2.2.3 直线与平面平行的性质
1.下列命题正确的是( D )
(A)若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a∥直线b
(B)若直线a∥平面α,直线a与直线b相交,则直线b与平面α相交
(C)若直线a∥平面α,直线a∥直线b,则直线b∥平面α
(D)若直线a∥平面α,则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点
解析:A中,直线a与直线b也可能异面、相交,所以不正确;B中,直线b也可能与平面α平行,所以不正确;C中,直线b也可能在平面α内,所以不正确;根据直线与平面平行的定义知D正确,故选D.
2.若一条直线和一个平面平行,夹在直线和平面间的两条线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是( D )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)平行、相交或异面
3.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,则b与α的位置关系是( D )
(A)b?平面α
(B)b∥α或b?α
(C)b∥平面α
(D)b与平面α相交或b∥平面α
解析:b与a相交,可确定一个平面,记为β,若β与α平行,则b∥α;若β与α不平行,则b与α相交.
4.如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,DE与AB不重合,则DE与AB的位置关系是( B )
(A)异面 (B)平行
(C)相交 (D)以上均有可能
解析:因为ABCA1B1C1为三棱柱,所以A1B1∥平面ABC,又平面A1B1ED∩平面ABC=DE,所以A1B1∥DE,又A1B1∥AB,所以DE∥AB.
5.若直线a∥平面α,A?α,且直线a与点A位于α的两侧,B,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,则EF的值为( B )
(A)3 (B) (C) (D)
解析:因为BC∥α,且平面ABC∩α=EF,
所以EF∥BC,所以=,
即=,所以EF=.
6.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,过A1,B,C1的平面与平面ABC相交于l,则( A )
(A)l∥AC
(B)l与AC相交
(C)l与AC异面
(D)以上均不对
解析:因为ABCA1B1C1为三棱柱,所以A1C1∥AC,
所以A1C1∥平面ABC,又平面A1C1B∩平面ABC=l,
所以A1C1∥l,所以AC∥l.
7.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有( C )
(A)0条 (B)1条 (C)2条 (D)1条或2条
解析:如图,四边形EFGH为平行四边形,则EF∥GH,得EF∥平面BCD,得EF∥CD,CD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH,故选C.
8.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AM=2MA1,BN=2NB1,过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC,AC于点E,F,则( B )
(A)MF∥NE
(B)四边形MNEF为梯形
(C)四边形MNEF为平行四边形
(D)A1B1∥NE
解析:因为在平行四边形AA1B1B中,AM=2MA1,BN=2NB1,
所以AM??BN,所以MN??AB.
又MN?平面ABC,AB?平面ABC,所以MN∥平面ABC,
又MN?平面MNEF,平面MNEF∩平面ABC=EF,
所以MN∥EF,
所以EF∥AB,显然在△ABC中,EF≠AB,
所以EF≠MN,
所以四边形MNEF为梯形.故选B.
9.如图所示,四边形ABCD是矩形,P?平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E,交DP于F.则四边形BCFE的形状为 .?
解析:因为BC∥平面PAD,平面BCFE∩平面PAD=EF,
所以EF∥BC,又EF≠AD,AD=BC,
所以四边形BCFE为梯形.
答案:梯形
10.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1 cm,过AC作平行于对角线BD1的截面,则截面面积为 .?
解析:如图,截面ACE∥BD1,平面BDD1∩平面ACE=EF,其中F为AC与BD的交点,为BD的中点,所以E为DD1的中点,易求S△ACE= cm2.
答案: cm2
11.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列结论中正确的为 .(填序号)?
①AC⊥BD;
②AC∥截面PQMN;
③AC=BD;
④异面直线PM与BD所成角为45°.
解析:因为MN∥PQ,
所以PQ∥平面ACD.
又平面ACD∩平面ABC=AC,
所以PQ∥AC,从而AC∥截面PQMN,②正确;
同理可得MQ∥BD,故AC⊥BD,①正确;
又MQ∥BD,∠PMQ=45°,
所以异面直线PM与BD所成的角为45°,故④正确;
根据已知条件无法得到AC,BD长度之间的关系.
