1.2.1 函数的概念
第一课时 函数的概念
1.下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( A )
(A)A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方
(B)A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方
(C)A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数
(D)A={平行四边形},B=R,f:求A中平行四边形的面积
解析:对B,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数的定义;对C,集合A中的元素0取倒数没有意义,在集合B中没有元素与之对应,不符合函数的定义;对D,A集合不是数集,故不符合函数的定义.综上,选A.
2.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是( A )
(A)0 (B)3a2-1
(C)6a2-2 (D)6a2
解析:f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.
3.下列各个图形中,不可能是函数y=f(x)的图象的是( A )
解析:因为垂直x轴的直线与函数y=f(x)的图象至多有一个交点,故选A.
4.函数f(x)=+的定义域为( D )
(A){x|x≥-1} (B){x|x≤-1}
(C)R (D){x|x≥-1,且x≠1}
解析:由解得
故定义域为{x|x≥-1,且x≠1},故选D.
5.下列能表示y是x的函数的是( D )
①x-2y=6 ②x2+y=1 ③x+y2=1 ④x=
(A)①②③ (B)①③④
(C)③④ (D)①②④
解析:判断y是否为x的函数,主要看是否满足函数的定义,即一对一或多对一、不能一个自变量对应多个y值,故③错,选①②④.故选D.
6.设f:x→x2是集合A到集合B的函数,如果集合B={1},则集合A不可能是( D )
(A){1} (B){-1}
(C){-1,1} (D){-1,0}
解析:若集合A={-1,0},则0∈A,但02=0?B.
故选D.
7.下列图象中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( C )
解析:由选择项可知B不是以M为定义域的函数,D不是函数,A的值域不是N,只有C符合题意,故选C.
8.已知函数f(x)的定义域为{x|0
(A){x|0(C){x|0解析:因为f(x)的定义域为{x|0所以y=f(2x+1)的定义域应满足0<2x+1<1.
所以-所以y=f(2x+1)的定义域为{x|-9.函数y=的定义域为 .?
解析:由y=,故x≥0.
答案:{x|x≥0}
10.如果函数f:A→B,其中A={-3,-2,-1,1,2,3,4},对于任意a∈A,在B中都有唯一确定的|a|和它对应,则函数的值域为 .?
解析:由题意知对应关系为y=|x|,故当x∈A时,y的值为1,2,3,4,即函数值域为{1,2,3,4}.
答案:{1,2,3,4}
11.若f(x)=,则f(x)的定义域为 .?
答案:{x|x≤-1或x≥1}
12.已知函数f(x)的定义域为{x|x>1},则g(x)=f(x)+的定义域为 .?
解析:要使函数有意义,只需即
解得1答案:{x|113.已知函数f(x)=的图象过点(1,-1).
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)=m+恒成立(m、n是常数),求实数m,n的值.
解:(1)由f(1)=-1,得=-1,所以a=5.
(2)由(1)得f(x)===2-,
又f(x)=m+(m,n是常数),所以m=2,n=-9.
14.已知全集U=R,函数f(x)=+lg(10-x)的定义域为集合A,集合B={x|5≤x<7}.
(1)求集合A;
(2)求(?UB)∩A.
解:(1)由题意可得
则A={x|3≤x<10}.
(2)?UB={x|x<5或x≥7},
(?UB)∩A={x|3≤x<5或7≤x<10}.
15.半径为1的半圆中,作如图所示的等腰梯形ABCD,设梯形的上底BC=2x,梯形ABCD的周长为y.求y关于x的函数解析式,并说明定
义域.
解:梯形的高h=,
CD2=h2+(1-x)2=1-x2+(1-x)2=2-2x.
所以梯形周长y=2x+2+2,定义域为{x|016.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( C )
解析:选项A,小明距学校越来越远,不合题意.选项B中,停留后速度更小与题意不符,D中中间没有停留与题意也不符,只有C与题意符合,故选C.
17.给定的下列四个式子中,能确定y是x的函数的是( C )
①x2-y2=1;②|x-1|+=0;③-=1;④y=+
(A)① (B)②
(C)③ (D)④
解析:①由x2-y2=1得y=±,不满足函数的定义,所以①不是函数.
②由|x-1|+=0得x-1=0,=0,所以x=1,y=±1,所以②不是 函数.
③由-=1得y=(-1)2+1,满足函数的定义,所以③是函数.
④要使函数y=+有意义,则
解得
此时不等式组无解,所以④不是函数.选C.
18.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},从P到Q的对应关系是f,则下列对应是以P为定义域,Q为值域的函数的是 .?
①f:x→y=x ②f:x→y=x
③f:x→y=x ④f:x→y=
解析:对②,当y=2时,x=6.在集合P中没有元素与之对应;对③,当x=4时,y=6,在集合Q中没有元素与之对应.故②③不符合题意.经检验①④满足题意.
