3.2.2 函数模型的应用实例
1.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x),则以下结论正确的是( B )
(A)x>22%
(B)x<22%
(C)x=22%
(D)x的大小由第一年的产量确定
解析:(1+x)2=1+44%,解得x=0.2<0.22.故选B.
2.研究表明,当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若某一死亡生物组织内的碳14经过n(n∈N)个“半衰期”后用一般的放射性探测器测不到碳14了,则n的最小值是( B )
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
解析:根据题意可知()n<,即2n>1 000,n∈N,所以n的最小值是10.故选B.
3.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数:m=162-3x,若要每天获得最大的销售利润,每件商品的售价应定为( B )
(A)30元 (B)42元
(C)54元 (D)越高越好
解析:设当每件商品的售价为x元时,每天获得的销售利润为y元.由题意得,y=m(x-30)=(x-30)(162-3x).
上式配方得y=-3(x-42)2+432.
所以当x=42时,利润最大.故选B.
4.今有一组实验数据如表所示:
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则体现这些数据关系的最佳函数模型是( C )
(A)u=log2t (B)u=2t-2
(C)u= (D)u=2t-2
解析:可以先画出图象,并利用图象直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.如图所示.
由图可知,图象不是直线,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;当t=3时,2t-2=23-2=6,排除B项,故选C.
5.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=
其中x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( C )
(A)15 (B)40 (C)25 (D)130
解析:令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;
若2x+10=60,则x=25,满足题意;
若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.
故拟录用人数为25.
故选C.
6.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象,若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( D )
解析:由题图可知,张大爷开始匀速离家直线行走,中间一段离家距离不变,说明在以家为圆心的圆周上运动,最后匀速回家,所以应选D.
7.某城市客运公司确定客运票价的方法是:如果行程不超过100 km,票价是0.5元/ km,如果超过100 km,超过100 km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行驶距离 x(km) 之间的函数关系式是 .?
答案:y=
8.某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒,根据药学原理,从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间 t(小时) 之间的函数关系式为y=
据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室学习.那么从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.?
解析:由题意可得y≤0.25=,
即得 或
得0≤t≤,或t≥0.6.
因为前0.1个小时药物浓度是逐渐增大的,
故至少需要经过0.6小时后才可回教室.
答案:0.6
9.某市原来民用电价为0.52元/千瓦时.换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/千瓦时,谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/千瓦时.对于一个平均每月用电量为200千瓦时的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的10%,则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少?
解:原来电费y1=0.52×200=104(元).
设峰时用电量为x 千瓦时,电费为y元,谷时段用电量为(200-x)千 瓦时.
则y=0.55x+0.35(200-x)≤(1-10%)y1,
即0.55x+70-0.35x≤93.6,
则0.2x≤23.6,
所以x≤118,
即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118千瓦时.
10.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表:
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系.请问:用以上哪个模拟函数较好?说明理由.
解:将(1,50),(2,52)分别代入两解析式得
或 (a>0).
解得(两方程组的解相同).
所以两函数分别为y=2x+48或y=2x+48.
当x=3时,对于y=2x+48有y=54;
当x=3时,对于y=2x+48有y=56.
由于56与53.9的误差较大,
所以选y=ax+b较好.
11.李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店,其月利润(单位:元)分别为L1=-5x2+900x-16 000,L2=300x-2 000(其中x为销售辆数),若某月两连锁店共销售了110辆,则能获得的最大利润为( C )
(A)11 000 (B)22 000
(C)33 000 (D)40 000
解析:设甲连锁店销售x辆,则乙连锁店销售(110-x)辆,
故利润L=-5x2+900x-16 000+300(110-x)-2 000=-5x2+600x+15 000=
-5(x-60)2+33 000,所以当x=60辆时,有最大利润33 000元,故选C.
12.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( D )
(A) cm2 (B)4 cm2
(C)3 cm2 (D)2 cm2
解析:设一段长为x cm,则另一段长为(12-x) cm.所以S=()2+(4-)2=(x-6)2+2≥2.
13.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,t min后物体的温度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1- θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于 .(保留三位有效数字,参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693)?
解析:依题意将θ1=100,θ0=10,θ=40代入公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t可得,e-0.24t=,即-0.24t=ln ,解得t=≈4.58.
答案:4.58
14.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用 作为拟合模型较好.?
解析:对于甲:x=3时,y=32+1=10,
对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.
答案:甲
15.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线.
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);
(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时,对治疗疾病有效,求服药一次治疗疾病有效的时间.
解:(1)当0≤t<1时,y=4t;
当t≥1时,y=()t-a,此时M(1,4)在曲线上,
故4=()1-a,
解得a=3,即y=()t-3.
故y=f(t)=
(2)因为f(t)≥0.25,则
解得所以≤t≤5,
因此服药一次治疗疾病有效的时间为5-=4(h).
16.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费;乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用 y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图象如图所示.
(1)甲厂的制版费为 千元,印刷费为平均每个 元,甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系为 ,?
