2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是( B )
(A)a∈α,A?a?A?α (B)a?α,A∈a?A∈α
(C)a∈α,A∈a?A?α (D)a∈α,A∈a?A∈α
解析:直线在平面内用“?”,点在直线上和点在平面内用“∈”,故选B.
2.若点A在直线b上,b在平面β内,则A,b,β之间的关系可以记作( B )
(A)A∈b,b∈β (B)A∈b,b?β
(C)A?b,b?β (D)A?b,b∈β
解析:点与直线是属于关系,直线与平面是包含关系,故选B.
3.下列图形中不一定是平面图形的是( D )
(A)三角形 (B)平行四边形
(C)梯形 (D)四边相等的四边形
解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选D.
4.空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( C )
(A)0 (B)1
(C)1或4 (D)无法确定
解析:四点可以确定平面的个数为1个;四点不共面,可以确定平面的个数是4,故空间不共线的四点,可以确定平面的个数是1或4个.
5.如图平面α∩平面β=直线l,点A,B∈α,点C∈β,C?l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定平面γ,则γ与β的交线必过( D )
(A)点A
(B)点B
(C)点C但不过点D
(D)点C和点D
解析:因为C∈β,D∈β,且C∈γ,D∈γ,
所以γ与β的交线必过点C和D.
6.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是( D )
解析:在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR,即在此三个图形中P,Q,R,S共面,故选D.
7.以下三个命题:①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若A,B,C,D共面,A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;③依次首尾相接的四条线段一定共面,其中正确命题的个数是( B )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①正确;对于②,当A,B,C三点共线,如图(1)所示,A,B,C,D,E不一定共面,故②不正确;对于③,如图(2)所示的AB,BC,CD,DA依次首尾相连,但四条线段不共面,故③不正确.
8.(2017·金华九校联考)长方体的12条棱所能确定的平面个数为( C )
(A)8 (B)10
(C)12 (D)14
解析:在长方体中由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面,共12个面.
9.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
(1)A?α,a?α ;?
(2)α∩β=a,P?α且P?β ;?
(3)a?α,a∩α=A ;?
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O .?
解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面.
答案:(1)C (2)D (3)A (4)B
10.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是 .?
解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故①错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故②错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故③错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故④错.
答案:0
11.已知α,β为不重合的平面,A,B,M,N为不同的点,a为直线,下列推理中错误的是 (填序号).?
①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β;
②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN;
③A∈α,A∈β?α∩β=A.
解析:由公理1知①正确;②中,易知M,N为平面α与β交线上的点,故②正确;易知③错误.
答案:③
12.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是 .?
①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.
解析:①O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内,即A,C,O,D四点共面;
②因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,
所以D,E,G,F不共面;
③由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面;
④连接GO2,交A1D1于H,
则H为A1D1的中点,连接HO1,
则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面.
答案:①③④
13.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F为所在棱的中点,求证:D1,E,F,B四点共面.
证明:如图,在BB1上取中点M,则BM=AE,连接EM,C1M,
因为ABCDA1B1C1D1是正方体,
所以ME∥AB且ME=AB,
所以ME∥C1D1且ME=C1D1,
所以四边形C1D1EM是平行四边形,
所以D1E∥C1M.
同理可得C1M∥FB且C1M=FB,
所以D1E∥FB且D1E=FB,
所以四边形EBFD1是平行四边形.
所以D1,E,F,B四点共面.
14.如图,空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD中点,F,G分别是BC,CD上的点,且==.
求证:三条直线EF,GH,AC交于一点.
证明:因为E,H分别是AB,AD中点,
所以EHBD,
因为==,
所以GF∥BD,GF=BD,
所以EH∥GF且EH≠GF,
所以四边形EFGH为梯形,
所以两腰EF,GH交于一点,记为P.
因为EF?平面ABC,所以P∈平面ABC,
同理P∈平面ADC,
所以P在平面ADC和平面ABC的交线AC上,
所以三条直线EF,GH,AC交于一点.
15.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点Q是棱DD1上的动点,判断过A,Q,B1三点的截面图形的形状.
