2.2.1 直线与平面平行的判定
1.下列命题中正确的个数是( B )
①若直线a不在α内,则a∥α ②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α ③若直线l与平面α平行,则l与α内的任意一条直线都平行 ④若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点 ⑤平行于同一平面的两直线可以相交
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①a?α,则a∥α或a与α相交,故①不正确;②当l与α相交时,满足条件,但得不出l∥α,故②不正确;③若l∥α,则l与α内的无数条直线异面,并非都平行,故③错误;若l∥α,则l与α内的任何直线都没有公共点,故④正确;若a∥α,b∥α,则a与b可以相交,也可以平行或异面,故⑤正确.
2.设b是一条直线,α是一个平面,则由下列条件不能得出b∥α的是( A )
(A)b与α内一条直线平行
(B)b与α内所有直线都没有公共点
(C)b与α无公共点
(D)b不在α内,且与α内的一条直线平行
解析:根据线面平行的定义可知,当b与α内所有直线没有公共点,或b与平面α无公共点时,b∥α,故B,C可推出b∥α;由线面平行的判定定理可知,D项可推出b∥α;只有A,当b与α内的一条直线平行时,b可能在α内,也可能在α外,故不能推出b∥α.
3.平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于D,E,且=,如图所示,则BC与平面α的关系是( A )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)BC?α
解析:因为=,所以ED∥BC,又DE?α,BC?α,
所以BC∥α.
4.已知P是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1上不与D,D1重合的任意一点,则在正方体的12条棱中,与平面ABP平行的直线条数是( A )
(A)3 (B)4
(C)5 (D)6
解析:由图可知,DC,D1C1,A1B1与AB平行,所以DC,D1C1,A1B1与平面ABP平行.故选A.
5.若线段AB,BC,CD不共面,M,N,P分别为其中点,则直线BD与平面MNP的位置关系是( A )
(A)平行 (B)直线在平面内
(C)相交 (D)以上均有可能
解析:因为N,P分别为BC,CD的中点,
所以NP∥BD,
因为NP?平面MNP,BD?平面MNP,
所以BD∥平面MNP.
故选A.
6.如图,下列正三棱柱ABCA1B1C1中,若M,N,P分别为其所在棱的中点,则不能得出AB∥平面MNP的是( C )
解析:在A,B中,易知AB∥A1B1∥MN,
所以AB∥平面MNP;
在D中,易知AB∥PN,
所以AB∥平面MNP.
故选C.
7.若M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点,MN与过直线BC的平面β的位置关系是( C )
(A)MN∥β
(B)MN与β相交或MN?β
(C)MN∥β或MN?β
(D)MN∥β或MN与β相交或MN?β
解析:MN是△ABC的中位线,所以MN∥BC,因为平面β过直线BC,若平面β过直线MN,则MN?β.若平面β不过直线MN,则MN∥β,故选C.
8.能保证直线a与平面α平行的条件是( D )
(A)b?α,a∥b
(B)b?α,c∥α,a∥b,a∥c
(C)b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BD
(D)a?α,b?α,a∥b
解析:A错误,若b?α,a∥b,则a∥α或a?α;B错误,若b?α,c∥α,a∥b,a∥c,则a∥α或a?α;C错误,若满足此条件,则a∥α或a?α或a与α相交;D正确,恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件.故选D.
9.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号)?
解析:①设MP中点为O,连接NO.易得AB∥NO,
又AB?平面MNP,
所以AB∥平面MNP.
②若下底面中心为O,易知NO∥AB,NO?平面MNP,
所以AB与平面MNP不平行.
③易知AB∥MP,又AB?平面MNP,
所以AB∥平面MNP.
④易知存在一直线MC∥AB,
且MC?平面MNP,
所以AB与平面MNP不平行.
答案:①③
10.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC与平面DEF的位置关系是 .?
解析:因为AE∶EB=CF∶FB=1∶3,
所以EF∥AC.
又因为AC?平面DEF,EF?平面DEF,
所以AC∥平面DEF.
答案:平行
11.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别在AB1,BC1上,且AM=BN,那么①AC∥MN,②MN∥平面ABCD;③MN∥平面A1B1C1D1.其中正确的是 .?
解析:如图,过M,N分别作MG∥BB1,NH∥BB1,分别交AB,BC于G,H.
所以==,
==,
又ABCDA1B1C1D1为正方体,
所以AB1=BC1,BB1=CC1,AB=BC,
又AM=BN,
所以MG=NH,AG=BH.
故当G,H不是AB,BC的中点时,GH与AC不平行,
故①不正确,
由MG??NH,知四边形GHNM为平行四边形,
所以MN∥GH,
所以MN∥平面ABCD,
同理可得MN∥平面A1B1C1D1.
