1.1.1 集合的含义与表示
1.下列各组对象中不能构成集合的是( C )
(A)正三角形的全体
(B)所有的无理数
(C)高一数学第一章的所有难题
(D)不等式2x+3>1的解
解析:选项C中“难题”并没有确定的标准,因此不满足集合元素的确定性,不能构成集合.因此选C.
2.已知集合A={x∈N|x<5},则下列关系式错误的是( A )
(A)5∈A (B)1.5?A
(C)-1?A (D)0∈A
解析:因为A={x∈N|x<5}={0,1,2,3,4},所以A不正确.故选A.
3.若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是( D )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)等腰三角形
解析:据集合中元素的互异性,可知a,b,c互不相等,故选D.
4.已知集合M={x∈N|8-x∈N},则M中元素的个数是( B )
(A)10 (B)9
(C)8 (D)无数个
解析:当x=0时,8-x=8∈N;当x=1时,8-1=7∈N;依次类推当x=0,1,2,
3,4,5,6,7,8都成立,所以M中元素的个数是9,故选B.
5.设A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x2+1,x∈A},则B的元素个数是( C )
(A)5 (B)4
(C)3 (D)无数个
解析:由题意,A={-2,-1,0,1,2},在集合B中,因为x∈A,所以y=x2+1∈{1,2,5},即B={1,2,5},所以集合B中元素个数为3.选C.
6.已知集合A={x|x2=x},那么( A )
(A)0∈A (B)1?A
(C){1}∈A (D){0,1}≠A
解析:A={x|x2=x},
解方程x2=x,
即x2-x=0,得x=0或1,
所以A={0,1}.
故选A.
7.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a等于( D )
(A) (B)
(C)0 (D)0或
解析:当a=0时,-3x+2=0,方程有一个解,当a≠0时,判别式Δ=(-3)2- 8a=0,解得a=.故选D.
8.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为( B )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:M={x|x=a+b,a∈A,b∈B}={5,6,7,8},四个元素,故选B.
9.用描述法表示二元一次方程x-y=0的解集为 .?
答案:{(x,y)|x-y=0}
10.已知集合A={0,1,x},B={x2,y,-1},若A=B,则y= .?
解析:若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同,
因为-1∈B,所以-1∈A,所以x=-1,
又因为0∈A,所以0∈B,所以y=0.
答案:0
11.设集合A={2,x,x2-30},若-5∈A,则x的值为 .?
解析:因为集合中有三个元素,且-5是集合A中的元素,因此-5=x,或者-5=x2-30,x=5,而x=-5舍去,不合题意,故填写x=5.
答案:5
12.集合{x|∈N,x∈N}用列举法表示为 .?
解析:因为x∈N,且∈N,
所以x=0时,=2满足条件;
所以x=1时,=3满足条件;
所以x=2时,=6满足条件;
当x≥3且x∈N时,?N.
所以集合{x|∈N,x∈N}用列举法表示为{0,1,2}.
答案:{0,1,2}
13.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1,a∈R.
(1)若-3∈A,试求实数a的值;
(2)若a∈A,试求实数a的值.
解:(1)因为-3∈A,
所以-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0.此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意.
若-3=2a-1,则a=-1.此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
(2)因为a∈A,
所以a=a-3或a=2a-1.
当a=a-3时,有0=-3,不成立;
当a=2a-1时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1,符合题意.综上知a=1.
14.用适当的方法表示下列集合:
(1)由x=2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合;
(2)抛物线y=x2-2x与x轴的公共点的集合;
(3)大于4的全体奇数构成的集合;
(4)平面直角坐标系内第二、四象限角平分线上的点.
解:(1)当0≤n≤2且n∈N时,n=0,1,2,
此时x=0,2,4,故该集合可用列举法{0,2,4};
或描述法{x|x=2n,0≤n≤2且n∈N}.
(2)当y=0时,由x2-2x=0知x=0或2,故可用列举法表示为{(0,0), (2,0)}.
