1.3.2 奇偶性
第一课时 函数奇偶性的定义与判定
1.设f(x)是定义在R上的偶函数,下列结论中正确的是( B )
(A)f(-x)+f(x)=0 (B)f(-x)-f(x)=0
(C)f(x)·f(-x)<0 (D)f(0)=0
解析:由偶函数的定义知f(-x)=f(x),
所以f(-x)-f(x)=0,f(-x)+f(x)=0不一定成立.
f(-x)·f(x)=[f(x)]2≥0,
f(0)=0不一定成立.
故选B.
2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( B )
解析:选项A中的图象不关于原点对称,也不关于y轴对称,故排除;选项C,D中函数的定义域不关于原点对称,也排除.选项B中的函数图象关于y轴对称,是偶函数,故选B.
3.下列函数中既是奇函数又是偶函数的是( A )
(A)f(x)=-
(B)f(x)=+
(C)f(x)=
(D)f(x)=
解析:选项A中定义域为{-1,1},函数解析式为f(x)=0,所以函数既是奇函数又是偶函数,选项B为偶函数,选项C为偶函数,选项D为非奇非偶函数,故选A.
4.已知f(x)=ax2+bx+1是定义在[-2a,a2-3]上的偶函数,那么a+b的值是( A )
(A)3 (B)-1 (C)-1或3 (D)1
解析:由题f(x)=ax2+bx+1是定义在[-2a,a2-3]上的偶函数,
所以f(x)=f(-x),
所以b=0,又-2a=-(a2-3)且-2a
所以a=3,
所以a+b=3.故选A.
5.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为( A )
(A)-2 (B)2
(C)1 (D)0
解析:由图知f(1)=,f(2)=,
又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.故选A.
6.函数y=x|x|的图象大致是( C )
解析:记f(x)=y=x|x|,
则f(-x)=-x·|-x|=-x·|x|=-f(x),
所以f(x)为奇函数,图象关于坐标原点对称,
又当x>0时,y=x·|x|=x2.故选C.
7.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是( B )
(A)(a,-f(a)) (B)(-a,-f(a))
(C)(-a,-f(-a)) (D)(a,f(-a))
解析:因为f(x)为奇函数,
所以f(-a)=-f(a),
所以点(-a,-f(a))在函数y=f(x)图象上.故选B.
8.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于( A )
(A)-26 (B)-18
(C)-10 (D)10
解析:令g(x)=x5+ax3+bx,则g(-x)=-g(x),
所以g(x)为奇函数.
又因为f(x)=g(x)-8,
所以f(-2)=g(-2)-8=10?g(-2)=18.
所以g(2)=-18.
所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.故选A.
9.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+
f(0)= .?
解析:由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,
f(0)=0,
所以f(-2)+f(0)=-5.
答案:-5
10.已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x+1,则当x>0时,f(x)=
.?
解析:当x>0时,f(x)=f(-x)=-x+1.
答案:-x+1
11.已知函数f(x)=是奇函数,则实数b= .?
解析:法一(定义法) 因为f(x)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
即=-,
整理得=-,
所以-x+b=-(x+b),即2b=0,
解得b=0.
法二(赋值法) 因为f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1),
即=-,
即=-,解得b=0.
法三(赋值法) 因为f(x)为奇函数,且函数的定义域为R,
所以f(0)=0,即=0,
解得b=0.
答案:0
12.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,则f(-1)= .?
解析:令y=g(x)=f(x)+x2,
因为此函数是奇函数,
所以g(-1)=-g(1),
即f(-1)+(-1)2=-[f(1)+12],
所以f(-1)=-3.
答案:-3
13.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+x2,x∈(-1,0)∪(0,1];
(2)f(x)=.
解:(1)因为函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1],不关于原点对称,故此函数为非奇非偶函数.
(2)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,
又因为|x+2|-2≠0,
所以x≠0,
所以-1≤x≤1且x≠0,
所以定义域关于原点对称,且x+2>0,
所以f(x)==,
因为f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
14.已知函数f(x)=+1.
