1.2.2 函数的表示法
第一课时 函数的表示法
1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元,若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( D )
(A)y=2x
(B)y=2x(x∈R)
(C)y=2x(x∈{1,2,3,…})
(D)y=2x(x∈{1,2,3,4})
解析:题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},故选D.
2.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中错误的是( C )
(A)这天15时的温度最高
(B)这天3时的温度最低
(C)这天的最高温度与最低温度相差13℃
(D)这天21时的温度是30℃
解析:这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14℃,故C错.
3.已知正方形的周长为x,它的外接圆的半径为y,则y关于x的解析式为( C )
(A)y=x (B)y=x
(C)y=x (D)y=x
解析:正方形的周长为x,边长为,则正方形的对角线= =x,
所以y=x×=x.
4.若f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)等于( B )
(A)3x+2 (B)3x-2
(C)2x+3 (D)2x-3
解析:设f(x)=ax+b,由题设有
解得故选B.
5.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的解析式是( B )
(A)g(x)=2x+1 (B)g(x)=2x-1
(C)g(x)=2x-3 (D)g(x)=2x+7
解析:因为g(x+2)=f(x)=2x+3,
所以令x+2=t,则x=t-2,g(t)=2(t-2)+3=2t-1.
所以g(x)=2x-1.
6.星期天,小明从家出发,出去散步,图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系,根据图象,下面的描述符合小明散步情况的是( B )
(A)从家出发,到一个公共阅报栏,看了一会儿报,就回家了
(B)从家出发,到一个公共阅报栏,看了一会儿报后,继续向前走了一段,然后回家了
(C)从家出发,散了一会儿步(没有停留),然后回家了
(D)从家出发,散了一会儿步,就找同学去了,18 min后才回家
解析:水平线段表明小明离家的距离始终是300米,然后离家距离达到500米,说明小明从家出发后,到一个公共阅报栏,看了一会儿报后,继续向前走了一段,然后回家了.故选B.
7.已知f(x)的图象恒过(1,1)点,则f(x-4)的图象恒过( B )
(A)(-3,1) (B)(5,1)
(C)(1,-3) (D)(1,5)
解析:由题意知f(1)=1,令x-4=1得x=5,
故函数f(x-4)的图象恒过点(5,1).
故选B.
8.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,则它的解析式为( D )
(A)y=20-2x
(B)y=20-2x(0
(C)y=20-2x(5≤x≤10)
(D)y=20-2x(5解析:由题意得y+2x=20,
所以y=20-2x,
又2x>y,即2x>20-2x,即x>5,
由y>0即20-2x>0得x<10,
所以59.已知函数f(x)=x-,且此函数图象过点(5,4),则实数m的值为
.?
解析:将点(5,4)代入f(x)=x-,得m=5.
答案:5
10.已知函数f(x)=ax2-1(a≠0),且f[f(1)]=-1,则a的值为
.
解析:因为f(x)=ax2-1,所以f(1)=a-1,
f[f(1)]=f(a-1)=a(a-1)2-1=-1,
所以a(a-1)2=0,又因为a≠0,所以a-1=0,所以a=1.
答案:1
11.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f[f(0)]= .?
解析:由题目图象可知f(0)=4,f(4)=2,f[f(0)]=2.
答案:2
12.已知一次函数f(x)=4x+3,且f(ax+b)=8x+7,则a-b= .?
解析:一次函数f(x)=4x+3,
所以f(ax+b)=4(ax+b)+3=8x+7,
得(4a-8)x+4b-4=0恒成立,
解得a=2,b=1,所以a-b=1.
答案:1
13.已知函数y=f(x)满足f(x)=2f()+x,求f(x)的解析式.
解:因为f(x)=2f()+x,①
所以将x换成,得f()=2f(x)+,②
由①,②消去f(),得f(x)=--,
即f(x)=-(x≠0).
14.已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解,求函数y=f(x)的解析式和 f(f(-3)) 的值.
