2.2.1 对数与对数运算
第一课时 对 数
1.有下列说法:
①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫做常用对数;④=-5成立.
其中正确命题的个数为( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:②错误,如(-1)2=1,不能写成对数式;④错误,log3(-5)没有 意义.
2.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=100;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是( C )
(A)①③ (B)②④ (C)①② (D)③④
解析:lg(lg 10)=lg 1=0,①正确;
ln(ln e)=ln 1=0,②正确;
10=lg x得x=1010,③错误;
e=ln x,x=ee,④错误.故选C.
3.已知logx9=2,则x的值为( B )
(A)-3 (B)3 (C)±3 (D)
解析:由logx9=2得x2=9,又因为x>0且x≠1,所以x=3.故选B.
4.若loga=c,则下列各式正确的是( A )
(A)b=a5c (B)b=c5a (C)b=5ac (D)b5=ac
解析:由loga=c得ac=,所以b=a5c.故选A.
5.已知loga=m,loga3=n,则am+2n等于( D )
(A)3 (B) (C)9 (D)
解析:由已知得am=,an=3.
所以am+2n=am×a2n=am×(an)2=×32=.故选D.
6.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:由题知log3(log2x)=1,则log2x=3,
解得x=8,所以===.故选D.
7.已知f(2x+1)=,则f(4)等于( B )
(A)log25 (B)log23
(C) (D)
解析:令2x+1=4,得x=log23,
所以f(4)=log23,选B.
8.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(yx)的值是( B )
(A)1 (B)0 (C)x (D)y
解析:x2+y2-4x-2y+5=0,则(x-2)2+(y-1)2=0,
所以x=2,y=1.logx(yx)=log212=0.故选B.
9.已知对数式log(a-2)(10-2a)(a∈N)有意义,则a= .?
解析:由对数定义知得2
又因为a∈N,所以a=4.
答案:4
10.方程log2(1-2x)=1的解x= .?
解析:因为log2(1-2x)=1=log22,所以1-2x=2,所以x=-.经检验满足1-2x>0.
答案:-
11.已知=,则x= .?
解析:由已知得log2x=log9=log9=-,
所以x==.
答案:
12.若f(10x)=x,则f(3)= .?
解析:令10x=3,则x=lg 3,
所以f(3)=lg 3.
答案:lg 3
13.计算下列各式:
(1)10lg 3-(+eln 6;
(2)+.
解:(1)原式=3-()0+6
=3-1+6
=8.
(2)原式=22÷+3-2·
=4÷3+×6
=+
=2.
14.(1)已知10a=2,10b=3,求1002a-b的值;
(2)已知log4(log5a)=log3(log5b)=1,求的值.
解:(1)1002a-b=104a-2b===.
(2)由题得log5a=4,log5b=3,
则a=54,b=53,
所以==5.
15.(1)求值:0.1-2 0150+1+;
(2)解关于x的方程(log2x)2-2log2x-3=0.
解:(1)原式=0.-1++
=()-1-1+23+
=-1+8+=10.
(2)设t=log2x,
则原方程可化为t2-2t-3=0,
(t-3)(t+1)=0,
解得t=3或t=-1,
所以log2x=3或log2x=-1,
所以x=8或x=.
16.()的值为( C )
(A)6 (B) (C)8 (D)
解析:()=()-1·()=2×4=8.故选C.
17.若a>0,=,则loa等于( B )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:因为=,a>0,所以a=()=()3,则loa=lo()3=3.故选B.
18.计算:lo(+)= .?
解析:因为(-)·(+)=n+1-n=1,
所以+=(-)-1,
所以原式=-1.
答案:-1
19.已知logx27=,则x的值为 .?
解析:logx27==3·=3×2=6,所以x6=27,所以x6=33,又x>0,所以x=.
答案:
20.设x=,y=(a>0且a≠1),求证:z=.
证明:由已知得logax=,①
logay=, ②
将②式代入①式,得logaz=,
所以z=.
第二课时 对数的运算
1.下列等式成立的是( C )
(A)log2(8-4)=log28-log24
(B)=log2
(C)log28=3log22
(D)log2(8+4)=log28+log24
解析:由对数的运算性质易知C正确.
2.对于a>0且a≠1,下列说法中正确的是( C )
①若M=N,则logaM=logaN;
②若logaM=logaN,则M=N;
③若logaM2=logaN2,则M=N;
④若M=N,则logaM2=logaN2.
(A)①③ (B)②④ (C)② (D)①②③④
解析:①中当M=N≤0时,logaM,logaN都没有意义,故不正确;
②正确;
③中当M,N互为相反数且不为0时,也有logaM2=logaN2,此时M≠N,不正确;
④中当M=N=0时,logaM2,logaN2都没有意义,故不正确.综上知选C.