解:由于点Q是线段DD1上的动点,故当点Q与点D1重合时,截面图形为等边三角形AB1D1,如图1所示.
当点Q与点D重合时,截面图形为矩形AB1C1D,如图2所示.
当点Q不与点D,D1重合时,截面图形为梯形AQRB1,如图3所示.
图1 图2 图3
16.下列各图是正方体,A,B,C,D分别是所在棱的中点,这四个点中共面的图有( C )
(A)①②③ (B)①③④ (C)①③ (D)①②④
解析:如图所示,正方体中A,B,C,D分别是所在棱的中点.
图①中,
因为AD∥EF,BC∥EF,
所以AD∥BC,
所以A,B,C,D四点共面.
图②中,
因为CD∥EF,EF∥MN,
所以A,B,C,D四点不共面.
图③中,
因为CD∥EF,EF∥AB,
所以CD∥AB,
所以A,B,C,D四点共面.
图④中,
因为CD∥EF,所以A,B,C,D四点不共面.
所以这四个点中共面的图有①③.故选C.
17.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与GH交于点M,则( A )
(A)M一定在直线AC上
(B)M一定在直线BD上
(C)M可能在AC上,也可能在BD上
(D)M既不在AC上,也不在BD上
解析:如图所示,HG∩EF=M,HG?平面ACD,EF?平面ACB,
所以M∈平面ACD,M∈平面ACB.
又平面ACD∩平面ACB=AC,
所以M∈AC.
故选A.
18.如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是 .?
①A,M,O三点共线;
②A,M,O,A1四点共面;
③A,O,C,M四点共面;
④B,B1,O,M四点共面.
解析:因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知①②③均正确.
答案:④
19.如图,正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1,P为BC中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S.当CQ=时,S的面积为 ,若S为五边形,则此时CQ的取值范围为 .?
解析:如图1所示,当CQ=时,截面S为等腰梯形,易求得上、下底边长分别为,,腰为,所以底边上的高为,所以S的面积为.
当CQ=时,可知截面是等腰梯形,当CQ=1时,易得截面是一个菱形.所以,只有答案: (,1)
20.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为2,M,N,P分别是A1B1,AD,BB1的中点.
(1)画出过M,N,P三点的平面与平面ABCD,平面BB1C1C的交线;
(2)设过M,N,P三点的平面与BC交于点Q,求PQ的长.
解:(1)如图,连接MP并延长交AB的延长线于R,连接NR交BC于点Q,则NQ就是过M,N,P三点的平面与平面ABCD的交线,连接PQ,则过M,N,P三点的平面与平面BB1C1C的交线是PQ.
(2)易知Rt△MPB1≌Rt△RPB,所以MB1=RB=1.
因为BQ∥AN,
所以△BQR∽△ANR,
所以==,可得BQ=.
在Rt△PBQ中,PQ===.
课件37张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面课标要求:1.正确理解平面的概念.2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用.自主学习知识探究1.平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是 的.
(2)平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成 ,且横边长等于其邻边长的 .如图(1).无限延展45° 2倍②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用 画出来.如图(2).
(3)平面的表示
图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面α.注意:“平面”二字不能省略.虚线2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达A∈lA?lA∈αA?αl?αl?αα∩β=l3.平面的基本性质两点不在一条直线上一个过该点 探究:(教师备用)把下列符号语言表示的图形画出来:α∩β=l,A∈l,
B∈α,D∈α且BD∥l.答案: 自我检测1.三条直线两两相交,可以确定平面的个数是( )
(A)1个 (B)1个或2个
(C)1个或3个 (D)3个
2.如图所示,用符号语言可表达为( )
(A)α∩β=m,n?α,m∩n=A
(B)α∩β=m,n∈α,m∩n=A
(C)α∩β=m,n?α,A?m,A?n
(D)α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈nCA3.三个平面将空间最多能分成( )
(A)6部分 (B)7部分
(C)8部分 (D)9部分
4.如果直线a?平面α,直线b?平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )
(A)l?α
(B)l?α
(C)l∩α=M
(D)l∩α=NCA解析:因为M∈l,N∈l,且M∈α,N∈α,所以l?α.5.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是 .?答案:点P在直线DE上题型一文字语言、图形语言、符号语言的转换【例1】 完成下列各题:
(1)将下列文字语言转换为符号语言.