解:因为f(2)=1,所以=1,即2a+b=2,(*)
又因为f(x)=x有唯一解,即=x有唯一解,所以ax2+(b-1)x=0有两个相等的实数根,所以Δ=(b-1)2=0,即b=1.代入(*)得a=.
所以f(x)==.
所以f(f(-3))=f()=f(6)==.
15.设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图象与y轴交点的纵坐标为1,被x轴截得的线段长为2,求f(x)的解析式.
解:法一 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(x-2)=f(-x-2)得4a-b=0; ①
又因为|x1-x2|==2,
所以b2-4ac=8a2; ②
又由已知得c=1. ③
由①②③解得b=2,a=,c=1,
所以f(x)=x2+2x+1.
法二 因为f(x-2)=f(-x-2),
故y=f(x)的图象有对称轴x=-2,可设y=a(x+2)2+k,
当x=0时,y=4a+k=1.
y=0时,a(x+2)2+k=0,即ax2+4ax+4a+k=0.
得ax2+4ax+1=0,x1+x2=-4,x1·x2=,
|x1-x2|===2.
a=,k=-1.
所以f(x)=(x+2)2-1,即f(x)=x2+2x+1.
法三 因为y=f(x)的图象有对称轴x=-2,
又|x1-x2|=2,
所以y=f(x)的图象与x轴的交点为(-2-,0),(-2+,0).故可设f(x)=a(x+2+)(x+2-).
因为f(0)=1,所以a=.
所以f(x)=[(x+2)2-2]=x2+2x+1.
16.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(2)等于( C )
(A)- (B)-
(C) (D)
解析:由2f(x)+f(-x)=3x+2得
2f(-x)+f(x)=-3x+2,消去f(-x)得f(x)=3x+,所以f(2)=.
17.已知对任意的x,y∈N*,都有f(x+y)=f(x)·f(y),若f(1)=2,则++…+的值为( A )
(A)4 030 (B)4 028
(C)2 015 (D)2 016
解析:由题意知===…=
=f(1)=2,
所以++…+=2×2 015=4 030.
18.生活经验告诉我们,当水注进容器(设单位时间内进水量相同),水的高度随着时间的变化而变化,在如图中请选择与容器相匹配的
图象.
A——( );B——( );?
C——( );D——( ).?
解析:A容器下粗上细,水的高度变化为先慢后快,B容器为球形,水的高度变化为由快到慢到快;C,D容器都是柱形,水的高度变化都应是均匀的,但C容器细,D容器粗,故水的高度变化是C快于D.
答案:④ ① ③ ②
19.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f()=2 017-x,则
f(2 019)= .?
解析:当x=2时,f(2)+2f(2 019)=2 015,①
当x=2 019时,f(2 019)+2f(2)=-2,②
得f(2 019)=1 344.
答案:1 344
20.某商场经营一批进价是30元的商品,在市场试销中发现,此商品销售单价x元与日销售量y台之间有如下关系:
x
35
40
45
50
…
y
57
42
27
12
…
在所给的坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)的对应点,并确定你认为比较适合的x与y的一个函数关系式y=f(x).
解:作出点(35,57),(40,42),(45,27),(50,12),并用直线将其连接起来,如图,则可知其为一次函数,不妨设y=kx+b(k≠0),将点(35,57),
(40,42)代入其中,
即
解之得即y=162-3x,
台数为非负,因此162-3x≥0,即x≤54,且由于进价为30元,从而函数的定义域为[30,54],
于是y=162-3x(x∈[30,54]).
课件30张PPT。1.2.2 函数的表示法
第一课时 函数的表示法课标要求:1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当方法表示函数. 自主学习1.函数的表示方法
解析法,就是用 表示两个变量之间的对应关系.
图象法,就是用 表示两个变量之间的对应关系.
列表法,就是 来表示两个变量之间的对应关系.
