2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系
1.下列命题中正确的个数是( B )
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α ②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 ④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:对于①,当直线l与α相交时,直线l上有无数个点不在平面α内,故①不正确;对于②,直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面,故②不正确:对于③,当两条平行直线中的一条与一个平面平行时,另一条与这个平面可能平行,也有可能在这个平面内,故③不正确;对于④,由线面平行的定义可知④正确.
2.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( D )
(A)不存在
(B)有1条
(C)有2条
(D)有无数条
解析:由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故 选D.
3.已知直线a∥平面α,直线b?α,则a与b的位置关系是( D )
(A)相交 (B)平行
(C)异面 (D)平行或异面
解析:因为直线a∥平面α,直线b?α,
所以a与b的位置关系是平行或异面,故选D.
4.以下说法正确的是( D )
(A)若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交
(B)直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交
(C)若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行
(D)若直线c平行直线a,直线b⊥a,则b⊥c
解析:若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a?α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若直线c平行直线a,直线b⊥a,则b⊥c,故D正确,故选D.
5.梯形ABCD中,AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( B )
(A)平行 (B)平行或异面
(C)平行或相交 (D)异面或相交
解析:如图所示,CD与平面α不能有交点,若有,则一定在直线AB上,从而矛盾.故选B.
6.给出以下说法:
①三个平面最多可以把空间分成八部分;
②若直线a?平面α,直线b?平面β,则a与b相交?α与β相交;
③若α∩β=l,直线a?平面α,直线b?平面β,且a∩b=P,则P∈l;
④若n条直线中任意两条共面,则这n条直线共面.
其中正确的说法是( D )
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①③
解析:①显然正确;对于②,α与β相交推不出a与b相交,a与b也可能平行,故②错误;③显然正确;对于④,举反例:正方体的四条侧棱中任意两条都共面,但这四条侧棱却不共面,故④错误.所以正确的说法是①③.故选D.
7.在空间中,下列命题不正确的是( D )
(A)若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点
(B)若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线
(C)若点A既在平面α内,又在平面β内,则α与β相交于b,且A在直线b上
(D)任意两条直线都能确定一个平面
解析:若两条直线是异面直线,则不能确定一个平面,D不正确.
8.若平面α∥β,直线a?α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中( D )
(A)不一定存在与a平行的直线
(B)只有两条直线与a平行
(C)存在无数条直线与a平行
(D)存在唯一一条与a平行的直线
解析:因为α∥β,B∈β,所以B?α.
因为a?α,所以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,
设γ与β交过点B的直线为b,则a∥b.
因为a,B在同一平面γ内.
所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的直线.
9.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是 .?
解析:如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设平面ABCD为α,A1B1为a,则a∥α,当分别取EF,BC1,BC为b时,均满足a与b异面,于是b∥α,b∩α=B,b?α(其中E,F为棱的中点).
答案:b与α平行或相交或b在α内
10.如图的直观图,用符号语言表述为(1) ,?
(2) .?
答案:(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A.
(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M.
11.已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a∥b;
②若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b是异面直线;
③若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b一定不相交;
④若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b平行或异面;
⑤若两个平面α∩β=b,a?α,则a与β一定相交.
其中正确的序号是 .(将你认为正确的序号都填上)?
解析:①错.a与b也可能异面.
②错.a与b也可能平行.
③对.因为α∥β,
所以α与β无公共点.
又因为a?α,b?β,所以a与b无公共点.
④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.
⑤错.a与β也可能平行.
答案:③④
12.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是 (填序号).?
①平面ABC必平行于α;
②平面ABC必与α相交;
③平面ABC必不垂直于α;
④存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内.
解析:平面α外不共线且到平面α距离都相等的三点可以在平面α的同侧,也可以在平面α的异侧,若A,B,C在平面α的同侧,则平面ABC必平行于平面α;若A,B,C在平面α的异侧,则平面ABC必与平面α 相交且交线是△ABC的一条中位线所在的直线,故①②③均错误,④ 正确.
答案:④
13.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为B1C1,A1D1的中点.
求证:平面ABB1A1与平面CDFE相交.
证明:在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为B1C1的中点,
所以EC与B1B不平行,则延长CE与BB1必相交于一点H,
所以H∈EC,H∈B1B.