①点A在平面α内,但不在平面β内;
②直线a经过平面α外一点M;
③直线l在平面α内,又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l).课堂探究解:(1)①A∈α,A?β.②M∈a,M?α.③α∩β=l.(2)将下列符号语言转换为图形语言.
①a?α,b∩α=A,A?a;
②α∩β=c,a?α,b?β,a∥c,b∩c=P.方法技巧 实现三种语言转换要注意
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”,直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成 虚线.即时训练1-1:(1)A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正确的是( )
(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α
(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α?α∩β=直线AB
(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线?α与β重合
(D)l∈α,n∈α,l∩n=A?l与n确定唯一平面
(2)如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解:(1)选D.(2)在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在②中,α∩β=l,
a?α,b?β,a∩l=P,b∩l=P.1-2:根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α,Q∈l,
Q∈α.解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1),(2),(3)所示.题型二点线共面【例2-1】 如图,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:法一 (纳入法)
因为l1∩l2=A,所以l1和l2在同一平面α内.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.
又因为l2?α,所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3,C∈l3,所以l3?α.
所以直线l1,l2,l3在同一平面内.法二 (重合法)
因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.
因为A∈l2,l2?α,所以A∈α.
因为A∈l2,l2?β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.【2-2】 如图,点A,B∈平面β,直线a?平面α,点M?a,M∈α,α∩β=l,试在直线a上找一点N,使MN与AB相交.解:在平面β内作直线AB交l于点P,连接MP,则MP与a的交点即是点N.方法技巧 证明点线共面问题的理论依据是公理2,常用方法有:
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.即时训练2-1:空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的平面数是( )
(A)1 (B)2
(C)3 (D)1或3解析:两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面,若不在一平面内,每两条直线可确定一个平面,共可确定3个平面,故选D.2-2:已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)AA1与CC1是否在同一平面内?解:(1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
因为AA1∥CC1,所以AA1与CC1可确定平面ACC1A1,
所以AA1与CC1在同一平面内.(2)点B,C1,D是否在同一平面内?
(3)画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线,平面ACD1与平面BDC1的交线.解:(2)因为点B,C1,D不共线,
所以B,C1,D可确定平面BC1D,
所以点B,C1,D在同一平面内.
(3)因为AC∩BD=O,D1C∩DC1=E,
所以O∈平面ACC1A1,且O∈平面BC1D.
又C1∈平面ACC1A1,且C1∈平面BC1D,
所以平面ACC1A1∩平面BC1D=OC1.
同理平面ACD1∩平面BDC1=OE.题型三多点共线、多线共点问题【例3-1】 (12分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.变式探究:若将题目条件中的“E,F分别为AB,AA1的中点”改成E,F分别为AB,
AA1上的点,且D1F∩CE=M,求证:M∈AD.证明:因为D1F∩CE=M,
且D1F?平面A1D1DA,
所以M∈平面A1D1DA,
同理M∈平面BCDA,
从而M在两个平面的交线上,
因为平面A1D1DA∩平面BCDA=AD,
所以M∈AD成立.方法技巧 (1)证明三线共点常用的方法:
先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.
(2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:
①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.
②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.【3-2】 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
(A)A,M,O三点共线
(B)A,M,O,A1不共面
(C)A,M,C,O不共面
(D)B,B1,O,M共面解析:连接A1C1,AC,则A1C1∥AC.
所以A1,C1,C,A四点共面.
所以A1C?平面ACC1A1.
因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,
所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
所以A,M,O三点共线.故选A.即时训练3-1:如图,△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=Q,BC∩α=R.求证:P,Q,R三点共线.解:因为AB∩α=P,
所以P∈AB,P∈α.
又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.
由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,
同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,
所以P,Q,R三点共线.点击进入 课时作业谢谢观赏！