(1)证明:函数f(x)在(1,+∞)上递减;
(2)记函数g(x)=f(x+1)-1,判断函数g(x)的奇偶性,并加以证明.
(1)证明:设x1>x2>1,
则x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0,
f(x1)-f(x2)=-=<0,
所以f(x1)所以f(x)在(1,+∞)上递减.
(2)解:g(x)=f(x+1)-1=,g(x)是奇函数,
证明如下:因为g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
g(-x)=-=-g(x),
所以g(x)是奇函数.
15.已知函数f(x)=-x2+2|x-a|.
(1)若函数y=f(x)为偶函数,求a的值;
(2)若a=,求函数y=f(x)的单调递增区间.
解:(1)法一 任取x∈R,
则f(-x)=f(x)恒成立,
即-(-x)2+2|-x-a|=-x2+|x-a|恒成立,
所以|x-a|=|x+a|恒成立,
两边平方得x2-2ax+a2=x2+2ax+a2,
所以a=0.
法二 (特殊值法)因为函数y=f(x)为偶函数,
所以f(-1)=f(1),得|1-a|=|1+a|,得a=0.
(2)若a=,
则f(x)=-x2+2|x-|=
作出函数的图象
由函数的图象可知,函数的单调递增区间为(-∞,-1]及[,1].
16.若函数f(x)=ax2-bx+1(a≠0)是定义在R上的偶函数,则函数g(x)=ax3+bx2+x(x∈R)是( A )
(A)奇函数
(B)偶函数
(C)非奇非偶函数
(D)既是奇函数又是偶函数
解析:因为函数f(x)=ax2-bx+1(a≠0)是定义在R上的偶函数,所以
b=0,g(x)=ax3+x是奇函数,选A.
17.若函数f(x)=为奇函数,则实数a等于( A )
(A)-1 (B)1 (C)0 (D)-2
解析:因为函数f(x)=为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
即(a+1)x=0恒成立,
所以a+1=0,解得a=-1,故选A.
18.如果函数f(x)=是奇函数,则g(x)= .?
解析:设x<0,得-x>0,
根据当x>0时的表达式,
可得f(-x)=-2x-3,
因为f(x)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=2x+3,即g(x)=2x+3.
答案:2x+3
19.已知函数f(x)=是奇函数且函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,则实数a的取值范围为 .?
解析:由题意得f(1)=-f(-1)?1=-(1-m)?m=2,
因此函数的单调递增区间为[-1,1],[-1,1]?[-1,a-2]?-1答案:(1,3]
20.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6,
(1)求f(0),f(1);
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(3)若对于任意x∈[,3]都有f(kx2)+f(2x-1)<0成立,求实数k的取值范围.
名师点拨:根据f(x+y)=f(x)+f(y)求f(0),f(1)时,需将已知条件式中的x,y值用0或1等代替,而判断其奇偶性时,可令x,y中有一个是另一个的相反数,常令y=-x,从而构造出f(x)与f(-x)的关系,而求f(kx2)+f(2x-1)<0时需先判断函数单调性,再根据函数为奇函数,变形为f(kx2)解:(1)f(0)=0,f(1)=2.
(2)函数f(x)是奇函数.
证明:由(1)f(0)=0,
所以f(0)=f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)是奇函数,且f(kx2)+f(2x-1)<0在x∈[,3]上恒成立,
所以f(kx2)又因为f(x)是定义域为R的单调函数,
且f(0)=0所以f(x)是R上的增函数.
所以kx2<1-2x在x∈[,3]上恒成立.
所以k<()2-2()在x∈[,3]上恒成立.
令g(x)=()2-2()=(-1)2-1,
由于≤x≤3,
所以≤≤2.
所以g(x)min=g(1)=-1.所以k<-1.
所以实数k的取值范围为(-∞,-1).