2.函数的图象
函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散点等等.知识探究数学表达式图象列出表格自我检测B1.已知函数f(x-1)=x2-3,则f(2)的值为( )
(A)-2 (B)6
(C)1 (D)0解析:令x-1=2,
所以x=3,
所以f(2)=32-3=6.2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则 f(g(2)) 的值为( )B(A)3 (B)2
(C)1 (D)0解析:由函数g(x)的图象知,g(2)=1,则f(g(2))=f(1)=2.故选B.解析:设函数f(x)的定义域为D,则当m∈D时,f(x)图象与直线x=m有且只有一个交点;当m?D时,f(x)图象与直线x=m无交点.故选C.3.函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点个数为( )
(A)可能无数 (B)只有一个
(C)至多一个 (D)至少一个C4.函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域是 ,值域是 .?答案:[-1,0)∪(0,2] [-1,1)5.已知f(x)是一次函数,满足3f(x+1)=6x+4,则f(x)= .?题型一函数图象的作法及应用【例1】 作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=(-1)xx,x∈{0,1,2,3}; 课堂探究解:(1)列表
函数图象只是四个点:(0,0),(1,-1),
(2,2),(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.解:(2)列表(2)y= ,x∈[2,+∞);解:(3)列表
画图象,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分.
由图可得函数的值域是[-1,8].(3)y=x2+2x,x∈[-2,2].解:(1)当x∈(0,+∞)时,y=∈ (0,+∞),故函数值域为(0,+∞).
(2)当x∈R时,y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1.故函数值域为[-1,+∞).误区警示 作函数图象应注意:(1)在定义域内作图,即树立定义域优先的意识;
(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.即时训练1-1:作出下列函数图象,并求其值域:
(1)y=1-x(x∈Z,且|x|≤2);解:(1)因为x∈Z,且|x|≤2,所以x∈{-2,-1,0,1,2}.
所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①).
由图象知,y∈{-1,0,1,2,3}.解:(2)因为y=2(x-1)2-5,
所以当x=0时,y=-3;
当x=3时,y=3;
当x=1时,y=-5.
因为x∈[0,3),故图象是一段抛物线(如图②).
由图象可知,y∈[-5,3).(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).题型二函数解析式的求法【例2】 求函数的解析式.
(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;方法技巧 函数解析式的求法
求函数解析式,关键是对基本方法的掌握,常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等.
(1)配凑法:将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式,并整体将g(x)用x代换,即可求出函数f(x)的解析式.如由f(x+1)=(x+1)2可得f(x)=x2.
(2)换元法:将函数f(g(x))中的g(x)用t表示,则可求得x关于t的表达式,并将最终结果中的t用x代换,即可求得函数f(x)的解析式.(3)待定系数法:将已知类型的函数以确定的形式表达,并利用已知条件求出其中的参数,从而得到函数的解析式.
一次函数解析式为y=ax+b(a≠0).二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
(4)解方程(组)法:采用解方程或方程组的方法,消去不需要的函数式子,得到f(x)的表达式,这种方法也称为消去法.
(5)赋值法:利用恒等式将特殊值代入,求出特定函数的解析式.这种方法灵活性强,必须针对不同的类型选取不同的特殊值.即时训练2-1:(1)已知f(x+1)=x2-2x,求f(x);解:(1)法一 (配凑法)
f(x+1)=(x+1)2-2x-1-2x
=(x+1)2-4x-1
=(x+1)2-4(x+1)+3,
所以f(x)=x2-4x+3.
法二 (换元法)
令x+1=t,则x=t-1,
f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,
所以f(x)=x2-4x+3.(2)已知一次函数f(x)满足f(0)=5,图象过点(-2,1),求f(x);(3)已知二次函数g(x)的图象与x轴的两交点分别为(-2,0),(3,0),且g(0)=-3,求g(x).题型三函数表示法的应用【例3】 如图所示,从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x的正方形,然后折成一个无盖的长方体盒子,要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.试把铁盒的容积V表示为x的函数,并求出其定义域.误区警示 利用函数解决实际问题时函数的定义域不仅要考虑使函数解析式有意义,还要考虑使实际问题有意义.即时训练3-1:将长为a的铁丝折成矩形,其中一条边长为x时,矩形的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(2)如果矩形的面积为 ,那么矩形的两边长分别是多少?点击进入 课时作业谢谢观赏！第二课时 分段函数与映射
1.下列各对应中,构成映射的是( D )
解析:选项A,C中集合A中的元素1,在集合B中有2个元素与之对应;选项B中集合A中的元素2在集合B中无元素与之对应,所以都不是映射,只有D项符合映射的定义.故选D.
