2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1.如图,ABCDA1B1C1D1是正方体,E,F,G,H,M,N分别是所在棱的中点,则下列结论正确的是( B )
(A)GH和MN是平行直线;GH和EF是相交直线
(B)GH和MN是平行直线;MN和EF是相交直线
(C)GH和MN是相交直线;GH和EF是异面直线
(D)GH和EF是异面直线;MN和EF也是异面直线
解析:因为GH∥A1B,而A1B∥D1C,所以GH∥D1C,又MN∥D1C,所以GH∥MN,由异面直线的判定定理可知,GH与EF异面,EF与MN为相交直线,故 选B.
2.在三棱锥PABC中,PC与AB所成的角为70°,E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,则∠FEG等于( D )
(A)20° (B)70°
(C)110° (D)70°或110°
解析:因为E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,所以EF∥AB,EG∥PC,所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,又AB与PC所成的角为70°,所以∠FEG为70°或110°.
3.下列正方体或正四面体中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( D )
解析:由平行公理可得A中PR∥QS,B中PS∥QR,C中PQ∥RS,因此选项A,B,C中P,Q,R,S四点均共面.D中过Q,R,S三点有唯一的一个平面,且P不在此平面内,因此P,Q,R,S不共面,故选D.
4.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( B )
(A)空间四边形
(B)矩形
(C)菱形
(D)正方形
解析:如图,E,F,G,H为空间四边形ABCD各边中点,则EFAC,HGAC.
所以四边形EFGH为平行四边形.
又FG∥BD,AC⊥BD,所以EF⊥FG,
所以四边形EFGH为矩形,故选B.
5.如图在三棱锥ABCD中,E,F是棱AD上互异的两点,G,H是棱BC上互异的两点,由图可知
①AB与CD互为异面直线;②FH分别与DC,DB互为异面直线;③EG与FH互为异面直线;④EG与AB互为异面直线.
其中叙述正确的是( A )
(A)①③ (B)②④
(C)①②④ (D)①②③④
解析:①AB与CD互为异面直线,正确.
②当点F与点D重合时,FH分别与DC,DB相交,不异面.
③EG与FH总是异面直线,正确.
④当点E与点A重合时,EG与AB不异面.选A.
6.如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中不正确的是( D )
(A)M,N,P,Q四点共面
(B)∠QME=∠CBD
(C)△BCD∽△MEQ
(D)四边形MNPQ为梯形
解析:由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.
对于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;
对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;
对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,
所以△BCD∽△MEQ,故C说法正确.
由三角形的中位线定理,知MQBD,NPBD,所以MQNP,
所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.故选D.
7.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG与IJ所成角的度数为( B )
(A)90° (B)60°
(C)45° (D)0°
解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJ∥AD,HG∥DF,
所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又∠ADF=60°,
所以HG与IJ所成的角为60°.
8.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为H,则以下命题中,错误的命题是( D )
(A)H是△A1BD的垂心
(B)AH垂直平面CB1D1
(C)AH的延长线经过点C1
(D)直线AH和BB1所成角为45°
解析:AH与BB1所成角和AC1与AA1所成角相等,即∠A1AC1,在Rt△A1AC1中,AA1=1,A1C1=,AC1=,故∠A1AC1≠45°.其他都正确,故选D.
9.已知a,b,c是空间中的三条相互不重合的直线,给出下列说法:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
③若a?平面α,b?平面β,则a,b一定是异面直线;
④若a,b与c成等角,则a∥b.
其中正确的是 (填序号).?
解析:①正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可能相交、平行,也可能异面,故②不正确;当a?平面α,b?平面β时,a与b可能平行、相交或异面,故③不正确;当a,b与c成等角时,a与b可能相交、平行,也可能异面,故④不正确.
答案:①
10.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,则异面直线DE与AB所成的角为 .?
解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.
答案:45°
11.如图所示,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.
(1)直线AB1和CC1所成的角为 ;?
(2)直线AB1和EF所成的角为 .?
解析:(1)因为BB1∥CC1,
所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.
(2)连接B1C,易得EF∥B1C,
所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.
连接AC,则△AB1C为正三角形,
所以∠AB1C=60°.
答案:(1)45° (2)60°
12.如图,在四面体ABCD中,AC=BD=a,对棱AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为 .?
解析:取BC的中点E,连接EN,EM,
因为M为AB的中点,
所以ME∥AC,且ME=AC=,同理得,EN∥BD,且EN=,
所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角,在△MEN中,EM=EN,
若∠MEN=60°,
则△MEN为等边三角形,所以MN=.
若∠MEN=120°,可得MN=a.
答案:或a
13.如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)如果AC=BD,求证:四边形EFGH是菱形.
证明:(1)在△ABD中,因为E,H分别为AB,AD的中点,
所以EH∥BD且EH=BD.
同理在△BCD中,FG∥BD且FG=BD.