又知B1B?平面ABB1A1,CE?平面CDFE,
所以H∈平面ABB1A1,H∈平面CDFE,
故平面ABB1A1与平面CDFE相交.
14.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.
解:a∥b,a∥β,理由:
由α∩γ=a知a?α且a?γ,
由β∩γ=b知b?β且b?γ,
因为α∥β,a?α,b?β,
所以a,b无公共点.
又因为a?γ,且b?γ,所以a∥b.
因为α∥β,所以α与β无公共点,
又a?α,所以a与β无公共点,所以a∥β.
15.将一个三棱柱的各面延展成平面后,这些平面可将空间分成几 部分?
解:将三棱柱的三个侧面延展成平面后,可将空间分成7部分,然后将三棱柱的两底面延展成平面,那么每一个平面将这7部分一分为二,故共可分成3×7=21部分.
16.过直线l外两点作与直线l平行的平面,可以作( D )
(A)1个 (B)1个或无数个
(C)0个或无数个 (D)0个、1个或无数个
解析:当两点所在的直线与直线l平行时,可以作无数个平面与l平行;当两点所在的直线与l异面时,仅可以作一个平面与直线l平行;当两点所在的直线与直线l相交时,则不能作与直线l平行的平面.故过直线l外两点可以作0个、1个或无数个平面与直线l平行.故选D.
17.如图,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,则平面ABC与平面β的交线是( C )
(A)直线AC
(B)直线AB
(C)直线CD
(D)直线BC
解析:因为D∈l,l?β,所以D∈β.
又C∈β,所以CD?β.同理CD?平面ABC,
所以平面ABC∩平面β=CD,故选C.
18.已知平面α和β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线b∥a,则α与β的位置关系是 (填“平行”或“相交”).?
解析:假设α∩β=l,平面α内与l相交的直线为a,a∩l=A,对于β内的任意直线b,若b过点A,则a与b相交,若b不过点A,则a与b异面,即β内不存在直线b∥a,故α∥β.
答案:平行
19.已知异面直线a,b外的一点M,那么过点M可以作 个平面与直线a,b都平行.?
解析:过点M分别作直线a,b的平行线,若其中一条平行线与已知直线a或b相交,则满足题意的平面不存在.否则过点M的两条相交直线确定的平面与a,b都平行.
答案:0或1
20.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A?l,B?l,C?l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.
解:平面ABC与β的交线与l相交.
证明:因为AB与l不平行,且AB?α,l?α,
所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.
又因为AB?平面ABC,l?β,所以P∈平面ABC,P∈β.
所以点P是平面ABC与β的一个公共点,
而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.
即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,
所以平面ABC与β的交线与l相交.
课件23张PPT。2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系课标要求:1.会判断直线与平面、平面与平面的位置关系.2.会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面的位置关系.自主学习知识探究1.直线与平面的位置关系a?α无数个a∩α=A一个a∥α无探究1:(教师备用)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?
答案:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.
2.直线与平面位置关系的两种分类
(1)按公共点个数分类3.平面与平面的位置关系α∥β无公共点α∩β=l一条直线上探究2:(教师备用)分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系?
答案:分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点,故它们的位置关系是平行或异面.自我检测1.若直线l与平面α有公共点,则直线l与平面α的位置关系为( )
(A)l?α
(B)l∥α
(C)l?α或l与α相交
(D)l与α相交
2.棱柱的任意两个侧面的位置关系是( )
(A)相交 (B)平行
(C)平行或异面 (D)平行或相交CD3.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )
(A)α内的所有直线均与a异面
(B)α内不存在与a平行的直线
(C)α内的直线均与a相交
(D)直线a与平面α有公共点D解析:直线a不平行于平面α,即直线a在α内或a与α相交,当a?α时,A,B均不正确,当a与α相交时,α内存在直线与a异面,故C不正确.4.直线a?平面α,直线b?平面α,则a,b的位置关系是 .?答案:平行、相交或异面5.下列命题:①若直线与平面没有公共点,则直线与平面平行;②若直线l在平面α外,则l∥α;③若a?α,α∥β,则β内有无数条直线与直线a平行,其中是真命题的序号是 .?解析:由直线与平面平行的定义可知①正确;由直线与平面的位置关系知②不正确;由平面与平面之间的位置关系可知③正确.