课件25张PPT。1.3.2 奇偶性
第一课时 函数奇偶性的定义与判定课标要求:1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.学会利用图象理解和研究函数的性质.3.掌握判断函数奇偶性的方法. 自主学习奇函数、偶函数的定义
(1)偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 .
,那么函数f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 .
,那么函数f(x)就叫做奇函数.知识探究任意f(-x)=f(x) f(x) 任意f(-x)=-探究1:若函数具有奇偶性则它的定义域有何特点?答案:定义域关于原点对称.探究2:若函数y=f(x)是奇函数,且点(a,f(a))是y=f(x)图象上一点,点(-a,
-f(a))是否在函数图象上?答案:由f(-a)=-f(a)知点(-a,-f(a))一定在函数y=f(x)图象上.自我检测2.若f(x)为R上的奇函数,则f(0)等于( )
(A)0 (B)-1 (C)1 (D)2B AC 4.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a= .?解析:因为函数为偶函数,所以(-x+1)(-x-a)=(x+1)(x-a),即(a-1)x=(-a+1)
x恒成立,所以a-1=-a+1,a=1.
答案:15.函数y=f(x)是定义在[-2,a](a>-2)上的偶函数,则a的值为 .?解析:因为f(x)是偶函数,且定义在[-2,a]上,
所以定义域[-2,a]关于x=0对称,
所以a=-(-2)=2.
答案:2题型一函数奇偶性的判定(1)f(x)=x3+x; 课堂探究解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),
因此函数f(x)是奇函数.(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),
不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.方法技巧 判断函数奇偶性的方法
(1)函数图象法.
(2)定义法:①求函数f(x)的定义域;
②判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步;
③结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的解析式;
④求f(-x);
⑤根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数f(x)的奇偶性:奇函数,偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数;其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,x∈A,A是关于原点对称的非空数集.即时训练1-1:判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=|x-1|+|x+1|;解:(1)f(x)的定义域是R,
又f(-x)=|-x-1|+|-x+1|
=|x+1|+|x-1|
=f(x),
故f(x)是偶函数.题型二函数奇偶性的图象特征【例2】 设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则不等式f(x)<0的解集是 .?解析:由奇函数的性质知,其图象关于原点对称,则f(x)在定义域[-5,5]上的图象如图,由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|-2答案:{x|-2(2)奇函数与偶函数的图象特点:
①偶函数的图象关于y轴对称,反之,若f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)为偶函数.
②奇函数的图象关于原点对称,反之,若f(x)的图象关于原点对称,则f(x)为奇函数.
③若0在奇函数f(x)的定义域内,则必有f(0)=0,即该奇函数的图象过坐标原点.方法技巧即时训练2-1:如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1)与f(3)的大小.解:法一 因函数f(x)是偶函数,
所以其图象关于y轴对称,补全图如图.
由图象可知f(1)法二 由图象可知f(-1)又函数y=f(x)是偶函数,
所以f(-1)=f(1),f(-3)=f(3),
故f(1)即a×(-1)2+(-1)=-(-12+1),
整理得a-1=0,
解得a=1.
答案:(2)1 由函数的奇偶性求参数应注意两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.
(2)利用常见函数如一次函数,反比例函数,二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.误区警示即时训练3-1:(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-2,2a],则a= ,b= ;?
(2)已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a= .?(2)由f(x)为奇函数得f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,
所以a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=0.即2ax2=0,所以a=0.
答案:(1) 0 (2)0点击进入 课时作业谢谢观赏！第二课时 函数奇偶性的应用(习题课)
1.下列函数中是奇函数的为( D )
(A)y=x-1 (B)y=x2 (C)y=|x| (D)y=x
解析:y=x-1为非奇非偶函数,y=x2与y=|x|为偶函数,y=x为奇函数.故选D.