3.若lg m=b-lg n,则m等于( D )
(A) (B)10bm (C)b-10n (D)
解析:由题知lg m+lg n=b,即lg(mn)=b,解得10b=mn,
所以m=.故选D.
4.设lg 2=a,lg 3=b,则log512等于( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:log512==
===.故选C.
5.设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,则( B )
(A)=+ (B)=+
(C)=+ (D)=+
解析:设3a=4b=6c=t,则a=log3t,b=log4t,c=log6t.
所以=logt3,=logt4,=logt6.
所以+=logt9+logt4=2logt6=.选B.
6.已知log32=a,3b=5,则log3由a,b表示为( A )
(A)(a+b+1) (B)(a+b)+1
(C)(a+b+1) (D)a+b+1
解析:由3b=5得b=log35,
所以log3=log330=(log33+log32+log35)=(1+a+b).故选A.
7.若x1,x2是方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)·lg x+lg 2·lg 3=0的两根,则x1x2等于( C )
(A)lg 2+lg 3 (B)lg 2·lg 3
(C) (D)-6
解析:由题知lg x1+lg x2=-(lg 2+lg 3)=-lg 6,
则lg(x1x2)=-lg 6=lg,故x1x2=,选C.
8.已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为( B )
(A) (B)60 (C) (D)
解析:logm(xyz)=logmx+logmy+logmz=,而logmx=,logmy=,
故logmz=-logmx-logmy=--=,即logzm=60.故选B.
9.已知2lg(x+y)=lg 2x+lg 2y,则= .?
解析:因为2lg(x+y)=lg 2x+lg 2y,所以lg(x+y)2=lg(4xy),所以(x+y)2=4xy,
即(x-y)2=0.所以x=y,所以=1.
答案:1
10.已知log34·log48·log8m=log416,则m= .?
解析:由题知··=log416=log442=2,
所以=2,
即lg m=2lg 3=lg 9,
所以m=9.
答案:9
11.已知=(a>0),则loa= .?
解析:因为=(a>0),
所以=,
所以a=()3,故loa=lo()3=3.
答案:3
12.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两根,则(lg)2= .?
解析:由题知
则(lg)2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=22-4×=2.
答案:2
13.求下列各式的值:
(1)4lg 2+3lg 5-lg;
(2)log220-log25+log23·log34;
(3);
(4)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645的值.
解:(1)原式=4lg 2+3lg 5+lg 5=4lg 2+4lg 5=4.
(2)原式=log2+log23·=log24+log24=2log24=4.
(3)原式=
=
==.
(4)因为log189=a,18b=5,所以log185=b,
于是log3645======.
14.解下列关于x的方程:
(1)lg=lg(x-1);
(2)log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).
解:(1)原方程等价于
解之得x=2.
经检验x=2是原方程的解,
所以原方程的解为x=2.
(2)原方程可化为
log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1).
即log4=log4.
整理得=,解之得x=7或x=0.
当x=7时,3-x<0,不满足真数大于0的条件,故舍去.
x=0满足,
所以原方程的解为x=0.
15.已知二次函数f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最小值为3,求(loga5)2+loga2·loga50的值.
解:因为f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a存在最小值3,
所以lg a>0,
f(x)min=f(-)=4lg a-=3,
即4(lg a)2-3lg a-1=0,
则lg a=1,
所以a=10,
所以(loga5)2+loga2·loga50=(lg 5)2+lg 2·lg 50
=(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)=(lg 5)2+lg 2lg 5+lg 2
=lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2=lg 5+lg 2=1.
16.若2.5x=1 000,0.25y=1 000,则-等于( A )
(A) (B)3
(C)- (D)-3
解析:因为x=log2.51 000,y=log0.251 000,所以==log1 0002.5,
同理=log1 0000.25,所以-=log1 0002.5-log1 0000.25=log1 00010==.故选A.
17.已知log2x=log3y=log5z<0,则,,的大小排序为( A )
(A)<< (B)<<
(C)<< (D)<<
解析:x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z<0,所以=2k-1,=3k-1,=5k-1,可得,=21-k>1,=31-k>1,=51-k>1.即1-k>0,因为函数f(x)=x1-k单调递增,所以<<.故选A.
18.已知logax=2,logbx=3,logcx=6,则log(abc)x的值为 .?
解析:因为logax=2,logbx=3,logcx=6,
则a2=x,b3=x,c6=x,
所以a=,b=,c=,
所以abc==x,
所以log(abc)x=logxx=1.
答案:1
19.下列给出了x与10x的七组近似对应值:
组号
一
二
三
四
五
六
七
x
0.301 03
0.477 11
0.698 97
0.778 15
0.903 09
1.000 00
1.079 18
10x
2
3
5
6
8
10
12
假设在上表的各组对应值中,有且仅有一组是错误的,它是 第 组.?
