1.1.2 集合间的基本关系
1.已知集合A={x|x2-1=0},则下列式子表示不正确的是( B )
(A)1∈A (B){-1}∈A
(C)??A (D){1,-1}?A
解析:由题知A={1,-1}.对于B中,两集合间的关系符号应该是子集或是真子集,而不是∈符号.故选B.
2.满足{a,b}M{a,b,c,d,e}的集合M的个数为( A )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
解析:由题意得,满足{a,b}M{a,b,c,d,e}的集合M有{a,b,c},{a, b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},共有6个.故选A.
3.已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则集合B的子集的个数为( C )
(A)4 (B)7
(C)8 (D)16
解析:因为集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},所以集合B={(1,1),(1,2),(2,1)},集合B的子集的个数为8.故选C.
4.以下四个关系:?∈{0},0∈?,{?}?{0},?{0},其中正确的个数是( A )
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
解析:集合与集合间的关系是?,因此?∈{0}错误,{?}?{0}错误,空集不含有任何元素,因此0∈?错误,因此正确的有1个.故选A.
5.设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,则实数a的取值范围是( C )
(A)1≤a≤3 (B)a≥3
(C)a≥1 (D)1
解析:要使B?A,①当B≠?时,需有
解得1≤a≤3.
②当B=?时,需有2a>a+3,
解得a>3,综上,a≥1,故选C.
6.已知集合A={x∈Z|x2+3x<0},则满足条件B?A的集合B的个数为( C )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)8
解析:由集合A={x∈Z|x2+3x<0}={-1,-2},由B?A,所以集合B的个数为22=4,故选C.
7.已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A?B,则a等于( C )
(A)1 (B)0
(C)-2 (D)-3
解析:由题意得a+3=1,a=-2,选C.
8.已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,a≠b},则集合N的真子集个数为( D )
(A)8 (B)7 (C)4 (D)3
解析:N={0,-1},所以真子集有3个.故选D.
9.写出集合A={x|x2-4=0}的所有子集: .?
解析:因为A={-2,2},
所以所有子集为?,{-2},{2},{-2,2}.
答案:?,{-2},{2},{-2,2}
10.若{1,a,}={0,a2,a+b},则a2 018+b2 019= .?
解析:由{1,a,}={0,a2,a+b},知0∈{1,a,}.
所以b=0,此时有{1,a,0}={0,a2,a}.
所以a2=1,a=±1.
当a=1时,不满足互异性,所以a=-1.
所以a2 018+b2 019=1.
答案:1
11.已知集合A={-1,0,a},B={0,}.若B?A,则实数a的值为 .
解析:因为B?A,
所以∈A.
所以=a,
解得a=1或a=0(舍去).
答案:1
12.若集合A={x|(k+2)x2+2kx+1=0}有且仅有2个子集,则满足条件的实数k的个数是 .?
解析:要使得一个集合有且仅有2个子集,则须使集合有且仅有1个元素,因此方程(k+2)x2+2kx+1=0要么有且仅有一个实根,即k+2=0,k=-2;要么有且仅有两个相等的实根.由Δ=(2k)2-4(k+2)=0得k=-1或k=2.因此满足条件的实数k的个数是3.
答案:3
13.已知集合A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使AP?B,求满足条件的集合P.
解:由A={x∈R|x2-3x+4=0}=?,
B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-1,1,-4},
且AP?B,则集合P非空,且其元素全属于集合B.
综上所述,P可以为{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.
14.已知集合A={x|x2≤4},集合B={x|x2-(2m+1)x+m2+m<0}.
(1)求集合A,B;
(2)若B?A,求m的取值范围.
解:(1)A={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2}.
(x-m)[x-(m+1)]<0,
即B={x|m(2)B?A??-2≤m≤1.
15.设集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.
(1)若B?A,求实数a的取值范围;
(2)若A?B,求实数a的取值范围.
解:(1)A={x|x2+4x=0}={-4,0},
因为B?A,所以分B=A和BA两种情况讨论:
①当A=B时,B={-4,0},即-4,0是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,于是得a=1;
②当BA时,若B=?,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
若B≠?,则B={-4}或{0},Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,验证知B={0}满足条件.
综上可知,所求实数a的值满足a=1或a≤-1.
(2)若A?B,而A={-4,0},所以B中必含这两个元素.
又集合B为方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根构成的集合,最多有2个 元素.
所以此时必有A=B.
由(1)知,此时a=1.
16.已知集合A={x|x≥-1},则正确的是( D )
(A)0?A (B){0}∈A (C)?∈A (D){0}?A
解析:元素与集合的关系是属于、不属于,集合与集合的关系是包含、不包含;A错;应有0∈A,B错,应为{0}A,C错,应为?A.故选D.
17.若集合A={a|a=3n+1,n∈Z},B={b|b=3n-2,n∈Z},C={c|c=6n+1,n∈Z},则A,B,C的关系为( C )
(A)CBA (B)AB=C
(C)CB=A (D)A=B=C
解析:由于3n-2=3(n-1)+1,n-1∈Z,
所以A=B,由于c=6n+1=3(2n)+1,2n∈Z,2n为偶数,
所以CA,所以CA=B.故选C.
18.已知非空集合A={x|a≤x<5},B={x|x>2},且满足A?B,则实数a的取值范围是 .?
解析:因为A?B,所以a>2.又因为A为非空集合,
所以a<5.因此实数a的取值范围是{a|2答案:(2,5)
19.设集合M={x|ax2-2x+2=0,x∈R}至多有一个元素,则实数a的取值范围为 .?
解析:由题意知M只有一个元素或为空集,
那么a=0或Δ=(-2)2-4×2a=4-8a≤0,
所以a=0或a≥.