2.已知函数f(x)=g(x)+|x|,对任意的x∈R总有f(-x)=-f(x),且g(-1)=1,则g(1)等于( B )
(A)-1 (B)-3 (C)3 (D)1
解析:由f(-x)=-f(x)可知f(x)是奇函数,因为 f(x)=g(x)+|x|,
g(-1)=1,所以f(-1)=1+1=2,则f(1)=-2.故得f(1)=g(1)+1=-2,所以g(1)=-3,故选B.
3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( C )
(A)y= (B)y=x2+1
(C)y= (D)y=x
解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+∞)上单调递增.故选C.
4.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为( A )
(A)4 (B)0 (C)2m (D)-m+4
解析:由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2
=-a·57+b·55-c·53+2=m,
得a·57-b·55+c·53=2-m,
则f(5)=a·57-b·55+c·53+2=2-m+2=4-m.
所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.故选A.
5.若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中,成立的是( D )
(A)f(-)(B)f(-1)(C)f(2)(D)f(2)解析:偶函数f(x)满足f(2)=f(-2),函数在(-∞,-1]上是增函数,因为-2<-<-1,所以f(-2)6.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式是( A )
(A)f(x)=-x(x+2) (B)f(x)=x(x-2)
(C)f(x)=-x(x-2) (D)f(x)=x(x+2)
解析:设x<0,则-x>0,则f(-x)=x2+2x=-f(x),
所以f(x)=-x(x+2),故选A.
7.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2,在(0,+∞)上有最大值8,则在(-∞,0)上F(x)有( D )
(A)最小值-8 (B)最大值-8
(C)最小值-6 (D)最小值-4
解析:根据题意有f(x)+g(x)在(0,+∞)上有最大值6,又因为f(x)和g(x)都是奇函数,所以f(x)+g(x)是奇函数且f(x)+g(x)在(-∞,0)上有最小值-6,则F(x)在(-∞,0)上也有最小值-6+2=-4,故选D.
8.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(-2)=3,则满足f(2x-3)<3的x的取值范围是( B )
(A)(-∞,)∪(,+∞)
(B)(,)
(C)(-∞,-)∪(-,+∞)
(D)(-,-)
解析:因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2)=3,f(2x-3)<3等价于f(|2x-3|)9.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)按从小到大的顺序排列是 .?
解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)恒成立,即(m-1)x2-6mx+2=
(m-1)x2+6mx+2恒成立,所以m=0,即f(x)=-x2+2.因为f(x)的图象开口向下,对称轴为y轴,在[0,+∞)上单调递减,所以f(2)答案:f(-2)10.设函数f(x)=(a∈R)为偶函数,则f(3a)= .?
解析:f(x)为偶函数,则对于定义域{x|x≠0},恒有f(-x)=f(x),利用特殊值法,不妨取f(-1)=f(1),则f(-1)=0,f(1)=2(1+a)=0,所以a=-1,
得f(x)=,则f(3a)=f(-3)=.
答案:
11.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)= .?
解析:函数f(x)==1+,
f(a)=,
即f(a)=1+=,
得=-,
所以f(-a)=1+=1-(-)=.
答案:
12.已知函数f(x)是周期为2的奇函数,当-1≤x≤0时,f(x)=x2+x,则f()= .?
解析:因为函数f(x)是周期为2的奇函数,
所以f()=f(504×2+)=f()=-f(-)=-[+(-)]=.
答案:
13.已知函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=x2-x+2,求f(x),g(x)的解析式.
解:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数.所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
又因为f(x)+g(x)=x2-x+2,①
所以f(-x)+g(-x)=x2+x+2,
即-f(x)+g(x)=x2+x+2,②
由①,②得g(x)=x2+2,f(x)=-x.
14.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若f(1-m)解:因为f(x)是[-2,2]上的偶函数,
且在[-2,0]上单调递减,
所以f(x)在[0,2]上单调递增,
由f(1-m)得
解①得-1≤m≤3,
解②得-3≤m≤1,
由①②得-1≤m≤1,
③可化简为(1-m)2<(1+m)2,
得m>0,
综上得m的取值范围为(0,1].