答案:①②④
12.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD, DA上的点,当BD平行于平面EFGH时,下面结论正确的是( D )
(A)E,F,G,H一定是各边的中点
(B)G,H一定是CD,DA的中点
(C)BE∶EA=DF∶FC,且DH∶HA=DG∶GC
(D)AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC
解析:空间四边形中只要保证邻边上的线段对应成比例,即有EH∥BD,FG∥BD,所以BD平行于平面EFGH,并不需要E,F,G,H是各边中点.故选D.
13.如图,E,F,G,H分别为空间四边形ABCD的边AB,AD,BC,CD上的点,且EF∥GH,求证:EF∥BD.
证明:因为EF∥GH,GH?平面BCD,EF?平面BCD,所以EF∥平面BCD,又EF?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,
所以EF∥BD.
14.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点P∈BB1(P不与B,B1重合).PA∩A1B=M,PC∩BC1=N.
求证:MN∥平面ABCD.
证明:如图,连接AC,A1C1,
在长方体ABCDA1B1C1D1中,
AA1∥CC1,且AA1=CC1,
所以四边形ACC1A1是平行四边形.
所以AC∥A1C1.
因为AC?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,
所以AC∥平面A1BC1.
因为AC?平面PAC,平面A1BC1∩平面PAC=MN,所以AC∥MN.
因为MN?平面ABCD,AC?平面ABCD,
所以MN∥平面ABCD.
15.如图所示,四边形EFGH为空间四面体ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.
(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH;
(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.
(1)证明:因为四边形EFGH为平行四边形,
所以EF∥HG.
因为HG?平面ABD,EF?平面ABD,
所以EF∥平面ABD.
因为EF?平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,
所以EF∥AB,
所以AB∥平面EFGH.
同理,可证CD∥平面EFGH.
(2)解:设EF=x(0则===1-.
从而FG=6-x,
所以四边形EFGH的周长
l=2(x+6-x)=12-x.
又0则有8即四边形EFGH的周长的取值范围是(8,12).
16.如图,四棱锥SABCD的所有棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为 .?
解析:因为AB=BC=CD=AD=2,
所以四边形ABCD为菱形,
所以CD∥AB.
又CD?平面SAB,AB?平面SAB,
所以CD∥平面SAB.
又CD?平面CDEF,平面CDEF∩平面SAB=EF,
所以CD∥EF,
所以EF∥AB.
又因为E为SA的中点,所以EF=AB=1.
又因为△SAD和△SBC都是等边三角形,
所以DE=CF=2×sin 60°=,
所以四边形DEFC的周长为CD+DE+EF+FC=2++1+=3+2.
答案:3+2
17.如图,四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是四边上的点,它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,则当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB= .?
解析:因为AC∥平面EFGH,所以EF∥AC,HG∥AC.
所以EF=HG=·m.
同理,EH=FG=·n.
因为四边形EFGH是菱形,
所以·m=·n,
所以AE∶EB=m∶n.
答案:m∶n
18.如图,要在空间四边形的支撑架上安装一块矩形太阳能吸光板,矩形EFGH的四个顶点分别在空间四面体ABCD的边上,已知AC=a,BD=b,则EFGH在什么位置时,吸光板的吸光量最大?
解:设EH=x,EF=y.
在矩形EFGH中,有EH∥FG.
又EH?平面BCD,FG?平面BCD,
所以EH∥平面BCD.
又EH?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,
所以EH∥BD,
同理可证得EF∥AC,
所以=,=.
两式相加,得+=1.
矩形EFGH的面积S=xy.
将+=1代入S=xy,
得S=-x2+ax(0由此可得,当x==时,S有最大值,所以当E,F,G,H依次为AB,BC,CD,DA的中点时,吸光板的吸光量最大.
课件24张PPT。2.2.3 直线与平面平行的性质课标要求:1.理解线面平行的性质定理,并能应用定理解决有关问题.2.会用文字、符号、图形三种语言准确地描述线面平行的性质定理,并能证明一些空间位置关系的简单命题.自主学习知识探究1.直线与平面平行的性质定理平行a∥b2.直线与平面平行的性质定理的作用
(1)作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时,可以证明其中一条直线平行于一个平面,另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线,从而得到两条直线平行.
(2)作为画一条直线与已知直线平行的依据.如果一条直线平行于一个平面,要在平面内画一条直线与已知直线平行,可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交,交线就是所要画的直线.
探究:(教师备用)若直线a∥平面α,直线a与平面α内的直线有怎样的位置关系?