答案:②③
12.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 .?
解析:如图,过M作MH⊥AB交AB于H,连接NH,
则MH∥BB1,NH∥BC,得平面MHN∥平面BB1C1C,
所以MN∥平面BB1C1C.
答案:平行
13.如图,已知OA,OB,OC交于点O,ADOB,E,F分别为BC,OC的中点.求证:DE∥平面AOC.
证明:在△OBC中,
因为E,F分别为BC,OC的中点,
所以FEOB,
又因为ADOB,所以FEAD.
所以四边形ADEF是平行四边形.
所以DE∥AF.
又因为AF?平面AOC,DE?平面AOC.
所以DE∥平面AOC.
14.已知如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=AC,M是CC1的中点,N是BC的中点,点P在直线A1B1上.若P为A1B1中点,
(1)求证:NP∥平面ACC1A1;
(2)证明:PN⊥AM.
证明:(1)取AC中点为Q,连接A1Q,NQ,在△ABC中,NQ??AB,又A1P??AB,所以NQ??A1P,即四边形A1PNQ是平行四边形,
故NP∥A1Q,
又NP?平面ACC1A1,A1Q?平面ACC1A1,所以,NP∥平面ACC1A1.
(2)在正方形ACC1A1中,Rt△AA1Q≌Rt△CAM,
所以∠MAC与∠A1QA互余,故AM⊥A1Q.
由(1)知,PN∥A1Q,
所以PN⊥AM.
15.如图所示,四边形ABCD,四边形ADEF都是正方形,M∈BD,N∈AE,且BM=AN.
求证:MN∥平面CDE.
证明:法一 如图所示,作MK⊥CD于K,NH⊥DE于H,
连接KH.
因为四边形ABCD和四边形ADEF都是正方形,
所以BD=AE,
又因为BM=AN,
所以MD=NE,
又因为∠MDK=∠NED=45°,
∠MKD=∠NHE=90°,
所以△MDK≌△NEH,
所以MK=NH.
又因为MK∥AD∥NH,
所以四边形MNHK是平行四边形,
所以MN∥KH.
又因为MN?平面CDE,KH?平面CDE,
所以MN∥平面CDE.
法二 如图所示,连接AM并延长交CD所在直线于G,连接GE.
因为AB∥CD,所以=,
因为四边形ABCD和四边形ADEF都是正方形,
所以BD=AE,
又BM=AN,所以MD=NE,
所以=,所以MN∥GE,
又因为GE?平面CDE,MN?平面CDE.
所以MN∥平面CDE.
16.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则( B )
(A)BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形
(B)EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
(C)HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形
(D)EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形
解析:如图,由题意,得EF∥BD,且EF=BD,HG∥BD,且HG=BD,所以EF∥HG,且EF≠HG,
所以四边形EFGH是梯形,
又EF∥BD,EF?平面BCD,BD?平面BCD,
所以EF∥平面BCD,分析知EH与平面ADC不平行.
故选B.
17.如图,在透明材料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌注一定量的水,固定容器底面一边BC于桌面上,再将容器倾斜,根据倾斜度的不同,有下列结论:
(1)水的部分始终呈棱柱形;
(2)水面四边形EFGH的面积不会改变;
(3)棱A1D1始终与水面EFGH平行;
(4)当容器倾斜如图所示时,BE·BF 是定值.
其中所有正确结论的序号是 .?
解析:(1)正确.
(2)错误,随着倾斜度的不同EFGH的面积会随之改变.
(3)正确,BC∥平面EFGH,
在棱柱ABCDA1B1C1D1中,
BC∥A1D1,A1D1?平面EFGH,
所以A1D1∥平面EFGH.
(4)正确,水量不变时,即棱柱EFBHGC体积是定值,
该棱柱的高BC不变,=BE×BF×BC,
所以BE·BF是定值.
答案:(1)(3)(4)
18.正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分别在AD1,BC上移动,始终保持MN∥平面DCC1D1,设BN=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是 .?
解析:过点M作ME⊥AD,垂足为点E,
则ME=2AE=2BN.
因为MN∥平面DCC1D1,
所以MN==,
即函数y=f(x)的解析式为f(x)=(0≤x≤1),其图象过点(0,1),在区间[0,1]上呈下凹状单调递增.
答案:③
19.如图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点M在AD1上移动,点N在BD上移动,D1M=DN=a(0
(1)证明:对任意a∈(0,),总有MN∥平面DCC1D1;
(2)当a为何值时,MN最短?
(1)证明:作MP∥AD,交DD1于点P,作NQ∥BC,交DC于点Q,连接PQ.
由题意得MP∥NQ,且MP=NQ,
则四边形MNQP为平行四边形,所以MN∥PQ.