15.设函数f(x)=(a>0).
(1)判断函数的奇偶性;
(2)探究函数f(x)在[,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明.
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
因为f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)在[,+∞)上单调递增,
证明:任取x1,x2∈[,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-),
因为x1,x2∈[,+∞),且x1所以x1-x2<0,1->0,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在[,+∞)上单调递增.
16.设f(x)是R上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)<0的解集是( D )
(A){x|-33}
(B){x|x<-3或0(C){x|x<-3或x>3}
(D){x|-3解析:因为f(x)为奇函数,在(0,+∞)上为增函数,所以在(-∞,0)上为增函数,因为f(-3)=-f(3)=0,所以f(x)在(-∞,-3)和(0,3)为负,f(x)在(-3,0)和(3,+∞)为正,xf(x)<0,即x与f(x)异号,所以解集为(-3,0)∪(0,3).故选D.
17.函数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是( D )
(A)(-a,-f(a)) (B)(-a,-f(-a))
(C)(a,-f(a)) (D)(a,f(-a))
解析:因为函数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,x∈R,
所以f(-a)=|(-a)3+1|+|(-a)3-1|
=|-a3+1|+|-a3-1|
=|a3-1|+|a3+1|
=f(a),
所以函数为偶函数,
则(a,f(-a)),(-a,f(a))均在函数图象上.故选D.
18.y=f(x)在(0,2)上是增函数,y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(),f()的大小关系是 .?
解析:y=f(x+2)是偶函数,
则y=f(x)关于x=2对称,
于是f()=f(),
F()=f(),
又f(x)在(0,2)上是增函数,所以f()即f()答案:f()19.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(-2)=-3,则f(-31)+f(-63)= .?
解析:因为f(x)为R上的奇函数,
故f(-x)=-f(x-),
易得f(x-)=-f(x),
则f(x-3)=f(x--)=-f(x-)=f(x),
即函数f(x)是以3为周期的周期函数,
故f(-31)=f(-1)=f(2)=-f(-2)=3,
f(-63)=f(0)=0,
则f(-31)+f(-63)=3.
答案:3
20.已知函数y=f(x)(x≠0)对于任意的x,y∈R且x,y≠0满足f(xy)=
f(x)+f(y).
(1)求f(1),f(-1)的值;
(2)求证:y=f(x)为偶函数;
(3)若y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)+f(x-5)≤0.
(1)解:因为对于任意的x,y∈R且x,y≠0满足f(xy)=f(x)+f(y),
所以令x=y=1,得到
f(1)=f(1)+f(1),
所以f(1)=0,
令x=y=-1,得到
f(1)=f(-1)+f(-1),
所以f(-1)=0.
(2)证明:令y=-1,
得f(-x)=f(x)+f(-1),
因为f(-1)=0,
所以f(-x)=f(x),
所以y=f(x)为偶函数.
(3)解:由(2)知函数f(x)是定义在非零实数集上的偶函数.
所以不等式f(x)+f(x-5)≤0可化为
F[x(x-5)]≤f(1),
所以-1≤x(x-5)≤1.
即-6≤x(x-5)≤6且x≠0,x-5≠0,
在坐标系内,画出函数y=x(x-5)图象与y=6,y=-6两直线如图所示.
由图可得x∈[-1,0)∪(0,2]∪[3,5)∪(5,6].
故不等式的解集为[-1,0)∪(0,2]∪[3,5)∪(5,6].
课件24张PPT。第二课时 函数奇偶性的应用(习题课)课标要求:1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.能利用函数的奇偶性与单调性分析,解决较简单的问题. 自主学习1.已知奇函数f(x)在[-3,-1]上单调递增,则f(x)在[1,3]上( )
(A)递增 (B)递减
(C)先增后减 (D)先减后增
2.已知偶函数在(-∞,0)上单调递增,则( )
(A)f(1)>f(2) (B)f(1)(C)f(1)=f(2) (D)以上都有可能AA自我检测C 4.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它是减函数,若实数a,b满足f(a)+f(b)
>0,则a+b 0(选填“>”“<”或“=”).?解析:由f(a)+f(b)>0得f(a)>-f(b)=f(-b),又f(x)在R上是减函数,所以a<
-b,即a+b<0.
