaa=即loga2=,所以=2,即a=4.故选D.
5.已知loga>logb>0,则有( D )
(A)1(C)0解析:由loga>0,logb>0知0又因为loga>logb,由图象知a>b,所以06.函数f(x)=|lox|的单调递增区间是( D )
(A)(0,] (B)(0,1] (C)(0,+∞) (D)[1,+∞)
解析:f(x)的图象如图所示,由图象可知单调递增区间为[1,+∞).故选D.
7.若loga<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是( B )
(A)(0,) (B)(0,)∪(1,+∞)
(C)(1,+∞) (D)(0,1)
解析:当a>1时,loga<0<1,成立.
当0由loga<1=logaa,得01.故选B.
8.若函数f(x)=loga(2x+1)(a>0,且a≠1)在区间(-,0)内恒有f(x)>0,则f(x)的单调减区间是( B )
(A)(-∞,-) (B)(-,+∞)
(C)(-∞,0) (D)(0,+∞)
解析:当x∈(-,0)时,2x+1∈(0,1),所以0又因为f(x)的定义域为(-,+∞),y=2x+1在(-,+∞)上为增函数,所以f(x)的单调减区间为(-,+∞).故选B.
9.设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 .?
解析:①若a>0,则-a<0,所以log2a>loa?log2a>log2?a>?a>1.
②若a<0,则-a>0,lo(-a)>log2(-a)?log2(-)>log2(-a)?->-a?a∈(-1,0).
由①②可知a∈(-1,0)∪(1,+∞).
答案:(-1,0)∪(1,+∞)
10.已知函数f(x)=log2为奇函数,则实数a的值为 .?
解析:由奇函数得f(x)=-f(-x),
log2=-log2,
=,a2=1,
因为a≠-1,
所以a=1.
答案:1
11.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= .?
解析:由题知f(-x)=f(x),
即-xln(-x+)=xln(x+),
则ln(x+)+ln(-x+)=0,
所以ln(a+x2-x2)=0,
即ln a=0,
所以a=1.
答案:1
12.函数y=log2(4+3x-x2)的单调递减区间是 .?
解析:由4+3x-x2>0得-1则t在(-1,]上单调递增,在[,4)上单调递减,
因此所求单调递减区间为(,4).
答案:(,4)
13.已知函数f(x)=
(1)在直角坐标系中,画出该函数图象的草图;
(2)根据函数图象的草图,求函数y=f(x)的值域、单调增区间.
解:(1)当x<1时,f(x)是二次函数,主要画出顶点、对称轴和函数图象与两个坐标轴的交点.
当x≥1时,画出f(x)=lox的图象,然后关于x轴对称变换即可.
(2)根据图象可知,函数值域为R,单调增区间为(-∞,0),(1,+∞).
14.已知:函数f(x)=loga(2+x)-loga(2-x)(a>0且a≠1).
(1)求f(x)定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)求使f(x)>0的x的集合.
解:(1)因为f(x)=loga(2+x)-loga(2-x)(a>0且a≠1),
所以
解得-2故所求函数f(x)的定义域为{x|-2(2)f(-x)=loga(-x+2)-loga(2+x)=-[loga(x+2)-loga(2-x)]=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(3)原不等式可化为loga(2+x)>loga(2-x).
①当a>1时,y=logax单调递增,
所以
即0②当0所以即-2综上所述,当a>1时,不等式的解集为(0,2);当015.已知函数f(x)=lo(x2-2ax+3).
(1)若f(x)定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)值域为R,求实数a的取值范围;
(3)是否存在a∈R,使f(x)在(-∞,2)上单调递增,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:令u(x)=x2-2ax+3,
(1)f(x)定义域为R,则u(x)>0恒成立,?Δ<0?-即实数a的取值范围为(-,).
(2)f(x)值域为R,则u(x)能取遍(0,+∞)的所有实数,
?Δ≥0?a≤-或a≥,
即实数a的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞).
(3)不存在.理由如下:
f(x)在(-∞,2)上单调递增,则u(x)在(-∞,2)上单调递减,
且u(x)min>0???a∈,
所以不存在这样的实数a.
16.若函数f(x)=loga|x+1|在(-1,0)上有f(x)>0,则f(x)( C )
(A)在(-∞,0)上是增函数
(B)在(-∞,0)上是减函数
(C)在(-∞,-1)上是增函数
(D)在(-∞,-1)上是减函数
解析:当-10,
所以0因此f(x)=loga|x+1|在(-∞,-1)上递增,在(-1,+∞)上递减.故选C.