所以EH∥FG且EH=FG,
所以四边形EFGH为平行四边形.
(2)同(1)可得,EF=HG=AC,而BD=AC,
所以EH=HG=GF=FE,
所以四边形EFGH是菱形.
14.如图,正方体ABCDEFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
(1)BE与CG所成的角;
(2)FO与BD所成的角.
解:(1)如图,因为CG∥BF,
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,
又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH,因为HD??EA,EA??FB,所以HD??FB,所以四边形HFBD为平行四边形,
所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA,AF,易得FH=HA=AF,
所以△AFH为等边三角形,
又依题意知O为AH的中点,
所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角是30°.
15.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心,G是CC1的中点,设GF,C1E与AB所成的角分别为α,β,求
sin2α+sin2β的值.
解:取正方形B1C1CB的中心为点O,连接OC1,OE.
因为E是正方形ADD1A1的中心,
所以由正方体的性质易知OE∥AB,
所以∠C1EO为异面直线C1E与AB所成的角,即∠C1EO=β.
取BC的中点H,连接GH,FH.
因为F是正方形ABCD的中心,
所以FH∥AB,
所以∠GFH为异面直线GF与AB所成的角,即∠GFH=α.
设正方体的棱长为2,
在△GFH中,GH=,FH=1,GF=,
所以GH2+FH2=GF2,即∠FHG=90°,
则sin α=.
在△C1EO中,OE=2,C1E=,OC1=,
所以OE2+O=C1E2,即∠EOC1=90°,
则sin β==,所以sin2α+sin2β=1.
16.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( D )
(A)(0°,60°) (B)[0°,60°)
(C)[0°,60°] (D)(0°,60°]
解析:连接CD1,因为CD1∥BA1,
所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角,即θ=∠D1CP.
当点P从D1向A运动时,∠D1CP从0°增大到60°,但当点P与D1重合时,CP∥BA1,与CP与BA1为异面直线矛盾,
所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(0°,60°].故选D.
17.已知两异面直线a,b所成的角为17°,过空间一点P作直线l,使得l与a,b的夹角均为9°,那么这样的直线l有( B )
(A)3条 (B)2条 (C)1条 (D)0条
解析:可将a,b通过平移相交于点P,如图所示,则∠BPE=17°,
∠EPD=163°,则∠BPE的角平分线与直线a,b所成的角均为8.5°,∠EPD的角平分线与直线a,b所成的角均为81.5°.
因为8.5°<9°<81.5°,
所以与直线a,b所成的角均为9°的直线l有且只有2条(直线c,d),故选B.
18.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为 .?
解析:还原成正方体如图所示,
可知①正确.
②AB∥CM,不正确.
③正确.④MN⊥CD.不正确.
答案:①③
19.如图,M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:
①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;
③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.
其中真命题是 .(填序号)?
解析:①中,由过M与AB的平面与B1C1有且只有一个交点,设交点Q,则MQ与A1B1有且只有一个交点,且MQ即为满足题意的直线,故正确;②中,因为AB,B1C1是异面直线,故通过平移可以共面,过平面外一点只有一条直线与平面垂直,故也正确;③通过图象可知过M点有无数个平面与直线AB,B1C1都相交,故错;④中,结合命题②可知也是正 确的.
答案:①②④
20.如图,E,F,G,H分别是三棱锥ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ.
(1)若λ=μ,判断四边形EFGH的形状;
(2)若λ≠μ,判断四边形EFGH的形状;
(3)若λ=μ=,且EG⊥HF,求的值.
解:(1)因为==λ,
所以EH∥BD,且EH=BD.①
又因为==μ.
所以FG∥BD,且FG=BD.②
又λ=μ,所以EH??FG(公理4).
因此λ=μ时,四边形EFGH为平行四边形.
(2)若λ≠μ,由①②,知EH∥FG,但EH≠FG,
因此λ≠μ时,四边形EFGH为梯形.
(3)因为λ=μ,
所以四边形EFGH为平行四边形.
又因为EG⊥HF,
所以四边形EFGH为菱形.
所以FG=HG.
所以AC=(λ+1)HG=HG=FG,
又BD=FG=3FG,
所以=.
课件37张PPT。2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课标要求:1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角.3.能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题.自主学习知识探究1.异面直线
(1)定义:不同在 的两条直线叫做异面直线.任何一个平面内(2)画法:2.空间两条直线的位置关系有且只有一个公共点探究1:(教师备用)若直线a?α,b?β,a和b一定异面吗?
答案:不一定.当a与b不同在任何一个平面内,a,b才异面.3.平行线的传递性
公理4:平行于同一条直线的两条直线 .
符号表示:a∥b,b∥c?a∥c.互相平行4.定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 .
5.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的 (或 )叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°.
(3)如果两条异面直线a,b所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作a⊥b.
探究2:(教师备用)若两条直线都与第三条直线垂直,这两条直线一定平 行吗?
