3.1.1 方程的根与函数的零点
1.函数y=-x的零点是( D )
(A)1 (B)-1
(C)(1,0),(-1,0) (D)1,-1
解析:由y=0,即-x=0,解得x=1或x=-1.所以函数的零点为1,-1.故 选D.
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c中,a·c<0,则该函数的零点个数是( B ) (A)1 (B)2
(C)0 (D)无法确定
解析:因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,
所以该函数有两个零点,
故选B.
3.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有对应值 如表:
x
1
2
3
f(x)
3.4
2.6
-3.7
则函数f(x)一定存在零点的区间是( C )
(A)(-∞,1) (B)(1,2)
(C)(2,3) (D)(3,+∞)
解析:若f(x)在[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0则f(x)在[a,b]上一定存在零点.因为f(2)>0,f(3)<0所以f(x)在[2,3]上一定存在零点. 选C.
4.函数f(x)=ln x-x2+4x+5的零点个数为( C )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:由数形结合可知函数y=ln x图象与函数y=x2-4x-5图象有2个交点.所以函数f(x)有2个零点.故C正确.
5.函数f(x)=x2-ex的零点个数为( B )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:函数f(x)=x2-ex的零点个数,可转化为函数y=x2和y=ex图象的交点的个数,在同一坐标系中作出函数y=x2和y=ex的图象,如图所示,
由图象可知,当x<0时,函数y=x2和y=ex的图象只有一个交点,
当x≥0时,函数y=x2的图象始终在函数y=ex的图象的下方,没有交点,
所以函数f(x)=x2-ex有且只有一个零点,故选B.
6.设函数f(x)=log2x+2x-3,则函数f(x)的零点所在的区间为( B )
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)
解析:因为函数f(x)=log2x+2x-3,所以f(1)=log21+21-3=-1<0,f(2)=log22+22-3=2>0,所以在区间(1,2)内函数存在零点.故选B.
7.函数f(x)=()x-x+2的零点所在的一个区间是( C )
(A)(-1,0) (B)(0,1) (C)(2,3) (D)(1,2)
解析:函数f(x)=()x-x+2,可得,f(-1)=5>0,
f(0)=3>0,f(1)=>0,f(2)=>0,f(3)=-<0,
由零点存在定理可知,函数的零点在(2,3)内.故选C.
8.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( B )
(A)f(x1)<0,f(x2)<0
(B)f(x1)<0,f(x2)>0
(C)f(x1)>0,f(x2)<0
(D)f(x1)>0,f(x2)>0
解析:因为x0是函数f(x)=2x+的一个零点,
所以f(x0)=0,
因为f(x)=2x+是单调递增函数,且x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以f(x1)
9.已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为( A )
(A)(0,1) (B)(0,2) (C)(0,3) (D)(1,3)
解析:因为函数f(x)=所以作出函数f(x)图象,如图所示,因为方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,等价于函数y=f(x)的图象与y=a有三个不同的交点,根据图象可知,当010.定义:区间[x1,x2](x1(A)1 (B)2 (C)0 (D)3
解析:函数y=2|x|的值域为[1,2],且函数在(-∞,0)单调递减,在[0,+∞)单调递增,则0≤|x|≤1,即最大长度m=2,最小长度n=1.则函数g(x)=mx-(x+2n)=2x-(x+2),求零点个数,可令y1=2x,y2=x+2,即两函数图象交点个数.由图象可看出共有两个零点.故选B.
11.直线y=3与函数y=|x2-6x|图象的交点个数为 .?
解析:由y=|x2-6x|图象如图所示,则两函数图象交点个数为4.
答案:4
12.已知函数f(x)=lg x+x-10的零点在区间(k,k+1)上,k∈Z,则k= .?
解析:由题意知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数.
且f(9)=lg 9+9-10=lg 9-1<0,
f(10)=lg 10+10-10=1>0,即f(9)f(10)<0,
所以函数f(x)在(9,10)内存在唯一的零点,
因为函数f(x)=lg x+x-10的零点在区间(k,k+1)上,k∈Z,所以k=9.
答案:9
13.已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax+(x-1)2-2a的零点个数为 .?
解析:设g(x)=2a-ax,h(x)=(x-1)2,注意到g(x)的图象恒过定点(1,a),画出它们的图象,无论a>1还是0答案:2
14.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=4x-16;
(3)f(x)=.
(4)f(x)=lg2x-2lg x.
解:(1)令-8x2+7x+1=0,解得x=-或x=1.
所以函数的零点为x=-和x=1.
(2)令4x-16=0,则4x=42,解得x=2.
所以函数的零点为x=2.
(3)因为f(x)==,
令=0,解得x=-6.
所以函数的零点为x=-6.
(4)令lg2x-2lg x=0得lg x=0或lg x=2.
所以x=1或x=100,即函数f(x)的零点是1和100.
15.若函数f(x)=ax2-x-1的负零点有且仅有一个,求实数a的取值 范围.
解:当a=0时,f(x)=-x-1,令f(x)=0,得x=-1,符合题意;当a>0时,此函数图象开口向上,
又f(0)=-1<0,结合二次函数图象知符合题意;
当a<0时,此函数图象开口向下,又f(0)=-1<0,
从而有即a=-.
综上可知,实数a的取值范围为{-}∪[0,+∞).