答案:①③题型一直线与平面的位置关系【例1-1】 如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正方体,试判定BC1与六个面的位置关系.
课堂探究解:因为B∈面BCC1B1,C1∈面BCC1B1,
所以BC1?面BCC1B1.
又因为BC1与面ADD1A1无公共点,
所以BC1∥面ADD1A1.
因为C1∈面CDD1C1,B?面CDD1C1,
所以BC1与面CDD1C1相交,
同理BC1与面ABB1A相交,
BC1与面ABCD相交,BC1与面A1B1C1D1相交.【1-2】 给出以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面):
①若a∥α,b∥α,则a∥b;
②若a∥b,b∥α,则a∥α;
③若a∥α,b?α,则a∥b;
④若α的同侧有两点A,B到平面α的距离相等,则AB∥α.
其中正确命题的个数是( )
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3解析:如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,A′B′∥平面ABCD,B′C′∥平面ABCD,但A′B′与B′C′相交,故①错误;
AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD,但AB?平面ABCD,故②错误;
A′B′∥平面ABCD,BC?平面ABCD,但A′B′与BC异面,故③错误.
④显然正确.误区警示 解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析.即时训练1-1:下列说法中,正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条也和这个平面相交 ②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行 ③若直线a在平面α外,则a∥α.
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3解析:由直线与平面的位置关系可知①正确;这条直线可能在经过另一条直线的平面内,所以②不正确,对于③包括两种情形,直线a∥α或直线a与α相交,故③不正确.故选B.证明:如图所示,因为a∥b,
所以a和b确定平面β.
因为a∩α=P,
所以平面α和平面β相交于过点P的直线l.
因为在平面β内l与两条平行直线a,b中的一条直线a相交,
所以l必与b相交,
设b∩l=Q,则Q∈α.
又b不在平面α内,
故直线b和平面α相交,相交于Q.1-2:已知:直线a∥直线b,a∩平面α=P,求证:直线b与平面α相交.题型二平面与平面的位置关系【例2-1】 α,β是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是( )
(A)平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β
(B)平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β
(C)若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β
(D)平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β解析:对于A,α与β可能相交或平行,错;对于Β,α与β可能相交或平行,错;对于C,α与β可能相交或平行,错;D符合面面平行的定义,正确.选D.解:(1)两个平面有两种情形
①当两个平面平行时,将空间分成三部分(如图(1));
②当两个平面相交时,将空间分成四部分(如图(2)).【2-2】 一个平面将空间分成两部分,那么两个平面呢?三个平面呢?(2)三个平面有五种情形
①当三个平面互相平行时,将空间分成四部分(如图(3));
②当两个平面平行,第三个平面与它们相交时,将空间分成六部分(如图(4));
③当三个平面相交于同一条直线时,将空间分成六部分(如图(5));
④当三个平面相交于三条直线,且三条交线相交于一点时,将空间分成八部分(如图(6));
⑤当三个平面相交于三条直线,且三条交线相互平行时,将空间分成七部分(如图(7)).【2-3】 一个三棱锥向各面延展成平面后,这些平面将空间分成几部分?答案:1+4+4+6=15部分方法技巧 判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.常借助长方体模型进行判断.即时训练2-1:平面α与平面β平行且a?α,下列四种说法中,①a与β内的所有直线都平行;②a与β平行;③a与β内的无数条直线平行,其中正确的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:因为α∥β,a?α,所以a与β无公共点,所以a∥β,故②正确,所以a与β内的所有直线都没有公共点,所以a与β内的直线平行或异面,故①不正确,③正确.故选C.2-2:已知平面α∥平面β,若P,Q是α,β之间的两个点,则( )
(A)过P,Q的平面一定与α,β都相交
(B)过P,Q有且仅有一个平面与α,β都平行
(C)过P,Q的平面不一定与α,β都平行
(D)过P,Q可作无数个平面与α,β都平行解析:当过P,Q的直线与α,β相交时,过P,Q的平面一定与平面α,β都相交,排除B,D;当过P,Q的直线与α,β都平行时,可以作唯一的一个平面与α,β都平行,排除A,故选C.点击进入 课时作业谢谢观赏！