答案:不一定.例如墙角处的三条直线两两垂直,但是没有任何两条直线是互相平行的.相等或互补锐角直角自我检测1.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )
(A)异面或平行
(B)异面或相交
(C)异面
(D)相交、平行或异面D解析:借助长方体模型进行判断选D.2.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )
(A)OB∥O1B1且方向相同 (B)OB∥O1B1
(C)OB与O1B1不平行 (D)OB与O1B1不一定平行
3.下列四个结论中假命题的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4DB4.正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BC1和CD1所成的角是( )
(A)30° (B)45°
(C)60° (D)90°
5.如图所示,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图有 .(填序号)?答案:②④C题型一 空间位置关系的判断【例1-1】 已知空间四边形ABCD,AB≠AC,AE是△ABC中BC边上的高,DF是△BCD中BC边上的中线,求证:AE和DF是异面直线.课堂探究解:假设AE和DF不是异面直线,则AE和DF共面,设过AE,DF的平面为β,若E,F重合,则E为BC的中点,所以AB=AC,与AB≠AC相矛盾.若E,F不重合,因为B∈EF,C∈EF,而EF?β,所以B∈β,C∈β,又A∈β,D∈β,所以A,B,C,D四点共面,这与题设ABCD为空间四边形矛盾,综上可知,假设不成立,所以AE与DF为异面直线.【1-2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:(1)AB与CC1;(2)A1B1与DC;(3)A1C与D1B;(4)DC与BD1;(5)D1E与CF.解:(1)因为C∈平面ABCD,AB?平面ABCD,
又C?AB,C1?平面ABCD,所以AB与CC1异面.
(2)因为A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.
(3)因为A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,
所以A1D1∥BC,
则A1,B,C,D1在同一平面内.
所以A1C与D1B相交.
(4)因为B∈平面ABCD,DC?平面ABCD,
又B?DC,D1?平面ABCD,所以DC与BD1异面.(5)CF与DA的延长线交于G,连接D1G,
因为AF∥DC,F为AB的中点,所以A为DG的中点.
又AE∥DD1,所以GD1过AA1的中点.
所以直线D1E与CF相交.方法技巧 判定两直线异面的常用方法
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;
(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.即时训练1-1:正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB异面且垂直的棱有( )
(A)8条 (B)6条
(C)4条 (D)3条解析:如图所示,一共有12条棱,其中有三条与AB平行,有四条与AB相交,还剩四条,这四条是CC1,DD1,A1D1,B1C1都是与AB异面且垂直.故选C.题型二公理4及等角定理的应用【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分别是AB,BC,A′B′,B′C′的中点,求证:EE′∥FF′.证明:因为E,E′分别是AB,A′B′的中点,
所以BE∥B′E′,且BE=B′E′,
所以四边形EBB′E′是平行四边形.
所以EE′∥BB′,
同理可证FF′∥BB′,
所以EE′∥FF′.变式探究1:在本例中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形.变式探究2:将本例变为已知E,E′分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱AD,A′D′的中点,求证:∠BEC=∠B′E′C′.证明:如图所示,连接EE′.
因为E,E′分别是AD,A′D′的中点,
所以AE∥A′E′,且AE=A′E′.
所以四边形AEE′A′是平行四边形.
所以AA′∥EE′,且AA′=EE′.
又因为AA′∥BB′,且AA′=BB′,
所以EE′∥BB′,且EE′=BB′.
所以四边形BEE′B′是平行四边形.所以BE∥B′E′.
同理可证CE∥C′E′.
又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同,
所以∠BEC=∠B′E′C′.方法技巧 证明两直线平行的常用方法:(1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用公理4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.答案:平行2-2:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,AB的中点,M,N分别为B1C1,C1D1的中点.
求证:(1)MC∥A1E,A1F∥CN;(2)∠EA1F=∠NCM.证明:(2)由(1)知A1F∥CN,
MC∥A1E,
又A1E,A1F与CM,CN的方向分别相反,
所以∠EA1F=∠NCM.题型三求异面直线所成的角【例3-1】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.解:如图所示,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,
则OG∥B1D,EF∥A1C1,
所以∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角).
因为GA1=GC1,O为A1C1的中点,
所以GO⊥A1C1.
所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.方法技巧 求异面直线所成角的一般步骤:(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ即为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求.即时训练3-1:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1与BD1所成角的正弦值为 ;?(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中与侧面的对角线AD1成60°角的面对角线有
条.?解析:(2)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,
所以△AD1B1,△AD1C均为等边三角形.
所以AD1与BD,AD1与DC1,AD1与A1B,AD1与DC1,AD1与D1B1,AD1与AB1,AD1与AC,AD1与D1C均成60°角,共8条.
答案:(2)8于是∠EMH=60°,
则∠EMF=2∠EMH=120°.
所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.点击进入 课时作业谢谢观赏！