16.已知函数f(x)=-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0(A)恒为负值 (B)等于0
(C)恒为正值 (D)不大于0
解析:由f(x)=0,得()=log2x0,
分别作出函数y=,y=log2x的图象,
由图象可知,当0log2x1,
所以f(x1)=()-log2x1>0.故选C.
17.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是 .?
解析:画出函数f(x)的图象,令y=k与y=f(x)有两个不同的交点,
根据图象分析,如果有两个不同的交点,答案:(,1)
18.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)当a=1时,求函数f(x)的零点;
(2)若f(x)有零点,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1.
令f(x)=0,即2·-2x-1=0,
解得2x=1或2x=-(舍去),
所以x=0,所以函数f(x)的零点为x=0.
(2)若f(x)有零点,
则方程2a·4x-2x-1=0有解.
于是2a==+=[()x+]2-,
因为>0,
所以2a>-=0,
解得a>0.即a的取值范围为(0,+∞).
课件23张PPT。第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点课标要求:1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及个数.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的判断方法,会求函数的零点,并会判断零点的个数. 自主学习1.函数的零点
对于函数y=f(x),把使 叫做函数y=f(x)的零点.
探究1:函数的零点是函数与x轴的交点吗?
答案:不是.函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.
2.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)=0 ?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)
.知识探究f(x)=0的实数x有实数根有零点3.函数零点的存在条件
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 的一条曲线,并且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 ,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的根.
探究2:函数y=f(x)在[a,b]上连续不间断,当f(a)f(b)<0时,函数零点个数是否唯一?
答案:不唯一.只有函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调函数时函数零点唯一.连续不断f(a)·f(b)<0有零点f(c)=0自我检测A 解析:当x≤0时,由f(x)=x2+2x-3=0得x1=-3,x2=1(舍去);
当x>0时,由f(x)=-2+ln x=0得x=e2.综上,函数的零点个数为2.故选B.A B 答案:24.方程2x=10-x的根x∈(k,k+1),k∈Z,则k= .?5.函数f(x)=|4x-x2|-a恰有3个零点,则实数a= .?答案:4题型一求函数的零点 课堂探究(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.方法技巧 (1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解,求解时注意函数的定义域.
(2)已知x0是函数f(x)的零点,则必有f(x0)=0.(2)求函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点,并画出函数的大致图象.解:(2)令x3-2x2-x+2=0,
得x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)
=(x-2)(x+1)(x-1)=0,
所以函数f(x)有3个零点,分别为-1,1,2.
又f(0)=2>0,根据函数零点的性质可知在区间(-1,1)内,f(x)>0;
在区间(-∞,-1)内,f(x)<0;
在区间(1,2)内,f(x)<0;在区间(2,+∞)内,f(x)>0.
其大致图象如图所示.题型二函数零点的个数【例2】 判断函数f(x)的零点个数.
(1)f(x)=x2+mx+1(m∈R);解:(1)Δ=m2-4×1×1=m2-4,
①当Δ<0,即m2-4<0时,解得-2此时方程f(x)=0无解,函数无零点;
②当Δ=0,即m2-4=0时,解得m=±2,
此时方程f(x)=0有两个相同的实根,函数只有一个零点;
③当Δ>0,即m2-4>0时,解得m<-2或m>2,此时方程f(x)=0有两个不相等的实根,所以函数有两个零点.
综上,当m∈(-2,2)时,函数无零点;当m=±2时,函数有一个零点;当m∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,函数有两个零点.(2)f(x)=x-3+ln x.解:(2)令f(x)=x-3+ln x=0,
则ln x=3-x,
在同一平面直角坐标系内画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,
如图所示,
由图可知函数y=ln x,y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点. 判断函数零点的个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断,即转化为方程f(x)=0解的个数;
(2)结合函数图象进行判断,即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数交点的个数;
(3)借助函数的单调性进行判断.方法技巧即时训练2-1:(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4答案:(1)B答案:(2)0或4(2)若函数f(x)=x2-ax+a只有一个零点,则实数a的值是 .?解析:(2)由已知得Δ=(-a)2-4×1×a=0,
即a2-4a=0.解得a=0或a=4.判断函数零点所在的区间题型三(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是( )解析:(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由上表可得f(-1)=0.37-2=-1.63<0,f(0)=1-3=-2<0,
f(1)=2.72-4=-1.28<0,
f(2)=7.39-5=2.39>0,
f(3)=20.08-6=14.08>0,
f(1)·f(2)<0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.方法技巧 (1)确定函数的零点所在的区间时,通常利用零点存在性定理,转化为判断区间端点对应的函数值的符号是否相反.(2)求方程f(x)=g(x)的根所在的区间,可利用构造函数的方法构造函数h(x)=f(x)-g(x),通过判断函数h(x)零点所在的区间转化为方程f(x)=g(x)的根所在的区间.(2)方程log3x+x=3的解所在的区间是( )
(A)(0,1) (B)(1,2)
(C)(2,3) (D)(3,+∞)解析:(2)构造函数f(x)=log3x+x-3,方程log3x+x=3的解所在的区间,函数f(x)=log3x+x-3零点所在的区间,由于f(0)不存在,f(1)=-2,f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0.故零点所在区间是(2,3),方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3),故选C.点击进入 课时作业谢谢观赏！