2.已知f(x)=则f(1)+f(-1)等于( A )
(A)1 (B)-1 (C)0 (D)-2
解析:因为1>0,所以f(1)=2×1=2;因为-1<0,所以f(-1)=(-1)2-2=-1.故f(1)+f(-1)=2+(-1)=1.故选A.
3.集合A的元素按对应法则“先乘再减1”和集合B中的元素对应,记这种对应所成的映射f:A→B.若集合B={1,2,3,4,5},那么集合A不可能是( C )
(A){4,6,8} (B){4,6}
(C){2,4,6,8} (D){10}
解析:按对应法则“先乘再减1”,结合集合B={1,2,3,4,5}可知A中的元素可以为4,6,8,10,12.但是不可能为2.由映射的定义可知,选C.
4.函数f(x)=|x-1|的图象是( B )
解析:由绝对值的意义可知当x≥1时y=x-1,
当x<1时,y=1-x,选B.
5.已知函数f(x)=且f(a)+f(1)=0,则a等于( A )
(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3
解析:当a>0时,f(a)+f(1)=2a+2=0?a=-1,与a>0矛盾;当a≤0时,f(a)+f(1)=a+1+2=0?a=-3,适合题意.
6.下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是( D )
(A)A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x|
(B)A={x|x≥0},B={y|y>0},f:x→y=
(C)A=N,B=N*,f:x→y=|x-1|
(D)A=R,B={y|y≥0},f:x→y=x2-2x+2
解析:A中当x=0时,y=0?B.同理B错,C中,当x=1时,y=0?B,故C不正确;由于x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,故D正确.
7.已知f(x)=则f[f()]的值为( C )
(A)- (B) (C) (D)-
解析:f()=-1=-,f(-)=.
8.已知f(x)=则f(3)等于( A )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:f(3)=f(5)=f(7)=2.
9.已知f(x)=则f(f())= .?
解析:依题意,得f()==3,则f(f())=f(3)=32-1=8.
答案:8
10.若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域为 .?
解析:由题意得f(x)=画出函数f(x)的图象得值域是(-∞,1].
答案:(-∞,1]
11.从集合A到集合B的映射f:x→x2+1,若A={-2,-1,0,1,2},则B中至少有 个元素.?
解析:根据映射的定义可得,x=±2→y=5,x=±1→y=2,x=0→y=1,所以A中元素在对应法则f作用下的集合为{1,2,5},故集合B中至少有3个元素.
答案:3
12.已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1+a)=f(1-a),则a的值为 .?
解析:因为f(1+a)=f(1-a),
所以若1+a<1,则1-a>1,
得2(1+a)+a=-(1-a)-2a,a=-.
若1+a>1,则1-a<1,
得2(1-a)+a=-(1+a)-2a,
a=-,不符合1+a>1.
综上a=-.
答案:-
13.已知函数f(x)=
(1)求f(2),f(f(2))的值;
(2)若f(x0)=8,求x0的值.
解:(1)因为0≤x≤2时,f(x)=x2-4,
所以f(2)=22-4=0,f(f(2))=f(0)=02-4=-4.
(2)当0≤x0≤2时,由-4=8,得x0=±2(舍去);
当x0>2时,由2x0=8,得x0=4.
所以x0=4.
14.已知函数f(x)=
(1)求f(f(f(5)))的值;
(2)画出函数的图象.
解:(1)因为5>4,
所以f(5)=-5+2=-3.
因为-3<0,
所以f(f(5))=f(-3)=-3+4=1.