(3)大于4的全体奇数构成的集合为{x|x=2n+1,n≥2且n∈Z}.
(4)平面直角坐标系中第二、四象限的角平分线,方程为y=-x,因此满足条件的集合为{(x,y)|y=-x}.
15.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}.
(1)若A中只有一个元素,求a的值并求出这个元素;
(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
名师点拨: 由于ax2+2x+1=0中的a可以为0,因此该方程不一定是二次方程.
解:(1)当a=0时,原方程为一元一次方程2x+1=0,满足题意,所求元素即为这个方程的根-;
当a≠0时,由题意知方程ax2+2x+1=0只有一个实根,所以Δ=4-4a=0,解得a=1,所求元素即为方程x2+2x+1=0的两相等实根-1.
所以a的值为0或1.
a=0时,A中元素为-;a=1时,A中元素为-1.
(2)当a≠0时,则由题意知方程ax2+2x+1=0只有一个实根或无实根,
所以Δ=4-4a≤0,解得a≥1.
当a=0,则原方程为一元一次方程.显然满足条件.
所以a的取值范围是{a|a≥1或a=0}.
16.定义集合运算:A※B={t|t=xy,x∈A,y∈B},设A={1,2},B={0,2},则集合A※B的所有元素之和为( A )
(A)6 (B)3 (C)2 (D)0
解析:由题意t=0,2,4;即A※B={0,2,4}.故选A.
17.已知集合A={x|x2+2 018x-a<0},若1?A,则实数a的取值范围为( A )
(A)a≤2 019 (B)a>2 019
(C)a≤2 018 (D)a>2 018
解析:由1?A可知12+2 018×1-a≥0,即a≤2 019.故选A.
18.若7∈{x2+3,x+5,2x+3},则x= .?
解析:由2x+3=7得,x=2,则x2+3=x+5=2x+3,不符合集中元素的互异性.当x2+3=7?x=±2,x=2舍去,将x=-2,代入得到{7,3,-1},满足集合的特点.
答案:-2
19.设S={x|x=m+n,m,n∈Z}.
(1)若a∈Z,则a是否是集合S中的元素?
(2)对S中的任意两个x1,x2,则x1+x2,x1·x2是否属于S?
解:(1)a是集合S的元素,因为a=a+0×∈S.
(2)不妨设x1=m+n,x2=p+q,m,n,p,q∈Z.
则x1+x2=(m+n)+(p+q)=(m+n)+(p+q),
因为m,n,p,q∈Z.
所以p+q∈Z,m+n∈Z.
所以x1+x2∈S,
x1·x2=(m+n)·(p+q)=(mp+2nq)+(mq+np),
因为m,n,p,q∈Z.
故mp+2nq∈Z,mq+np∈Z.
所以x1·x2∈S.
综上,x1+x2,x1·x2都属于S.
课件32张PPT。第一章 集合与函数概念
1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示课标要求:1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.了解集合中元素的确定性,无序性和互异性.3.掌握数学中一些常用的数集及其记法.4.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).5.通过实例能选择自然语言,图形语言,集合语言(列举法和描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 自主学习1.集合的概念
(1)一般地,我们把 统称为元素,把一些元素组成的 叫做集合.
(2)集合与元素的表示
通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.
通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.
(3)集合中元素的特性: ,互异性,无序性.
(4)集合相等:只要构成两个集合的元素是 的,我们就称这两个集合是相等的.知识探究研究对象总体确定性一样2.元素与集合的关系a∈Aa?A3.常用数集及其记法正整数集NQR4.列举法
列举法:把集合的元素 出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法.
5.描述法
用集合所含元素的 表示集合的方法.一一列举共同特征自我检测1.有下列各组对象:
①接近于0的数的全体;
②比较小的正整数的全体;
③平面直角坐标系上到原点O的距离等于1的点的全体;
④直角三角形的全体.