17.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是( D )
(A)[-1,2] (B)[0,2]
(C)[1,+∞) (D)[0,+∞)
解析:当x≤1时,由21-x≤2,即1-x≤1,解得0≤x≤1;
当x>1时,由1-log2x≤2,即log2x≥-1,解得x>1.
综上所述,x的取值范围是[0,+∞),故选D.
18.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是 .?
解析:令y=logat(t>0),t=2-ax,若01,
又因为t>0对任意x∈[0,1]恒成立,所以2-a>0?a<2,所以实数a的取值范围是(1,2).
答案:(1,2)
19.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f=0,则不等式f(lox)>0的解集为 .?
解析:因为f(x)是R上的偶函数,所以它的图象关于y轴对称.
因为f(x)在[0,+∞)上为增函数,所以f(x)在(-∞,0]上为减函数,
作出函数大致图象如图所示.由f=0,得f-=0.
所以f(lox)>0?lox<-或lox>?x>2或0答案:(0,)∪(2,+∞)
20.已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=x+b没有交点,求b的取值范围;
(3)设h(x)=log9(a·3x-a),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求a的取值范围.
名师点拨:根据偶函数性质,利用f(-x)=f(x)及对数运算性质建立方程求k.函数y=f(x)的图象与直线y=x+b无公共点,则转化为方程f(x)=x+b无解,分离参数可求b的范围,而h(x)与f(x)的图象只有一个公共点,可转化为方程f(x)=h(x)只有一个实根.
解:(1)因为y=f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即对于任意x恒成立.
于是2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9-log9(9x+1)=-x恒成立,而x不恒为零,
所以k=-.
(2)由题意知方程log9(9x+1)-x=x+b即方程log9(9x+1)-x=b无解.
令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.
因为g(x)=log9=log9(1+),
由1+>1,
则g(x)=log9(1+)>0,
所以b的取值范围是(-∞,0].
(3)由题意知方程3x+=a·3x-a有且只有一个实数根.
令3x=t>0,则关于t的方程(a-1)t2-at-1=0(记为(*))有且只有一个正根.
若a=1,则t=-,不合题意,舍去.
若a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根.
由Δ=0?a=或-3.
但a=?t=-2,不合题意,舍去;而a=-3?t=.
若方程(*)的两根异号?(a-1)·(-1)<0?a>1.
综上所述,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).
课件22张PPT。第二课时 对数函数的图象及性质的应用(习题课)课标要求:1.进一步理解对数函数的图象与性质.2.掌握对数函数图象与性质的应用.3.体会数形结合思想、分类讨论思想在函数问题中的作用. 自主学习1.若a=log30.2,b=log40.2,则( )
(A)a>b (B)a(C)a=b (D)以上都不对B自我检测2.若0>ln x>ln y,则( )
(A)0(B)0(C)0(D)x<0(4)loga3.1与loga5.2(a>0且a≠1).解:(3)取中间值1,
因为log23>log22=1=log55>log54,
所以log23>log54.
(4)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,
又3.1<5.2,
所以loga3.1当0又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.解:(1)当a>1时,由函数y=logax的单调性可知loga2.7当0loga2.8.
(2)因为log34>log33=1,log65log65.
(3)因为log0.37log91=0,所以log0.37(2)求解对数不等式易忽略定义域优先的原则,导致增解.即时训练2-1:已知f(x)=lg(x+1),若0(1)f(x)=ln(x2-2x-8);(2)f(x)=loga(a-ax).解:(1)因为f(x)=ln(x2-2x-8),所以x2-2x-8>0,所以(x-4)(x+2)>0,所以x>4或x<-2.
设u=x2-2x-8,则y=ln u在(0,+∞)上是增函数,
又u=(x-1)2-9在(1,+∞)上是增函数,在(-∞,1)上是减函数.
所以函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).
(2)令t=a-ax.
①若a>1,则y=logat递增且t=a-ax递减,
而a-ax>0即ax所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)上递减.
②若0而a-ax>0即ax1,
所以y=loga(a-ax)在(1,+∞)上递减.题型四对数函数性质的综合应用【例4】 已知函数f(x)=log2(1+x2).
求证:(1)函数f(x)是偶函数;证明:(1)函数f(x)的定义域是R,
f(-x)=log2[1+(-x)2]
=log2(1+x2)=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数. 方法技巧 常见对数函数有关的复合函数的性质问题求解方法:(1)若涉及函数奇偶性可利用奇偶性定义f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))求解;(2)若涉及函数单调性的判定可利用复合函数单调性判断方法;(3)若涉及函数单调性的证明可利用对数运算性质及函数单调性证明方法.点击进入 课时作业谢谢观赏！