因为0<1<4,
所以f(f(f(5)))=f(1)=12-2×1=-1,
即f(f(f(5)))=-1.
(2)图象如图所示.
15.已知函数f(x)=
求(1)f;
(2)若f(a)=3,求a的值;
(3)求f(x)的定义域及值域.
解:(1)f(-)=-+2=,f()=2×=,
F()=2×=1,
所以f{f[f(-)]}=1.
(2)当a≤-1时,f(a)=a+2≤1,
所以f(a)=3无解.
当-1所以-2当a≥2时,f(a)=,f(a)≥2,
所以f(a)=3,即=3,解得a=.
综上所述a=或a=.
(3)f(x)的定义域为R,由(2)易知,值域为R.
16.已知集合A={1,2,m}与集合B={4,7,13},若f:x→y=3x+1是从A到B的映射,则m的值为( D )
(A)22 (B)8 (C)7 (D)4
解析:由f:x→y=3x+1,得3×1+1=4,3×2+1=7,由集合中元素的互异性得3m+1=13,m=4,故选D.
17.已知f(x)=且f(2)=5,则f(-1)等于( A )
(A)3 (B)-1 (C)-3 (D)1
解析:由f(2)=5,得2×2+a=5,解得a=1.
而f(-1)=f(-1+2)=f(1)=2×1+1=3.故选A.
18.某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10 000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)=则总利润最大时店面经营天数是 .?
解析:设总利润为L(x),
则L(x)=
则L(x)=
当0≤x<300时,L(x)max=10 000,
当x≥300时,L(x)max=5 000,
所以总利润最大时店面经营天数是200.
答案:200
19.设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是 .?
解析:当x0≤0时,由-x0-1>1,得x0<-2,
所以x0<-2;当x0>0时,由>1,
所以x0>1.
所以x0的取值范围为(-∞,-2)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-2)∪(1,+∞)
20.某村电费收取有以下两种方案供农户选择:
方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度时,每度0.5元,超过30度时,超过部分按每度0.6元收取.
方案二:不收管理费,每度0.58元.
(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;
(2)老王家九月份按方案一交费35元,问老王家该月用电多少度?
(3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?
解:(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.5x,
当x>30时,
L(x)=2+30×0.5+(x-30)×0.6=0.6x-1,
所以L(x)=(注:x也可不取0)
(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.5x=35得x=66,舍去.
当x>30时,由L(x)=0.6x-1=35得x=60.
所以老王家该月用电60度.
(3)设按方案二收费为F(x)元,则F(x)=0.58x.
当0≤x≤30时,由L(x)所以x>25,所以25当x>30时,由L(x)得0.6x-1<0.58x,
所以x<50,所以30综上,25故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选择方案一比方案二更好.
课件31张PPT。第二课时 分段函数与映射课标要求:1.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.2.了解映射的概念. 自主学习1.分段函数
如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.
探究1:怎样求分段函数的定义域、值域?
答案:分段函数的定义域是各段定义域的并集,分段函数的值域是各段值域的并集.
2.映射
设A,B是 的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中
的 元素x,在集合B中都有 的元素y与之对应,那么就
称对应 为从集合A到集合B的一个映射.知识探究非空任意一个唯一确定f:A→B探究2:函数与映射的关系是什么?
答案:函数是一类特殊的映射,若构成映射的两个集合是非空的数集,则该映射一定是函数.
探究3:若映射f:A→B,集合A中元素在对应法则f下的元素构成集合C,则B与C相等吗?
答案:B与C不一定相等,它们之间的关系是C?B.自我检测1.已知f(x)= 则f(2 018)等于( )
(A)2 018 (B)-2 018
(C)-1 (D)1
2.已知f(x)= 则f(x)的定义域为( )
(A)R (B)(-∞,1]
(C)(-∞,2) (D)(1,+∞)DCB B 5.已知f(x)= 且f(a)=4,则a= .?答案:-2或3题型一分段函数求值 课堂探究(2)若f(a)=3,求实数a的值;
(3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去.