解析:由指数式与对数式的互化可知,
10x=N?x=lg N,
将已知表格转化为下表:
组号
一
二
三
四
五
六
七
N
2
3
5
6
8
10
12
lg N
0.301 03
0.477 11
0.698 97
0.778 15
0.903 09
1.000 00
1.079 18
因为lg 2+lg 5=0.301 03+0.698 97=1,
所以第一组、第三组对应值正确.
又显然第六组正确,
因为lg 8=3lg 2=3×0.301 03=0.903 09,
所以第五组对应值正确.
因为lg 12=lg 2+lg 6=0.301 03+0.778 15=1.079 18,
所以第四组、第七组对应值正确.
所以只有第二组错误.
答案:二
20.若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,
求lg(ab)·(logab+logba)的值.
解:原方程可化为2(lg x)2-4lg x+1=0.
设t=lg x,则方程化为2t2-4t+1=0,
所以t1+t2=2,t1·t2=.
又因为a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,
所以t1=lg a,t2=lg b,即lg a+lg b=2,lg a·lg b=.
所以lg(ab)·(logab+logba)=(lg a+lg b)·(+)=(lg a+ lg b)·
=(lg a+lg b)·
=2×=12,
即lg(ab)·(logab+logba)=12.
课件18张PPT。2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第一课时 对 数课标要求:1.理解对数的概念,明确对数与指数的互化关系.2.掌握对数的基本性质,并能应用性质解决相关问题.3.了解对数在简化运算中的作用. 自主学习1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 ,其中a叫做对数的 ,N叫做 .
2.常用对数与自然对数
(1)常用对数:通常我们将以 为底的对数叫做常用对数,记作 .
(2)自然对数:以 为底的对数称为自然对数,记作 .知识探究x=logaN底数真数10lg Neln N3.对数loga N(a>0,且a≠1)具有下列简单性质
(1) 没有对数,即N 0;
(2)1的对数为 ,即loga1= ;
(3)底数的对数等于 ,即logaa= ;负数和零>零011N自我检测1.下列说法不正确的是( )
(A)0和负数没有对数
(B)一个数的对数可以等于0和负数
(C)以a(a>0且a≠1)为底,1的对数等于0
(D)以2为底4的对数等于±2D2.若3x=2,则x等于( )
(A)log23 (B)log32 (C)32 (D)23B3.若log2m=3,则m等于( )
(A)8 (B)9 (C)log23 (D)log32A4.若log3(3x-2)有意义,则x的取值范围是 .?5.log6[log4(log381)]= .?答案:0题型一对数的概念 课堂探究误区警示 在利用ax=N(a>0,且a≠1)?x=logaN(a>0,且a≠1)进行互化时,要分清各字母或数字分别在指数式和对数式中的位置.解:(1)24=16.(4)log464=3.题型二对数概念的简单应用(2)设t=log3x,则log5t=0,
所以t=1,即log3 x=1,所以x=3.
(3)由ln[log2(lg x)]=0,
得log2(lg x)=1,
所以lg x=2,
故x=102=100.方法技巧 解决此类问题应抓住对数的两条性质loga1=0和logaa=1(a>0,且a≠1),这是将对数式化简、求简单对数值的基础,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算求解.解:(1)因为log33=1,所以x=log51=0.
(2)由已知得log4x=1,所以x=4.对数恒等式的应用题型三方法技巧 利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为 的形式.点击进入 课时作业谢谢观赏！课件22张PPT。第二课时 对数的运算课标要求:1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质进行化简求值.2.了解对数的换底公式,能应用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题.3.体会转化思想在对数中的作用. 自主学习1.对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
(1)loga (M·N)= ;知识探究logaM+logaNlogaM-logaN(3)loga Mn= (n∈R).nlogaM自我检测ACA答案:-n5.log89·log332= .?题型一对数运算 课堂探究方法技巧 (1)本题主要考查对数式的化简与计算.解决这类问题一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.
(2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5, lg 5=1-lg 2等解题.题型二换底公式应用【例2】 (1)计算:(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258);(2)若log23=a,log949=b,试用a,b表示log5642.与对数有关的方程问题题型三【例3】 解方程:
(1)log5(2x+1)=log5(x2-2);(2)(lg x)2+lg x3-10=0.解:(1)由log5(2x+1)=log5(x2-2)得2x+1=x2-2,
即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.
检验:当x=-1时,2x+1<0,舍去;当x=3时,2x+1>0,x2-2>0.故x=3.
(2)原方程整理得(lg x)2+3lg x-10=0,即(lg x+5)(lg x-2)=0,
所以lg x=-5或lg x=2,
解得x=10-5或x=102,
经检验知:x=10-5,x=102都是原方程的解.方法技巧 简单的对数方程及其解法(2)lg x+2log10xx=2.点击进入 课时作业谢谢观赏！