其中能构成集合的个数是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5A解析:①不能构成集合,“接近”的概念模糊,无明确标准.②不能构成集合,“比较小”也是不明确的,小的精确度没明确标准.③④均可构成集合,因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依.故选A.2.设集合P={0,1,2},则( )
(A)1∈P (B)2?P
(C)3∈P (D){0}∈P
3.已知单元素集合A={x|x2-(a+2)x+1=0},则a等于( )
(A)0 (B)-4
(C)-4或1 (D)-4或0AD解析:因为集合A={x|x2-(a+2)x+1=0}为单元素,所以Δ=(a+2)2-4=0,
解得a=-4或0,故选D.4.用符号∈或?填空.
(1)-2 N*;(2)π Q;(3)3.14 R.?答案:(1)? (2)? (3)∈5.(1)若集合{a,0,1}={c, ,-1},则a= ,b= .?
(2)用列举法表示集合{x|0≤x<5,n∈N}: .?
(3)用列举法表示集合{(x,y)|x+y=3,x∈N,y∈N}: .?(2)集合描述的是0到5间的自然数,因此x的值为0,1,2,3,4,列举法表示为{0,1,2,3,4}.
(3)集合表示直线x+y=3上横纵坐标为自然数的点,因此,列举法表示为{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.
答案:(1)-1 1 (2){0,1,2,3,4} (3){(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}题型一集合的概念【例1】 (1)下列说法正确的是( )
(A)0与{0}的意义相同
(B)高一(1)班个子比较高的同学可以形成一个集合
(C)集合A={(x,y)|3x+y=2,x∈N}是有限集
(D)方程x2+2x+1=0的解集只有一个元素 课堂探究(1)解析:0表示元素,{0}表示集合,所以意义不同,故A错误;B中元素不满足集合的确定性,故错误;C选项中x∈N表示无限集,故C错误;D中方程Δ=0,所以方程x2+2x+1=0的解集只有一个元素.故选D.(2)已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若2∈M,求实数x.(2)解:因为2∈M,所以3x2+3x-4=2或x2+x-4=2;
当3x2+3x-4=2时,x=-2,x=1,经检验:x=-2,x=1都不满足元素的互异性,所以舍去.
当x2+x-4=2时,x=-3,x=2,经检验:x=-3,x=2都符合题意.
所以x=-3,x=2.方法技巧 (1)判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准,给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的,如果是“确定无疑”的,就可构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.
(2)利用集合中元素的确定性和互异性可以求与集合中元素有关的参数值,求解时,先根据集合中元素的确定性解出参数的所有可能的值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.另外,在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.要把集合元素的三个特征牢记在心.象这类题目在这三个特征中用到最多的是互异性.即时训练1-1:下列所给的对象能构成集合的是( )
(A)2019届的优秀学生
(B)高一数学必修一课本上的所有难题
(C)遵义四中高一年级的所有男生
(D)比较接近1的全体正数解析:(1)对于A,B,D来说,分别含有“优秀”“难”“接近”字眼,它们的含义是模糊的、不明确的,所以不能构成集合.故选C.解析:(2)A选项中A集合中元素为无理数,而B中元素为有理数,故A≠ B;B选项中A集合中元素为实数,而B中元素为有序数对,故A≠B;D选项中A集合中元素为0,1,而B中元素为1,故A≠B.故选C.题型二集合中元素的性质【例2】 (10分)由a2,2-a,4所组成的集合记为A.
(1)是否存在实数a,使得A中只含有一个元素?若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.规范解答:(1)由题意知若A中只有一个元素,则这三个数相等,
即a2=2-a=4,
由2-a=4解得a=-2.
此时a2=4,所以符合条件.
故当a=-2时,A中只有一个元素.(2)若A中只含有两个元素,求a的值.规范解答:(2)由题意可知,这三个数中必有两个数相等.
当2-a=4时,a=-2,由(1)知此时集合A中只含一个元素,不合题意;
当a2=4,即a=2或a=-2(舍去)时,2-a=0,
故此时集合A中含有两个元素:0,4.