答案:平行或异面.自我检测1.若直线l∥平面α,直线m?α,则l与m的位置关系是( )
(A)l∥m (B)l与m异面
(C)l与m相交 (D)l与m没有公共点
2.若l∥α,l?β,α∩β=m,则l与m的位置关系是( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)相交或异面
3.在三棱锥A-BCD中,E,F,M,N分别为AB,AD,BC,CD上的点,EF∥MN,则EF与BD( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)以上皆有可能DAA4.有以下三个命题:①如果一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②过直线外一点,有且只有一个平面和已知直线平行;③如果直线l∥平面α,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内,其中正确命题的个数为( )
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3C5.平面四边形ABCD中,AB?α,CD∥α,AB≠CD,则四边形ABCD的形状是 .?答案:梯形题型一直线与平面平行的性质定理的理解【例1-1】 如图所示,在三棱锥S-ABC中,E,F分别为SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则( )
(A)EF与BC相交 (B)EF∥BC
(C)EF与BC异面 (D)以上均有可能课堂探究B解析:因为EF∥平面ABC,EF?平面SBC,且平面SBC∩平面ABC=BC,
所以EF∥BC.故选B.【1-2】 已知直线m,n及平面α,β有下列关系:
①m,n?β,②n?α,③m∥α,④m∥n.
现把其中一些关系看作条件,另一些看作结论,组成一个真命题是 .?解析:结合线面平行的性质定理,可知①②③?④,
结合线面平行的判定定理,可知①②④?③.
答案:①②③?④或①②④?③方法技巧 解决本类问题的技巧是
(1)明确性质定理的关键条件.
(2)充分考虑各种可能的情况.
(3)特殊的情况注意举反例来说明.即时训练1-1:若直线a∥平面α,α内相交于一点的所有直线中与直线a平行的( )
(A)至少有一条 (B)至多有一条
(C)有且仅有一条 (D)没有解析:由题知,C正确.1-2:下列说法中正确的是( )
①一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点;③过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行;④如果直线l和平面α平行,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.
(A)①②③④
(B)①②③
(C)②③④
(D)①②④解析:①根据线面平行的性质定理可知:直线与平面平行,则与平面内的无数条直线平行,正确.
②根据线面平行的定义,直线与平面平行,则直线与平面内的任何直线无公共点,正确.
③可以作无数个平面与直线平行,故③错误.
④根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β,则平面α与平面β的交线与直线l平行,且在平面α内,故④正确,所以选D.题型二直线与平面平行的性质定理的应用【例2-1】 (12分)如图,AB,CD为异面直线,且AB∥α,CD∥α,AC,BD分别交α于M,N两点,求证AM∶MC=BN∶ND.变式探究:若本例中的条件不变,BC与平面α相交于点Q,试判断MPNQ的形状.解:因为AB∥α且平面ABC∩α=MQ,
所以MQ∥AB,同理PN∥AB,
所以PN∥MQ,
同理:MP∥QN,
所以四边形MPQN为平行四边形.【2-2】 如图所示,设AB,CD为夹在两个平行平面α,β之间的线段,且直线AB,CD为异面直线,M,P分别为AB,CD的中点.求证:直线MP∥平面β.证明:过点A作AE∥CD交平面β于点E,连接DE,BE.因为AE∥CD,
所以AE,CD确定一个平面,设为γ,
则α∩γ=AC,β∩γ=DE.
又α∥β,所以AC∥DE(面面平行的性质定理).
取AE的中点N,连接NP,MN.
因为M,P分别为AB,CD的中点,所以NP∥DE,MN∥BE.
又NP?β,DE?β,MN?β,BE?β,所以NP∥β,MN∥β.
因为NP∩MN=N,所以平面MNP∥β,
因为MP?平面MNP,
所以直线MP∥平面β.易错警示 (1)欲证线线平行可转化为线面平行解决,常与判定定理结合使用.
(2)性质定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常利用中位线性质.即时训练2-1:如图,在△ABC中,BC=9,BC∥平面α,且平面ABC∩α=MN,若△ABC的重心G在MN上,则MN= .?答案:62-2:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,CC1的中点,M在线段AB上,若DE∥平面A1MC,试确定点M的位置.点击进入 课时作业谢谢观赏！