答案:①④
19.函数f(x)=的定义域为 .?
解析:要使函数有意义,只需??x≤-1或x≥4且x≠-3.
答案:{x|x≤-1或x≥4且x≠-3}
20.已知函数f(x)=-的定义域是集合A,函数g(x)=+的定义域是集合B,若A∪B=A,求实数a的取值范围.
名师点拨:求解本题首先应根据函数解析式的特征求出函数的定义域A,B,再根据A∪B=A,将问题转化为B?A.
解:要使函数f(x)有意义,需
解得-1要使函数g(x)有意义,需即
由于函数的定义域不是空集,所以有2a即a<1,所以B={x|2a由于A∪B=A,所以B?A.
则有
解得-≤a≤0.
所以实数a的取值范围是{a|-≤a≤0}.
课件28张PPT。1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
第一课时 函数的概念课标要求:1.通过实例理解函数的概念,能用集合语言描述具体的函数.2.体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.会求一些简单函数的定义域. 自主学习函数的概念
设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的 ,使对于集合A中的 数x,在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.知识探究对应关系f任意一个 {f(x)|x∈A}唯一探究:函数的概念中,对集合A,B有怎样要求?函数的值域是集合B吗?
答案:集合A,B是非空数集,函数的值域是集合B的子集.自我检测BB解析:若能按照某种确定的对应关系构成从M到N的函数,须满足:对M中的任意一个数,通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应,①中,当x=4时,y=42=16?N,故①不能构成函数;②中,当x=-1时,y=-1+1=0?N,故②不能构成函数;③中,当x=-1时,y=-1-1=-2?N,故③不能构成函数;④中,当x=±1时,y=|x|=1∈N,当x=2时,y=|x|=2∈N,当x=4时,y=|x|=4∈N,故④能构成函数.故选D.D3.已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系:①y=x2,②y=x+1,③y=x-1,④y=|x|,其中能构成从M到N的函数的是( )
(A)① (B)②
(C)③ (D)④解析:要使函数有意义,则2-x-x2≥0,即x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1.
答案:{x|-2≤x≤1}题型一函数概念的理解【例1】 下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是( )
①A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},对应关系f:x→y= ;
②A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y2=3x;
③A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y:x2+y2=25;
④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2;
⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=x+y;
⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0. 课堂探究解析:①在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以不能确定y是x的函数.②在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.③在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.⑤A不是数集,所以不能确定y是x的函数.④⑥显然满足函数的特征,y是x的函数.故选D.方法技巧 判断某一对应关系是否为函数的步骤:
(1)A,B为非空数集.
(2)A中任一元素在B中有元素与之对应.
(3)B中与A中元素对应的元素唯一.
(4)满足上述三条,则对应关系是函数关系.解析:A,D选项0没有对应,所以不是函数;C选项不是一一对应,不是函数.故选B.题型二函数图象的特征解析:A中,当1(1)任取一条垂直于x轴的直线l;
(2)在定义域内移动直线l;
(3)若l与图象有一个交点,则是函数,若有两个或两个以上的交点,则不是函数.即时训练2-1:下列图象中表示函数图象的是( )
解析:根据函数的定义,对任意的一个x都存在唯一的y与之对应,而A,B,D都是一对多,只有C是多对一.故选C.求函数的定义域题型三解:(2)要使函数有意义,
自变量x的取值必须满足
解得x≤5,且x≠±3,
即函数定义域为{x|x≤5,且x≠±3}.解:(3)要使函数有意义,
自变量x的取值必须满足
解得x>-1且x≠0,
所以函数的定义域为{x|x>-1且x≠0}.误区警示题型四求抽象函数定义域(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为{x|0≤x≤3},则函数y=f(x)的定义域为 ;?
(3)已知函数y=f(x-2)定义域是{x|0≤x≤4},则函数y= 的定义域是 .?解析:(2)因为0≤x≤3,所以0≤x2≤9,-1≤x2-1≤8,所以函数y=f(x)的定义域是{x|-1≤x≤8}.答案:(2){x|-1≤x≤8}
(3){x|-3≤x≤1}方法技巧 首先无论是“已知定义域”还是“求定义域”均是指其中的自变量x的取值范围.另外求抽象函数定义域的基本方法:
(1)若已知函数f(x)的定义域为{x|a≤x≤b},求函数 f[g(x)] 的定义域是解满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围;
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为{x|a≤x≤b},求f(x)的定义域,是求函数g(x)在x∈{x|a≤x≤b}时的值域.即时训练4-1:(1)已知函数f(x)的定义域是{x|0≤x≤1},求函数f(x+1)的定义域;
(2)已知函数f(x+1)的定义域是{x|0≤x≤1},求函数f(x)的定义域;
(3)已知函数f(x+1)的定义域是{x|0≤x≤1},求函数f(x-1)的定义域.解:(1)函数f(x+1)中自变量x应满足0≤x+1≤1,
所以-1≤x≤0,
故函数f(x+1)的定义域为{x|-1≤x≤0}.