当a2=2-a,即a2+a-2=0,
由(a-1)(a+2)=0解得a=1或a=-2(舍去),
此时a2=2-a=1,
显然集合A中含有两个元素:1,4.
综上,当a=2或a=1时,集合A中有两个元素.误区警示 利用集合中元素的确定性和互异性可以求与集合中元素有关的参数值,求解时,先根据集合中元素的确定性解出参数的所有可能的值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.另外,在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.即时训练2-1:(1)已知集合A是由三个元素m,m2+1,1组成,且2∈A,则m的值为 .?解析:(1)因为2∈A,则m=2或m2+1=2.
所以m=2或m=±1.
当m=2时,集合中的元素为2,5,1,符合集合中元素的互异性.
当m=1时,不符合元素的互异性,舍去.
当m=-1时,集合中的元素为-1,2,1,符合集合中元素的互异性.
综上可知m=2或m=-1.
答案:(1)2或-1答案:(2){-4,0,4}用列举法表示集合题型三【例3】 用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合;解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}.
(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13, 17,19}.(5){14,16,18,20,…}.误区警示 用列举法表示集合时,必须注意如下几点:①元素与元素之间必须用“,”隔开;②集合的元素必须是明确的;③不必考虑元素出现的先后顺序;④集合的元素不能重复;⑤集合的元素可以表示任何事物,如人、物、地点、数等;⑥对含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素具有明显的规律,也可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+={1,2,3,…},所有正偶数组成的集合可写成{2,4, 6,8,…}.即时训练3-1:(1)用列举法表示下列集合:
①大于2且小于10的偶数组成的集合;
②满足2x-7<0的正整数解组成的集合;
③方程(x-1)(x+2)2=0的解组成的集合;
④二元方程x+y=6(x∈N*,y∈N)的解组成的集合.解:(1)①大于2且小于10的偶数组成的集合A={4,6,8}.
②由2x-7<0,得x< .又x∈N*,所以x=1,2,3.
所以满足2x-7<0的正整数解组成的集合为B={1,2,3}.
③由方程(x-1)(x+2)2=0,得x=1或x=-2,所以方程(x-1)(x+2)2=0的解组成的集合为C={1,-2}.
④因为x+y=6,且x∈N*,y∈N,
所以当x=1时,y=5;当x=2时,y=4;当x=3时,y=3;当x=4时,y=2;当x=5时,y=1;当x=6时,y=0.所以该集合为D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}.(3)由(2)知,5-x=±1,±2,±3,±6,因为x∈Z,所以B={-1,2,3,4,6,7,8,11}.
(4)由(3)知,x∈N,所以C={2,3,4,6,7,8,11}.题型四用描述法表示集合【例4】 用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合;
(2)不等式2x-3<5的解组成的集合;解:(1)函数y=-2x2+x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x,y) |y=-2x2+x}.
(2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}.(4)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的正的最小公倍数构成的集合是{x|x=12n, n∈N*}.(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合;
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合.误区警示 (1)使用描述法表示集合时,要明确集合中的代表元素是什么,元素满足什么条件.如果一个集合中所有元素均是数,那么这个集合称为数集.同样,如果一个集合中所有元素均是点,那么这个集合称为点集.形如{x|x满足的条件}的集合是数集,形如{(x,y)|x,y满足的条件}的集合是点集.
(2)使用描述法表示集合时,所有描述内容应写在花括号内,如本题中(4)若写为{x|x=12n},n∈N*,则是不正确的.
(3)不能出现未被说明的字母.
(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+ 1=0}.
(5)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数}等.解:(1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N*,
所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N*}.
(2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故x=3n+2, n∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.
(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横,纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,
故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.即时训练4-1:用描述法表示下列集合:
(1)正偶数集;
(2)被3除余2的正整数的集合;
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.点击进入 课时作业谢谢观赏！