又PQ?平面DCC1D1,MN?平面DCC1D1,
所以MN∥平面DCC1D1,
即对任意a∈(0,),总有MN∥平面DCC1D1.
(2)解:由(1)知四边形MNQP为平行四边形,
所以MN=PQ.
由已知D1M=DN=a,DD1=AD=DC=1,
所以AD1=BD=,
所以=,=,即D1P=DQ=.
所以MN=PQ=
=
=(0故当a=时,MN的长有最小值,为.
即当M,N分别为AD1,BD的中点时,MN最短,此时MN的长为.
课件23张PPT。2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定课标要求:1.理解直线与平面平行的判定定理.2.能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间位置关系的命题.自主学习知识探究直线与平面平行的判定定理平行a?α a∥b 探究:(教师备用)若a∥b,a∥α,则b∥α,这个推理正确吗?
答案:不正确.b可能在α内.自我检测1.若A是直线m外一点,过A且与m平行的平面( )
(A)存在无数个 (B)不存在
(C)存在但只有一个 (D)只存在两个
2.下列命题,能得出直线m与平面α平行的是( )
(A)直线m与平面α内的两条直线平行
(B)直线m 与平面α内无数条直线平行
(C)直线m与平面α没有公共点
(D)直线m与平面α内的一条直线平行AC3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中与平面ADD1A1平行的直线是 ,与直线AB平行的平面是 .?答案:BC,CC1,C1B1,BB1 平面A1B1C1D1,平面CDD1C14.设m,n是平面α外的两条直线,给出下列三个论断:①m∥n;②m∥α;③n∥α,以其中两个为条件,余下一个为结论,可以构成三个命题,请你写出你认为正确的一个命题是 .?答案:①②?③题型一线面平行的判定定理的理解【例1-1】 下列说法中正确的是( )
(A)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α
(B)若直线a在平面α外,则a∥α
(C)若直线a∥b,b?α,则a∥α
(D)若直线a∥b,b?α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线课堂探究解析:选项A中,直线l?α时l与α不平行;
直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况,所以选项B不正确;
选项C中直线a可能在平面α内;选项D正确.故选D.【1-2】 一条直线l上有相异三个点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
(A)l∥α (B)l⊥α
(C)l与α相交但不垂直 (D)l∥α或l?α解析:l∥α时,直线l上任意一点到α的距离都相等.l?α时,直线l上所有的点到α的距离都是0.l⊥α时,直线l上有两个点到α的距离相等.l与α斜交时,也只能有两点到α的距离相等.故选D.即时训练1-1:有以下三种说法,其中正确的是( )
①若直线a与平面α相交,则α内不存在与a平行的直线;②若直线b∥平面α,直线a与直线b垂直,则直线a不可能与α平行;③直线a,b满足a∥α,且b?α,则a平行于经过b的任何平面.
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①解析:①正确.②错误,反例如图(1)所示.③错误,反例如图(2)所示,a,b可能在同一平面内.故选D.题型二直线与平面平行的判定【例2-1】 (12分)如图,M,N分别是底面为矩形的四棱锥P-ABCD的棱AB,PC的中点,求证:MN∥平面PAD.方法技巧 利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行,关键是寻找平面内与已知直线平行的直线,常利用平行四边形的性质、三角形与梯形中位线性质、平行线截线段成比例定理、平行公理等.变式探究:改变本例中的设题背景,如在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.证明:如图,连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.
在三棱台DEF-ABC中,
AB=2DE,G为AC的中点,
可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形.
即M为CD的中点,
又H为BC的中点,所以HM∥BD.
又HM?平面FGH,BD?平面FGH,
所以BD∥平面FGH.【2-2】 已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的点,且AP=DQ,如图所示.求证:PQ∥平面CBE.即时训练2-1:如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D为C1B的中点,P为AB的中点,证明DP∥平面ACC1A1.证明:连接AC1,
因为P为AB的中点,D为C1B的中点,
所以DP∥AC1,
又因为AC1?平面ACC1A1,DP?平面ACC1A1,
所以DP∥平面ACC1A1.
2-2:一个多面体的三视图及直观图如图所示,M,N分别是A1B,B1C1的中点,求证:MN∥平面ACC1A1.证明:由三视图可知该多面体是侧棱长为a,底面为等腰直角三角形的直三棱柱,AC=BC=a,∠ACB=90°.
连接AB1,AC1,由平行四边形的性质可知AB1与A1B相交于点M.
在△B1AC1中,
因为M,N分别是AB1,B1C1的中点,
所以MN∥AC1,
又MN?平面ACC1A1,AC1?平面ACC1A1,
所以MN∥平面ACC1A1.点击进入 课时作业谢谢观赏！