当-2所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3.
因为1∈(-2,2),-3?(-2,2),所以a=1符合题意.
当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意.
综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.
(3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1,
即2m-1>3m-5,解得m<4,
又m≥2,所以m的取值范围为[2,4).变式探究1:本题中若将(2)中的f(a)=3改为f[f(a)]=3,求a.变式探究2:本题(3)中,若改为f(m)>3m-5,求m的取值范围. (1)分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪一段,代入该段解析式求解即可.
(2)已知函数值求自变量的值时,应分别代入各段解析式中求解,以免丢解.要根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍.
(3)已知f(x)解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求并集.
(4)求解形如f[f(a)]的函数值问题,按从里到外的原则,先求f(a),再求f[f(a)].方法技巧题型二分段函数的解析式【例2】 某市出租车的收费标准是:起步价是5元(乘车不超过3公里);行驶3公里后,每公里车费1.2元,行驶10公里后,每公里车费1.8元.
(1)写出车费与路程的关系式;(2)某人从家去单位上班乘坐出租车需付车费22.4元,则该人的家离单位的距离应为多少公里?(为计算方便本题付费方式按实际公里数计算)解:(2)当1.2x+1.4=22.4时,x=17.5,
又17.5?(3,10],故舍去.
当1.8x-4.6=22.4时,x=15.
所以该人的家离单位15公里. 分段函数模型的一般形式是:对于不同的自变量范围对应不同的函数解析式,求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理,日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等,都是最简单的分段函数.方法技巧即时训练2-1:小刘周末自驾游,早上8点从家出发,驾车3小时到达景区停车场,期间由于交通等原因,小刘的车所走的路程s(单位:km)与离家的时间t(单位:h)的函数关系式为 s(t)=-5t(t-13),由于景区内不能驾车,小刘把车停在景区停车场,在景区玩到16点,小刘开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回.
(1)求这天小刘的车所走路程s(单位:km)与离家时间t(单位:h)的函数解析式;(2)在距离小刘家60 km处有一加油站,求这天小刘的车途经加油站的时间.解:(2)当0≤t≤3时,令-5t(t-13)=60,
得t2-13t+12=0,解得t=1或t=12(舍去).
当t=1时,时间为9点.
当8解得t=,当t=9.5时,时间为17点30分.
答:小刘这天途经该加油站的时间分别为9点和17点30分.分段函数的图象题型三(2)y=|x+1|+|x-3|.方法技巧 (1)画含有绝对值的函数的图象的方法:对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.
(2)画分段函数图象的方法:作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.即时训练3-1:已知函数f(x)=1+ (-2(1)用分段函数的形式表示该函数;
(2)画出该函数的图象;
(3)写出该函数的值域.(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).题型四映射【例4】 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射:
(1)A=N*,B=N*,对应关系f:x→|x-3|;
(2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系f:作圆的内接矩形;解:(1)由于在对应关系f作用下A中元素3与3的差的绝对值为0,而0?B,故不是映射.
(2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射.(3)A={2014年南京青奥会参赛国},B={参赛国的金牌数},对应关系f:每个参赛国最终获得的金牌数;
(4)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤6},对应关系f:x→y= x.解:(3)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯一一个元素与之对应,符合映射定义,是映射.
(4)是映射,因为A中每一个元素在f:x→y= x作用下对应的元素构成的集合C={y|0≤y≤1}?B,符合映射定义.变式探究:本题所给对应关系中,哪一个对应能构成函数.解:由于只有(3),(4)能构成映射,而(3)中的集合不是数集,(4)中的集合是数集,因此只有(4)能构成函数.方法技巧 (1)判定一种对应是否为映射的方法:给定两集合A,B及对应关系f,利用映射的定义.A→B的对应“多对一”,“一对一”,是A到B的映射.
(2)映射f:A→B中的集合A,B的特征:①集合A到B的映射,A,B必须是非空集合(可以是数集,也可以是其他集合);
②与A中元素对应的元素构成的集合是集合B的子集.点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！