(2)当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费为平均每个
元;?
(3)当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为 ;?
(4)若该单位需印制证书数量为8千个,该单位应选择哪个厂更节省费用?请说明理由.
解:(1)印刷量为0时费用为1千元,因此制版费为1千元;图象过点(2,2),所以印刷2千时,费用为1千元,因此平均费用为0.5元;由函数过点(2,2),(0,1),
因此方程为y=0.5x+1(x≥0).
(2)印刷量为2千时费用为3千元,因此平均费用为1.5元.
(3)设y2=kx+b,
由题图可知,当x=6时,y2=y1=0.5×6+1=4,
所以函数图象经过点(2,3)和(6,4)
所以把(2,3)和(6,4)代入y2=kx+b,
得解得
所以y2与x之间的函数关系式为y2=x+.
(4)由题目图象可知,当x=8时,y1>y2,
因此该单位选择乙厂更节省费用.(求出当x=8时,y1和y2的值,用比较大小的方法得到结论也正确)
课件24张PPT。3.2.2 函数模型的应用实例课标要求:1.了解函数模型的广泛应用.2.能利用已知函数模型求解实际问题.3.通过对数据的合理分析,能自建函数模型解决实际问题.4.能归纳掌握求解函数应用题的步骤. 自主学习1.函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题.
(2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测.
2.常见的函数模型知识探究ax+b(a,b为常数且a≠0)ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)k·ax+b(k,a,b为常数且a>0,a≠1)k·xn+b(k,b,n为常数,且k≠0)3.建立函数模型解决问题的基本过程自我检测A1.某人2015年1月1日到银行存入a元,若年利率为x,按复利计息,则2020年1月1日到期时可取款( )
(A)a(1+x)5元 (B)a(1+x)6元
(C)a+(1+x)5元 (D)a(1+x5)元2.一家旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,旅社经理发现,每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系:C要使收入每天达到最高,则每间应定价为( )
(A)60元 (B)58元 (C)56元 (D)50元3. 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )
(A)310元 (B)300元 (C)290元 (D)280元4.国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表:B如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地,那么他应付的邮资是 . 答案:7元题型一利用已知函数模型解决问题 课堂探究(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(利润=总收益-总成本)方法技巧 由于分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变化量的范围,特别是端点值.(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间?解:(1)当0f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9.
故f(x)在(0,10]上单调递增,最大值为
f(10)=-0.1×(-3)2+59.9=59;
当16f(x)<-3×16+107=59.
因此,开讲后10 min,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6 min.(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较,学生的接受能力何时强一些?
(3)一个数学难题,需要55的接受能力以及13 min时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?解:(2)f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=59.9-6.4=53.5,
f(20)=-3×20+107=47<53.5=f(5).
因此,开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些.题型二指数型函数模型【例2】 为保护生态环境,某市某山区自2012年起开始实行退耕还林,已知2011年底该山区森林覆盖面积为a亩.
(1)设退耕还林后,森林覆盖面积的年自然增长率为0.2%,写出该山区的森林覆盖面积y(亩)与退耕还林年数x(年)之间的函数关系式,并求出2016年底时该山区的森林覆盖面积;解:(1)因为到2016年底时,退耕还林已达5年,即x=5,
所以y=a(1+0.2%)5≈1.104a.
即到2016年底时该山区的森林覆盖面积约为1.104a亩.(2)如果要求到2021年底,该山区的森林覆盖面积至少是2011年底的2倍,就必须还要实行人工绿化工程.请问2021年底要达到要求,该山区森林覆盖面积的年平均增长率不能低于多少?(参考数据:1.024≈1.082, 1.025≈1.104,
1.026≈1.126,lg 2≈0.301,lg 1.072≈0.030 1)解:(2)设年平均增长率为p.则由题意得a(1+p)10≥2a,
两边取常用对数有lg(1+p)10≥lg 2,
所以10 lg(1+p)≥0.301,
所以lg(1+p)≥0.030 1.
即lg(1+p)≥lg 1.072.
所以1+p≥1.072,
所以p≥0.072.
即森林覆盖面积的年平均增长率不能低于7.2%. 此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数型函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和幂函数型模型y=a(1+x)n
(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式.方法技巧对数型函数模型题型三(2)若x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位?(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min,雌鸟的飞行速度为1.5 km/min,那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍?方法技巧 (1)形如y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其特点为当a>1,m>0时,y随自变量x的增大而增大,且函数值增大的速度越来越慢.
(2)对于对数型函数模型问题,关键在于熟练掌握对数函数的性质,在认真审题的基础上,分析清楚底数a与1的大小关系,要关注自变量的取值范围.
借助于数学模型解决数学问题的同时,实际问题也得以顺利解决,这就是函数模型的作用.即时训练3-1:20世纪70年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0.其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅.
(1)假设在一次地震中,一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.002,计算这次地震的震级;(2)5级地震给人的震感已比较明显,我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！
