课件24张PPT。章末总结网络建构主题串讲一、函数零点所在区间的判断【典例1】 (1)已知实数a>1,0
(A)(-2,-1) (B)(-1,0)
(C)(0,1) (D)(1,2)(2)设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为( )
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:(2)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如图所示.
可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的两种常用方法:(1)定义法:使用零点存在性定理,函数y=f(x)必须在区间[a,b]上是连续的,当f(a)·f(b)<0时,函数在区间(a,b)内至少有一个零点.(2)图象法:若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成,则可考虑用图象法求解,如f(x)=g(x)-h(x),作出y=g(x)和y=h(x)的图象,其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.(2)函数f(x)=lg x与g(x)=7-2x图象交点的横坐标所在区间是( )
(A)(1,2) (B)(2,3) (C)(3,4) (D)(1,5)解析:(2)函数h(x)=f(x)-g(x)=lg x-(7-2x)=lg x+2x-7在(0,+∞)上单调递增,且h(3)=lg 3+2×3-7=lg 3-1<0,h(4)=lg 4+2×4-7=lg 4+1>0.
所以函数h(x)的零点所在区间为(3,4),即函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标所在区间为(3,4).故选C.二、判断函数零点个数【典例2】 (1)函数f(x)=ex+3x的零点个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:(1)易得f(x)在R上单调递增,
又f(-1)=e-1-3<0,
f(1)=e+3>0,
所以f(x)的零点个数是1,故选B.规律方法 判断函数零点个数的三种方法:(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数.即时训练2:函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:令f(x)=0,即2x+x3-2=0,
则2x-2=-x3.
在同一直角坐标系中分别画出y=2x-2和y=-x3的图象,由图可知两个图象在区间(0,1)内只有一个交点,
所以函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内只有一个零点,故选B.三、函数零点的应用答案:(1,+∞)规律方法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的三种方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.四、已知函数模型解决实际问题(2)已知该火箭的起飞重量是544吨,则应装载多少吨燃料才能使该火箭的最大飞行速度达到8 km/s,顺利地把飞船发送到预定的轨道?规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题,关键要分清函数类型,并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件,然后结合所给模型,列出函数关系式;最后结合其实际意义作出解答.五、函数模型的构建问题【典例5】某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上;该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示:(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;解:(2)Q与t满足一次函数关系,
即Q=-t+40,0≤t≤30,t∈N.(3)用y表示该股票日交易额(万元),写出y关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大,最大值是多少?规律方法 建立数学模型的步骤
(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;
(2)建模:将文字语言中含有相等意义的关键词转化成数学语言,即用等式表达,用数学知识建立相应的函数模型,即写出相关的函数表达式(注意有关量的实际意义,即函数的定义域).点击进入 检测试题点击进入 综合检测试题谢谢观赏！第三章 函数的应用 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.函数f(x)=xln x的零点为( B )
(A)0或1 (B)1
(C)(1,0) (D)(0,0)或(1,0)
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
由f(x)=0得x=0或ln x=0,
即x=0或x=1.
又因为x∈(0,+∞),
所以x=1.故选B.
2.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,6),(2,4)内,那么下列命题中正确的是( D )
(A)f(x)在区间(2,3)内有零点
(B)f(x)在区间(3,4)内有零点
(C)f(x)在区间(3,16)内有零点
(D)f(x)在区间(0,2)内没零点
解析:由于函数y=f(x)的零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,6)内,因此函数零点在区间(0,6)内,又函数零点在(2,4)内,因此函数零点不可能在(0,2)内,故选D.
3.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( A )
(A)y=2x (B)y=10 000x
(C)y=log3x (D)y=x3
解析:随着x的增大,指数函数的增长速度是最快的,
故选A.
4.若函数f(x)=x2+4x+a没有零点,则实数a的取值范围为( B )
(A)(-∞,4) (B)(4,+∞)
(C)(-∞,4] (D)[4,+∞)
解析:由题意知关于方程x2+4x+a=0,Δ=42-4×1×a<0,即16-4a<0,解得a>4.故选B.
5.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下图与故事情节相吻合的是( B )
解析:兔子在中间一段时间内路程是不变的,且当乌龟到达终点时兔子还差一点,选B.
6.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,它可以表示为商品数量的函数,现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)=20+2x+x2(万元),若售出一件商品收入是20万元,那么该企业为获取最大利润,应生产这种商品的数量为( A )
(A)18件 (B)36件 (C)22件 (D)9件
解析:设获取的利润为y,
y=20x-c(x)
=20x-20-2x-x2
=-x2+18x-20.
所以x=18时,y有最大值.故选A.