(2)由于函数f(x+1)的定义域是0≤x≤1,则1≤x+1≤2,
故函数f(x)的定义域为{x|1≤x≤2}.
(3)由于函数f(x+1)的定义域是0≤x≤1,则1≤x+1≤2,
可得1≤x-1≤2,所以2≤x≤3,故函数f(x-1)的定义域为{x|2≤x≤3}.点击进入 课时作业谢谢观赏！第二课时 函数概念的应用
1.区间(2m-1,m+1)中m的取值范围是( B )
(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)
(C)(2,+∞) (D)[2,+∞)
解析:由区间的定义可知2m-12.已知f(x)=2x+,则f()等于( A )
(A)3 (B) (C) (D)
解析:f()=2×+=1+2=3.故选A.
3.若集合A={x|y=},B={y|y=x2+2},则A∩B等于( C )
(A)(2,+∞) (B)(1,+∞)
(C)[2,+∞) (D)(0,+∞)
解析:A={x|x≥1},B={y|y≥2},
所以A∩B=[2,+∞),故选C.
4.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( B )
(A)y= (B)y=
(C)y= (D)y=x2+x+1
解析:y=的值域是[0,+∞),y=的值域是{y|y≠0},y=x2+x+1的值域不是(0,+∞),选B.
5.函数f(x)=+的定义域是( B )
(A)[-3,]
(B)[-3,-)∪(-,)
(C)[-3,)
(D)[-3,-)∪(-,]
解析:由题意得
解得-3≤x<且x≠-,故选B.
6.已知函数y=f(x)与函数y=+是相等的函数,则函数y=f(x)的定义域是( A )
(A)[-3,1] (B)(-3,1)
(C)(-3,+∞) (D)(-∞,1]
解析:由于y=f(x)与y=+是相等函数,故两者定义域相同,所以y=f(x)的定义域为{x|-3≤x≤1}.故写成区间形式为[-3,1].
7.在下列四组函数中,表示同一函数的是( D )
(A)f(x)=2x+1,x∈N,g(x)=2x-1,x∈N
(B)f(x)=·,g(x)=
(C)f(x)=,g(x)=x+3
(D)f(x)=|x|,g(x)=
解析:由题意得A选项对应关系不同,所以表示不同的函数;B中f(x)=·的定义域为{x|x≥1},函数g(x)=的定义域为{x|x≤-1或x≥1},所以表示不同的函数;对于C中f(x)=的定义域为{x|x≠1},函数g(x)=x+3的定义域为R,函数f(x)=|x|和g(x)==|x|表示同一个函数.故选D.
8.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是( B )
(A)[0,1] (B)[0,1)
(C)[0,1)∪(1,4] (D)(0,1)
解析:由题意得解得0≤x<1.
9.函数y=+的定义域为 .?
解析:??x>1,
所以定义域为(1,+∞).
答案:(1,+∞)
10.若有意义,则函数y=x2+3x-5的值域是 .?
解析:有意义则有x≥0,函数y=x2+3x-5在x≥0时随着x增大而增大,所以x=0时取得最小值,所以值域为[-5,+∞).
答案:[-5,+∞)
11.函数f(x)=的值域是 .?
解析:f(x)===1-,
因为x2≥0,1+x2≥1,
所以0<≤1,
所以-1≤-<0.
所以0≤y<1.
答案:[0,1)
12.函数y=的定义域用区间表示为 .?
解析:要使函数有意义,需满足即
答案:(-∞,-4)∪(-4,4)∪(4,6].
13.直接将下列集合用区间表示出来.
(1){x|x≥1};(2){x|2≤x≤8};(3){y|y=}.
解:(1)[1,+∞);(2)[2,8];(3)(-∞,0)∪(0,+∞).
14.试求下列函数的定义域与值域:
(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};
(2)f(x)=(x-1)2+1;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=x-.
解:(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},则f(-1)=[(-1)-1]2+1=5,同理可得f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}.
(2)函数的定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为{y|
y≥1}.
(3)函数的定义域是{x|x≠1},y==5+,所以函数的值域为{y|
y≠5}.
(4)要使函数式有意义,需x+1≥0,即x≥-1,故函数的定义域是{x|
x≥-1}.
设t=,则x=t2-1(t≥0),
于是f(t)=t2-1-t=(t-)2-.
又因为t≥0,故f(t)≥-.
所以函数的值域是{y|y≥-}.
15.求下列函数的值域:
(1)y=x2+x(-1≤x≤3);
(2)y=;
(3)y=2x+4,x∈[0,2].
