3.2.1 几类不同增长的函数模型
1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( D )
(A)一次函数 (B)幂函数
(C)指数型函数 (D)对数型函数
解析:初期增长迅速,后来增长越来越慢,可用对数型函数模型来反映y与x的关系,故选D.
2.四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是( D )
(A)f1(x)=x2 (B)f2(x)=2x
(C)f3(x)=log2x (D)f4(x)=2x
解析:由增长速度可知,当自变量充分大时,指数函数的值最大,故 选D.
3.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车,乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( A )
(A)在t1时刻,甲车在乙车前面
(B)t1时刻后,甲车在乙车后面
(C)在t0时刻,两车的位置相同
(D)t0时刻后,乙车在甲车前面
解析:由题图知甲车在(0,t1)段的曲边梯形的面积大于乙车在(0,t1)段的曲边梯形的面积,面积表示路程,因此甲车在乙车的前面.
4.2015年湖北省教育厅出台《湖北省高中招生政策》后,某高中当年的生源质量得到一定的改善.该校计划2018年高考一类上线500人,以后每年比前一年多上线8%,则该校2020年高考一本上线人数大约(四舍五入)是( C )
(A)581 (B)582 (C)583 (D)584
解析:由题意可得,500×(1+0.08)2=500×1.166 4=583.2,所以选C.
5.一家旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,旅社经理发现,每天每间客房的价格与住房率之间的关系如下:
每间每天定价
20元
18元
16元
14元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天收入达到最高,则每间客房定价应为( C )
(A)20元 (B)18元 (C)16元 (D)14元
解析:四种定价客房每天的收入分别为20×65%×100=1 300元;18×
75%×100=1 350元;
16×85%×100=1 360元;14×95%×100=1 330元.
故每间每天定价16元收入最高.
6.函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长较快的一个是 .?
解析:当x变大时,x比ln x增长要快,
所以x2要比xln x增长的要快.
答案:y=x2
7.长为4,宽为3的矩形,当长增加x,且宽减少时面积最大,此时x= ,最大面积S= .?
解析:依题意得S=(4+x)(3-)=-x2+x+12=-(x-1)2+12,
所以当x=1时,S最大值=12.
答案:1 12
8.已知函数的图象如图所示,试写出它的一个可能的解析式 .?
解析:可由题目图象的两点特征去确定.
第一点:过两定点(0,1),(10,3).
第二点:增长情况.
答案:y=lg(x2+1)+1(x≥0)(答案不唯一)
9.为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式;
(2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜.
思路点拨:由图象可知,函数关系是线性关系,因此,可以用一次函数解决该实际问题.
解:(1)由题目图象可设y1=k1x+29,y2=k2x,
把点B(30,35),C(30,15)分别代入,
得k1=,k2=.
所以y1=x+29,
y2=x.
(2)令y1=y2,
即x+29=x,
则x=.
当x=时,y1=y2,两种卡收费一致;
当x<时,y1>y2,即使用如意卡便宜;
当x>时,y1
10.某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.
(1)写出服药后,y与t之间的函数关系式y=f(t);
(2)据测定:每毫克血液中含药量不少于0.25微克时,治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间?
解:(1)当0≤t≤1时,y=4t,
当t>1时,y=()t-a,此时M(1,4)在曲线上,
所以4=()1-a,
所以a=3,这时y=()t-3.
所以y=f(t)=
(2)因为f(t)≥0.25,即
解得
所以≤t≤5.
所以服药一次治疗疾病有效的时间为5-=4个小时.
11.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,由于市场发生变化,A产品连续两次提价20%,B产品连续两次降价20%,结果都以23.04元出售.若此时厂家同时出售A,B产品各一件,则相对于没有调价时的盈亏情况是( D )
(A)不亏不赚 (B)赚5.92元
(C)赚28.96元 (D)亏5.92元
解析:A,B两产品的原价分别为a,b,则a==16,b==36, 16+36-23.04×2=5.92,所以比原价亏5.92元,故选D.
12.向高为H的水瓶内注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是( B )
解析:取OH的中点(如图)E作h轴的垂线,由图知当水深h达到容量一半时,体积V大于一半.易知B符合题意.
13.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中,关于x呈指数函数变化的函数是 .?
解析:从表格可以看出三个变量y1,y2,y3都随x的增大而变大,但增长速度不同,其中y1的增长速度最快,画出它的散点图(图略)知变量y1关于x呈指数函数变化.
答案:y1
14.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt,其中N0,λ是正的常数.由放射性元素的这种性质,可以制造出高精度的时钟,用原子数N表示时间t的解析式为 .?
解析:N=N0e-λt?=e-λt?-λt=ln?
t=-ln.
答案:t=-ln
15.某乡镇现在人均占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后人均占有y千克粮食,求出函数y关于x的解析式.
解:设该乡镇现在人口数量为M,
则该乡镇现在一年的粮食总产量360M,经过1年后,
该乡镇粮食总产量为360M(1+4%),人口量为M(1+1.2%),
则人均占有粮食,
经过2年后,人均占有粮食y=,…,
经过x年后,人均占有粮食y=,
即所求函数解析式为y=360()x.
16.某企业常年生产一种出口产品,根据预测可知,该产品的产量平稳增长.且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表 所示:
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a, f(x)=lox+a.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取第1年和第3年的数据求出相应的解析式;
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,第7年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,确定第7年的年产量.