答案:a=0或a≥
20.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若B?A,求实数m的取值范围;
(2)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数;
(3)当x∈R时,不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立,求实数m的取值范围.
名师点拨:若一个集合中含有m个元素(m∈N*),则其子集数为2m个,真子集为2m-1个,非空真子集为2m-2个.
解:(1)当m+1>2m-1,即m<2时,B=?满足题意;
当m+1≤2m-1,即m≥2时,要使B?A成立,
则有m+1≥-2且2m-1≤5,可得-3≤m≤3,即2≤m≤3.
综上可知,当m≤3时,B?A.
(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},共8个元素,故A的非空真子集的个数为28-2=254(个).
(3)因为x∈R,A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立,
所以A,B没有公共元素.
当m+1>2m-1,即m<2时,B=?满足题意;
当m+1≤2m-1,即m≥2时,要使A,B没有公共元素,
则有或解得m>4.
综上所述,当m<2或m>4时,不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立.
课件28张PPT。1.1.2 集合间的基本关系课标要求:1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集,真子集,并能判断给定集合的关系.3.在具体情境中,了解空集的含义并会应用. 自主学习1.Venn图
在数学中,经常用平面上 曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.
2.子集知识探究封闭任意一个包含由子集定义可知①A A;②如果A?B且B?C那么A C.??3.集合相等
如果集合A是集合B的 (A?B),且集合B是集合A的 (B?A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.
4.真子集子集子集至少存在一个子集非空集合5.空集
(1)定义:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作 .自我检测1.集合A={x∈N|0(A)3 (B)4
(C)7 (D)8C解析:因为A={x∈N|0(A)8 (B)7
(C)6 (D)5B解析:根据题意,满足题意条件的集合M中必须有1,2,3这三个元素,且可能含有4,5,6中的0个、1个、2个元素,则集合M的个数为1+3+3=7个,故选B.A 题型一子集的确定问题【例1】 (1)已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5},写出集合M所有可能情况; 课堂探究解:(1)因为{1,2}?M,所以1∈M,2∈M,
又因为M?{1,2,3,4,5},
所以M是含有1,2的{1,2,3,4,5}的子集,
故M的所有可能情况是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2, 3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共8个.(2)已知集合M?{1,2,3,4,5},且当a∈M时,有6-a∈M,试求M所有可能的结果.解:(2)若M只含1个元素,则M={3};
若M只含2个元素,则M={1,5},{2,4};
若M只含3个元素,则M={1,3,5},{2,3,4};
若M只含4个元素,则M={1,2,4,5};
若M含5个元素,则M={1,2,3,4,5}.
所以M可能的结果:{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2, 3,4,5},共7个.解析:(1)由题意可知集合M是集合B的非空子集,集合B中有3个元素,因此非空子集有7个,选C.
(2)由A?{1,2,3,4}知集合A是{1,2,3,4}子集,且A中至少有一个偶数,则满足条件的集合A有{2},{2,1},{2,3},{1,2,3};{4},{1,4},{3,4},{1,3, 4};{2,4},{1,2,4},{2,3,4},{1,2,3,4}.共有12个.
答案:(1)C (2)12题型二集合间关系的判断【例2】 判断下列集合之间的关系
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A?B.(3)A={x|-1(4)A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=k+2,k∈Z}.解:(3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A B.
(4)当k,n取整数时,A={…,-4,-2,0,2,4,6,…}.
B={…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…}.
故A B.题后反思 判断两个集合间的关系时,主要是根据这两个集合中元素的特征,结合有关定义来判断.对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系;对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析;而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.解:(1)将两个集合在数轴上表示出来,如图所示,显然有B A.即时训练2-1:判断下列每组中两个集合的关系:
(1)A={x|-3≤x<5},B={x|-1由x=2n+1知x=3,5,7,9,….
故A={1,3,5,7,9,…},B={3,5,7,9,…},因此B A.集合相等题型三【例3】 已知集合M中含有三个元素2,a,b,集合N中含有三个元素2a,2,b2,且M=N ,求a,b的值.方法技巧 (1)求解含参数的集合相等问题,要注意验证所求参数是否满足集合中元素的互异性.
(2)本题中的解法二利用了两集合相等的性质,即两集合相等时,两集合中所有元素的积相等,两集合中所有元素的和相等.即时训练3-1:已知集合A={x,xy,x-y},B={0,|x|,y}且A=B,求实数x与y的值.解:由已知A=B={0,|x|,y},所以0∈A.
若x=0,则A={0,0,-y},不满足元素的互异性;
若y=0,则B={0,|x|,0},也不满足元素的互异性.
所以只有x-y=0,即y=x.
所以A={x,xy,x-y}={x,x2,0},所以B={0,|x|,x}.
所以x2=|x|,所以x=0(舍去),或x=1或x=-1.
当x=1时,A=B={1,1,0},而元素具有互异性,故x≠1.
当x=-1时,A=B={-1,1,0}满足题意.
所以x=y=-1即为所求.题型四根据集合的包含关系求参数范围【例4】 已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求实数a的取值范围.解:(1)当2a>a+3,即a>3时,B= .显然满足题意.变式探究:本题若将A={x|x≤-1或x≥4},B不变,当B?A,求a的范围. 已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解.
一般地,(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性;(2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.方法技巧即时训练4-1:(1)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B?A,则a= ;?解析:(1)由题意得,①a2-a+1=3,解得a=-1或a=2,根据集合元素的互异性知符合题意;②a2-a+1=a,解得a=1,根据集合元素的互异性知不合题意,综上,a=-1或a=2.
答案:(1)-1或2点击进入 课时作业谢谢观赏！