答案:<5.奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数,且最大值是4,最小值是-1,则2f(-6)
+f(-3)= .?解析:由题意可知,f(-6)=-f(6)=-4,f(-3)=-f(3)=1,所以2f(-6)+f(-3)=-7.
答案:-7题型一利用奇偶性求函数值【例1】 设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x+m(m为常数),则f(-3)= .? 课堂探究解析:因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,即m=0,
所以f(x)=x2+2x,
故f(3)=32+2×3=15,
又f(x)为奇函数,
所以f(-3)=-f(3)=-15.
答案:-15 本题中当x≥0时,函数解析式含参数m,因此需利用奇函数在原点处有定义,则f(0)=0的性质,求出m的值,然后根据奇函数性质求f(-3)的值.误区警示即时训练1-1:已知函数f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2- ,则f(1)等于( )
(A)2 (B)1 (C)0 (D)-2解析:由f(x)是奇函数,得f(1)=-f(-1)=-[(-1)2- ]=-2.
故选D.题型二利用奇偶性求函数f(x)的解析式【例2】(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x-3,求f(x)的解析式;(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式. 利用函数奇偶性求解析式时的注意事项:
(1)求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上取x.
(2)然后要利用已知区间的解析式写出f(-x);
(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x);
(4)要注意R上的奇函数定有f(0)=0.
若是求整个定义域内的解析式,各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式,此点易忽略.方法技巧即时训练2-1:(1)已知函数f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)=x+b,若f(-3)=5,则x<0时函数解析式为 ;?解析:(1)因为f(x)是奇函数,
所以f(-3)=-f(3)=5.所以f(3)=-5.
又x>0时,f(x)=x+b,
所以3+b=-5,
所以b=-8.
所以x>0时,f(x)=x-8.
设x<0,则-x>0,
即f(-x)=-x-8.
又f(x)是奇函数,
所以-f(x)=-x-8,即f(x)=x+8.
答案:(1)f(x)=x+8(2)已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=
x-x2,则当x∈(0,+∞)时,f(x)= .?解析:(2)设x>0,则-x<0,
所以f(-x)=(-x)-(-x)2=-x-x2,
又因为f(x)为偶函数.
所以f(-x)=f(x),故f(x)=-x-x2.
答案:(2)-x-x2函数的奇偶性与单调性的综合题型三(2)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.变式探究1:若本例将定义域(-1,1)改为R,其他条件不变,则不等式f(t-1)
+f(2t)<0的解集是什么?变式探究2:本例中函数的值域是什么?方法技巧 (1)利用单调性和奇偶性解不等式的方法
①充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)②在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.
(2)具有奇偶性的函数,它的单调性特点
①若f(x)是奇函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相同的单调性.
②若f(x)是偶函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相反的单调性.(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明.抽象函数的奇偶性题型四【例4】 已知对于任意非零实数x,y,函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求f(1),f(-1);
(2)判断函数f(x)的奇偶性.解:(1)因为对任意非零实数x,y,函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),
取x=y=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.取x=y=-1,得f(1)=2f(-1),
所以f(-1)=0.
(2)对任意x≠0,取y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)+0=f(x),
即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.即时训练4-1:已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.解:(1)令a=b=0,则f(0×0)=0·f(0)+0·f(0)=0,
所以f(0)=0.令a=b=1,
则f(1×1)=f(1)+f(1),得f(1)=0.
(2)f(x)是奇函数,证明如下:
令a=b=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1)=0,
所以f(-1)=0.令a=-1,b=x,
则f(-x)=f[(-1)·x]=-f(x)+xf(-1)=-f(x).
故f(x)为奇函数.点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！