7.函数f(x)=2x-x2的零点个数为( D )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:由题意可知:要研究函数f(x)=2x-x2的零点个数,只需研究函数y=2x和y=x2的图象交点个数即可,画出函数y=2x,y=x2的图象,由图象可得有3个交点,如第一象限的A(2,4),B(4,16)及第二象限的点C.故选D.
8.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(x)=3x+x3-5.则函数y=f(x)的零点的个数为( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:当x>0时,f(x)=3x+x3-5为增函数,
因为f(1)<0,f(2)>0,所以f(1)f(2)<0,
函数在(1,2)上存在一个零点,结合奇函数的对称性可知在(-2,-1)上有一个零点,
又f(0)=0,所以函数有3个零点
9.记[x]表示不超过x的最大整数,如[1.3]=1,[-1.3]=-2.设函数f(x)=x-[x],若方程1-f(x)=logax有且仅有3个实数根,则正实数a的取值范围为( B )
(A)(3,4] (B)[3,4) (C)[2,3) (D)(2,3]
解析:由题意得,方程1-f(x)=1+[x]-x,
所以方程1-f(x)=logax有且仅有3个实数根,
即1+[x]-x=logax有且仅有3个实数根,
即函数y=1+[x]-x和函数y=logax的图象有三个不同的交点,分别作出两函数的图象,如图所示,
要使得函数y=1+[x]-x和函数y=logax的图象有三个不同的交点,
则loga3≤1,
且loga4>1,
解得3≤a<4,故选B.
10.定义域为R的函数f(x)=若关于x的方程f2(x)+bf(x)+
c=0恰有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5,则f(x1+x2+x3+x4+x5)的值等于( B )
(A)4lg 2 (B)3lg 2 (C)2lg 2 (D)lg 2
解析:由f(x)解析式知,f(x)关于x=2对称.
因关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有五个不同实数根,不妨设有三个解x1,x2,x3使f(x)=1,
有两解x4,x5使f(x)≠1,
则x1=2,x2+x3=4,x4+x5=4,
则x1+x2+x3+x4+x5=10,
所以f(x1+x2+x3+x4+x5)=lg 8=3lg 2.故选B.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分)
11.函数f(x)=x2+mx-6的一个零点是-6,则另一个零点是 ,增区间为 .?
解析:依题意得x1·x2=-6,所以x2=1,
所以f(x)=x2+5x-6=0的两根为1,-6,
故1为函数的另一个零点,
由对称轴为x=-,
所以增区间为[,+∞).
答案:1 [,+∞)
考点:本题考查函数的零点与方程根的联系.
12.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是 (填正确 序号)?
①(-2,-1) ②(-1,0)
③(0,1) ④(1,2)
解析:由f(-2)=-2-2<0,f(-1)=-3<0,
f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,f(2)=e2+2-2>0知函数零点所在的一个区间是(0,1).
答案:③
13.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间y(小时)与储藏温度x(℃)的关系为指数型函数y=kax,若牛奶在10 ℃的环境中保鲜时间约为64小时,在5 ℃的环境中保鲜时间约为80小时,那么在0 ℃时保鲜时间约为 小时.?
解析:由题意知则a5=,k=100.
故当x=0时,y=k·a0=100.
答案:100
14.若f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则a的取值范围是 .?
解析:函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a交点的个数,如图,由函数的图象可知当a>1时两函数图象有两个交点,当0故a>1.
答案:(1,+∞)
15.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2解析:因为2所以f(2)=loga2+2-b<1+2-b=3-b<0,
f(3)=loga3+3-b>1+3-b
=4-b>0,
即f(2)·f(3)<0,
易知f(x)在(0,+∞)上单调递增.
所以函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点x0,
且x0∈(2,3),
所以n=2.
答案:(0,+∞) 2
16.若f(x)=x2+bx+c,g(x)=bx2+cx+1,b,c∈R,有且只有一个实数满足f(x)=g(x).
(1)则b,c应满足的条件为 ;?
(2)当b<0时,f(x)≥|g(x)|恒成立,则b的取值范围为 .?
解析:(1)(1-b)x2+(b-c)x+c-1=0,
1-b=0时,(1-c)x+c-1=0,1-c≠0时,只有一解x=1,当1-c=0,有无数 个解;
1-b≠0时,Δ=(b-c)2-4(1-b)(c-1)=(b+c-2)2=0,得b+c=2;
综上b,c应满足的条件是b=1,c≠1或b+c=2,b≠1;
(2)当b<0时,c=2-b,
所以f(x)=x2+bx+2-b,
g(x)=bx2+(2-b)x+1,
设g(x)的两个零点为x1,x2(x1当x∈[x1,x2]时,g(x)≥0,
f(x)-g(x)=(1-b)(x-1)2≥0,
所以f(x)≥g(x)成立;
当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时,g(x)<0,
f(x)-|g(x)|=f(x)+g(x)
=(1+b)x2+2x+3-b,
又因为x∈[x1,x2]时,
f(x)≥g(x)≥0≥-g(x)恒成立,
所以问题等价于f(x)+g(x)≥0在R上恒成立,
得1-≤b<0.