解:(1)由y=x2+x?y=(x+)2-,
对称轴为x=-,
则函数在[-1,-]上为减函数,在[-,3]上为增函数,
当x=-时函数取得最小值为-,又f(-1)=0,f(3)=12,故函数的值域为[-,12].
(2)由题意得f(x)==1-,
因为≥0,则0<≤2,即-1≤1-<1,
故所求函数的值域为[-1,1).
(3)设=t,则x=2-t2,t∈[0,],
原函数可化为y=-2t2+4t+4,t∈[0,],
当t=0时,y取得最小值4;当t=1时,y取得最大值6.
所以原函数的值域为[4,6].
16.下面各组函数中是同一函数的是( D )
(A)y=与y=x
(B)y=()2与y=|x|
(C)y=·与y=
(D)f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1
解析:由于函数f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1的定义域都是R,对应法则也相同,从而这两个函数是相同的函数.故选D.
17.函数y=x2+x+1在[-1,1]上的最小值和最大值分别是( B )
(A)1,3 (B),3
(C)-,3 (D)-,3
解析:y=x2+x+1=(x+)2+.结合函数图象知,
当x=-时,y取得最小值;
当x=1时,y=12+1+1=3.
所以y的最大值为3.故选B.
18.函数y=2-的值域是 .?
解析:函数的定义域为[0,4],当x∈[0,4],-x2+4x∈[0,4],∈[0,2],所以y=2-∈[0,2].
答案:[0,2]
19.若函数y=的定义域为R,则实数a的取值范围是 .?
解析:因为函数y=的定义域为R,
所以ax2+2ax+3=0无实数解,
即函数y1=ax2+2ax+3的图象与x轴无交点.
当a=0时,函数y=的图象与x轴无交点;
当a≠0时,则Δ=(2a)2-4·3a<0,解得0综上所述,a的取值范围是[0,3).
答案:[0,3)
20.已知函数f(x)=.
(1)求f(2)+f(),f(3)+f()的值;
(2)求证:f(x)+f()是定值;
(3)求f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 017)+f()的值.
(1)解:因为f(x)=,
所以f(2)+f()=+=1,
f(3)+f()=+=1.
(2)证明:f(x)+f()=+
=+
==1.
(3)解:由(2)知f(x)+f()=1,
所以f(2)+f()=1,
f(3)+f()=1,
f(4)+f()=1,…,
f(2 017)+f()=1.
所以f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 017)+f()=2 016.
课件29张PPT。第二课时 函数概念的应用课标要求:1.明确函数的三要素,会判断两个函数是否相等.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的值域. 自主学习1.区间
设a,b∈R,且a答案:a 、对应关系、值域.
3.常见函数的值域
一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是 ,值域也是 .二次函数y=ax2+bx
+c(a≠0)的定义域是 .当a>0时,值域为 ;当a<0时,值
域是 .
4.相等函数
如果两个函数的 相同,并且 完全一致,我们就称这两个函数相等.定义域RRR定义域对应关系自我检测C1.区间[1,2)表示的集合为( )
(A){x|1≤x≤2} (B){x|1(C){x|1≤x<2} (D){x|1(1){x|x≥-1};
(2){x|x<0};
(3){x|-1(4){x|0(2){x|x<0}用区间表示为(-∞,0).
(3){x|-1(4){x|0①区间左端点值小于右端点值;
②区间两端点之间用“,”隔开;
③含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号;
④以“-∞”,“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号.解析:(1)[0,2)∪(2,+∞).
(2)因为2a+1>a,所以a>-1,即a∈(-1,+∞).
答案:(1) [0,2)∪(2,+∞)
(2)(-1,+∞)即时训练1-1:(1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为 ;?
(2)已知区间[a,2a+1],则a的 取值范围是 .?题型二相等函数的判定解析:①定义域不同,f(x)定义域为{x|x≠0},g(x)定义域为R.不相等.
③定义域、对应关系都相同.相等.
④对应关系不同,f(x)=|x+3|,g(x)=x+3.不相等.
答案:③方法技巧 函数相等的判定方法:首先判定定义域相同,其次判定解析式或化简后解析式相同,才是相等函数,与用什么字母表示自变量因变量无关.解析:A项中两函数的定义域和对应法则相同,为相等函数;B项中,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);C项中f(x)的定义域为R, g(x)的定义域为[0,+∞);D项中,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,1)∪ (1,+∞).B,C,D三项中两个函数的定义域都不相同,所以不是相等函数.故选A.求函数值与函数值域题型三(2)当x=-2,-1,0,1,2,3时,y=11,6,3,2,3,6.
故函数的值域为{2,3,6,11}.(4)由于y=2(x+1)2-2,
对称轴x=-1,
当x=-1时,ymin=-2,
当x=2时,ymax=16,所以值域为[-2,16].误区警示(3)求f(x),g(x)的值域.点击进入 课时作业谢谢观赏！