解:(1)最适合的函数模型是f(x)=ax+b,
若模型为f(x)=2x+a,
则由f(1)=21+a=4,得a=2,
即f(x)=2x+2,
此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.
若模型为f(x)=lox+a,
则f(x)是减函数,与已知不符合.
由已知得解得
所以f(x)=x+,x∈N+.
故最适合的模型解析式为f(x)=x+,x∈N+.
(2)第7年预计年产量为f(7)=×7+=13,
第7年实际年产量为13×(1-30%)=9.1,
第7年的年产量为9.1万件.
课件27张PPT。3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型课标要求:1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长差异.2.结合实例体会直线上升,对数增长,指数爆炸等不同函数类型增长的含义.3.会分析具体的实际问题,建模解决实际问题. 自主学习1.三种函数模型的性质知识探究上升上升上升2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是 .
,但 不同,且不在同一个“档次”上.
(2)随着x的增大,y=ax(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度 .
(3)存在一个x0,当x>x0时,有 .增函数增长速度越来越慢logax(A)y=x2 (B)y=log2x (C)y=2x (D)y=2xD 3.某保护区有1单位面积的湿地,由于保护区努力,湿地每年以5%的增长率增长,经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数为( )
(A)y=x (B)y=x2
(C)y=(1+5%)x (D)y=x+x2C4.若长方形的长x是宽的2倍,则该长方形的面积y与x之间的关系式为 .?5.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,到第7年它们发展到 只.?答案:300题型一图象信息迁移问题 课堂探究【例1】如图所示,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象,根据图象填空:(1)通话2分钟,需付电话费 元;?
(2)通话5分钟,需付电话费 元;
(3)如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为 .?解析:(1)由题中图象可知,当t≤3时,电话费都是3.6元.
(2)由题中图象可知,当t=5时,y=6,需付电话费6元.答案:(1)3.6
(2)6
(3)y=1.2t(t≥3)方法技巧 解答图象信息迁移题的方法:(1)明确横轴,纵轴的意义,如本题中横轴t表示通话时间,纵轴y表示电话费;(2)从图象形状上判定函数模型,如本题中在区间[0,3]和[3,+∞)上均是直线型;(3)抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点(最大值点),最低点(最小值点),及折线的拐角点等;(4)通过方程,不等式,函数等数学模型化实际问题为数学问题.即时训练1-1:(1)甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )
(A)甲比乙先出发
(B)乙比甲跑的路程多
(C)甲、乙两人的速度相同
(D)甲先到达终点解析:(1)由题图可知甲、乙同时出发,且所跑路程相同,因为甲所用时间较少,所以甲先到达终点.综上,选D.(2)一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了,中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )解析:(2)观察图象A,体温逐渐降低,不合题意;图象B不能反映“下午体温又开始上升”;图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”.故选C.(3)某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况,从某码头乘汽艇出发,沿直线方向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两周后,把汽艇停靠岸边,上岸考察,然后又乘汽艇沿原航线提速返回.设t为出发后的某一时刻,s为汽艇与码头在时刻t的距离,下列图象中能大致表示s=f(t)的函数关系的为( )解析:(3)当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时,s=vt,图象为一条线段;当环岛两周时,s两次增至最大,并减少到与环岛前的距离s0;上岸考察时,s=s0;返回时,s=s0-vt,图象为一条线段.故选C.题型二常见函数模型增长趋势的比较【例2】函数f(x)=2x和g(x)=x3(x≥0)的图象,如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1g(10)=1 000,f(10)=1 024,
所以f(1)>g(1),f(2)g(10).
所以1所以x1<8从题中图象上知,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),且g(x)在(0,+∞)上是增函数,
所以f(2 015)>g(2 015)>g(8)>f(8). 由指数函数,对数函数增长的规律,识别图象,即指数函数增长的速度越来越快,在某一位置会远远超过幂函数的增长,总存在x0,使x>x0时,ax>xα.方法技巧即时训练2-1: 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.(1)指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,
C2对应的函数为f(x)=lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x),
当x∈(x1,x2)时,g(x)当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x).函数模型的选取题型三【例3】 某工厂今年1月,2月,3月生产某种产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为估测以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y和月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数y=ax2+bx+c或函数y=a·bx+c(其中a,b,c为常数,a≠0,b>0且b≠1).已知4月份该产品的产量为1.37万件,问用上述哪一种函数作为模拟函数好?请说明理由.方法技巧 开放型的探究题,函数模型不是确定的,需要我们去探索,去尝试,找到最合适的模型,解题过程一般步骤:
(1)用待定系数法求出函数解析式;
(2)检验:将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最适合的函数模型;
(3)利用所求出的函数模型解决问题.即时训练3-1:芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位为:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如下表:(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt;(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.建立函数模型解决实际问题题型四【例4】 某林区2014年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林,严禁采伐等措施,使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x(x∈N)年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求f(x)的解析式;解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米,
经过1年后木材蓄积量为200+200×5%=200×(1+5%)(万立方米);
经过2年后木材蓄积量为200×(1+5%)+200×(1+5%)×5%=200×(1+5%)2(万立方米);
…
经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)x(万立方米).
所以f(x)=200(1+5%)x.
函数的定义域为[0,+∞).(2)作出函数f(x)的图象,并应用图象求经过多少年后,林区的木材蓄积量达到300万立方米?解:(2)作函数f(x)=200(1+5%)x(x≥0)的图象,如图所示.作直线y=300,与函数y=200(1+5%)x的图象交于A点,设
A(x0,300),则A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时
(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x的值.
因为8