综上,b的取值范围是[1-,0).
答案:(1)b=1,c≠1或b+c=2,b≠1
(2)[1-,0)
17.(1)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足10,则实数a的取值范围为 .?
(2)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为 .?
解析:(1)由题意得a>-对1又-=-2(-)2+,<<1,
所以(-)max=,
所以a>.即实数a的取值范围为(,+∞).
(2)2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.
当x=0时,适合;
当x≠0时,a<(-)2-,
因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
当x=1时,右边取最小值,所以a<.
综上,实数a的取值范围是(-∞,).
答案:(1)(,+∞) (2)(-∞,)
三、解答题(共74分)
18.(本小题满分14分)
设函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域.
解:(1)因为函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2,
所以有a≠0,且
解得
所以f(x)=-3x2-3x+18.
(2)由(1)得f(x)=-3x2-3x+18
=-3(x+)2++18,
所以f(x)的图象的对称轴为x=-.
又0≤x≤1,所以f(x)min=f(1)=12,f(x)max=f(0)=18,
所以函数f(x)的值域是[12,18].
19.(本小题满分15分)
为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为:y=x2-50x+900,且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品,同时获得国家补贴10万元.当x∈[10,15]时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,请求出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损?
解:设处理量x吨(10≤x≤15)时,利润为P万元,
根据题意得
P=(10+10)x-y=20x-x2+50x-900
=-x2+70x-900
=-(x-35)2+325,x∈[10,15].
因为x=35?[10,15],
P=-(x-35)2+325在[10,15]上为增函数,
可求得P∈[-300,-75].
所以当x∈[10,15]时,该项举措不能获利,国家只需要补贴75万元,该工厂就不会亏损.
20.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)设函数g(x)=log4(a·2x-a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
解:(1)由题意知,任意x∈R,有f(-x)=f(x),
则f(-1)=f(1),
即log4-k=log45+k,
所以2k=-1,
所以k=-.
(2)因为函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,
所以方程log4(4x+1)-x=log4(a·2x-a)有且只有一个实根,
化简得,方程2x+=a·2x-a有且只有一个实根,
令t=2x>0,
则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根.
①当a=1时,t=-不合题意;
②当a≠1时,
(i)若Δ=0,则a=或-3.
若a=,则t=-2不合题意;
若a=-3,则t=合题意;
(ii)若Δ>0即a<-3或a>时,
由题意,方程有一个正根与一个负根,即<0,
解得a>1.
综上所述,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).
21.(本小题满分15分)
某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时,本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)元成反比例.又当x=0.65时,y=0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]
解:(1)因为y与(x-0.4)成反比例,
所以设y=(k≠0).
把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=,k=0.2,
所以y==,
即y与x之间的函数关系式为y=.
(2)根据题意,
得(1+)·(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),
整理,得x2-1.1x+0.3=0,
解得x1=0.5,x2=0.6.
经检验x1=0.5,x2=0.6都是方程的根.
因为x的取值范围是0.55～0.75,
故x=0.5不符合题意,应舍去.所以x=0.6.
即当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
22.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=|2-|(p为大于0的常数).
(1)求函数f(x)在[1,4]上的最大值(用常数p表示);
(2)若p=1,是否存在实数m使得函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[ma,mb],如果存在求出实数m的取值范围,如果不存在说明理由.
解:(1)x∈[1,4],函数f(x)=
当>4时,
即p>8,f(x)的最大值为f(1)=p-2;
当1≤≤4时,
即2≤p≤8,f(1)=p-2,f(4)=2-;
若8≥p≥,f(1)≥f(4),
f(x)的最大值为f(1)=p-2;
若2≤p<,f(1)f(x)的最大值为f(4)=2-;
当<1时,即p<2,
f(x)的最大值为f(4)=2-.
综上所述,当p≥,f(x)的最大值为p-2;
当p<,f(x)的最大值为2-.
(2)存在,理由如下:
若p=1,函数f(x)=|2-|,
由a0,
又ma≥0,所以a>0,
当0由题意得
得-=m(b-a),
=mb代入得-2=,a无解.
当a≤≤b时,ma≤0与m>0,a>0矛盾.
当≤a由题意得
即2-=mx(x≥)有两个不同的实数解.
法一 m=-+,
令t=,t∈(0,2],
则m=-t2+2t有两个解,得m∈(0,1).
法二 由2-=mx可化为mx2-2x+1=0,
要使得方程有两个不等的实根,
令g(x)=mx2-2x+1,
则函数应满足得m∈(0,1).
