2.2.4 平面与平面平行的性质
1.下列命题中不正确的是( A )
(A)两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平 面β
(B)平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β
(C)一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行
(D)分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面 直线
解析:选项A中直线a可能与β平行,也可能在β内,故选项A不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行,所以选项C正确;依据平面与平面平行的性质定理可知,选项B,D也正确,故选A.
2.已知两条直线l,m,α,β是两个平面,下列命题正确的是( D )
(A)若α∥β,l∥α,则l∥β
(B)若l∥α,m∥α,则l∥m
(C)若α∥β,l∥α,m∥β,则l∥m
(D)若α∥β,l?α,则l∥β
解析:A,l可能在β内,B,l与m可能相交、平行、异面,C,与B一样的结论.D正确.
3.已知平面α∥平面β,直线a?α,直线b?β,则①a∥b;②a,b为异面直线;③a,b一定不相交;④a∥b或a,b异面,其中正确的是( C )
(A)①② (B)②③
(C)③④ (D)①②③④
4.下列说法中正确的是( B )
(A)夹在两个平行平面间的相等线段必平行
(B)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等
(C)两个平面分别与第三个平面相交,若两条交线平行,则这两个平面平行
(D)平行于同一条直线的两个平面平行
解析:对于A,两线段可能平行,可能相交,也可能异面.对于B,夹在两个平行平面间的平行线段可确定一个平面,此平面与两平行平面的交线互相平行,故可得平行线段与交线所构成的四边形为平行四边形,可知两平行线段长度相等.对于C,两个平面还可能相交,对于D,两个平面还可能相交.故选B.
5.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的( C )
(A)一个侧面平行 (B)底面平行
(C)仅一条棱平行 (D)某两条相对的棱都平行
解析:当平面α∥某一平面时,截面为三角形,故选项A,B错.
当平面α∥SA时,如图截面是四边形DEFG,
又SA?平面SAB,
平面SAB∩α=DG,
所以SA∥DG,同理SA∥EF,
所以DG∥EF,同理当α∥BC时,GF∥DE,
因为截面是梯形,
所以四边形DEFG中仅有一组对边平行,
故α仅与一条棱平行.
故选C.
6.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点.当点A,B分别在α,β内运动时,所有的动点C( D )
(A)不共面
(B)当且仅当A,B在两条相交直线上移动时才共面
(C)当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面
(D)不论A,B如何移动都共面
解析:根据面面平行的性质知,不论点A,B如何运动,动点C均在过C且与α,β都平行的平面上.故选D.
7.如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,点E为线段AB上异于A,B的点,点F为线段CD上异于C,D的点,且EF∥DA,沿EF将平面EBCF折起,如图2,则下列结论正确的是( B )
(A)AB∥CD
(B)AB∥平面DFC
(C)A,B,C,D四点共面
(D)CE与DF所成的角为直角
解析:在题图2中,因为BE∥CF,BE?平面DFC,CF?平面DFC,
所以BE∥平面DFC.
同理AE∥平面DFC.
又BE∩AE=E,
所以平面ABE∥平面DFC.
又AB?平面ABE,
所以AB∥平面DFC.故选B.
8.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A′,B′,C′,若=,则等于( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:由平面α∥平面ABC,得AB∥A′B′,BC∥B′C′,AC∥A′C′,由等角定理得∠ABC=∠A′B′C′,∠BCA=∠B′C′A′,∠CAB=∠C′A′B′,从而△ABC∽△A′B′C′,△PAB∽△PA′B′,
=()2=()2=,
所以=,
又PA=PA′+A′A,
所以=,故选D.
9.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中过BD1的平面,分别与AA1,CC1交于M,N,则四边形BND1M的形状为 .?
解析:由题意知,平面A1ABB1∥平面C1CDD1,
所以MB∥D1N,同理,D1M∥BN.
所以四边形BND1M是平行四边形.
答案:平行四边形
10.如图,过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点B1,D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l,则l与B1D1的位置关系为 .?
解析:如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,
平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且
平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,
平面B1D1P∩平面ABCD=l,则l∥BD,
所以l∥B1D1.
答案:平行
11.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过P,M,N的平面与棱CD交于Q,则PQ=
.?
解析:由线面平行的性质知MN∥PQ∥AC,
所以=,又AC=a,
所以PQ=a.
答案:a
12.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,侧面对角线AB1,BC1上分别有一点E,F,且B1E=C1F,则直线EF与平面ABCD的位置关系是 .?
解析:过E作EG∥AB交BB1于点G,连接GF,则
=,
因为B1E=C1F,B1A=C1B,
所以=.
所以FG∥B1C1∥BC.
又因为EG∩FG=G,AB∩BC=B,
所以平面EFG∥平面ABCD.
而EF在平面EFG中,
所以EF∥平面ABCD.
答案:平行
13.如图所示,已知正三棱柱(底面是正三角形,侧面是矩形)ABCA′B′C′中,D是AA′上的点,E是B′C′的中点,且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置,并给出证明.
解:D点为AA′的中点.证明如下:
如图,取BC的中点F,连接AF,EF,
设EF与BC′交于点O,连接DO,
易证A′E∥AF,A′E=AF.
易知四边形A′EFA为平行四边形.
因为A′E∥平面DBC′,A′E?平面A′EFA,
且平面DBC′∩平面A′EFA=DO,
所以A′E∥DO.因为EC′∥BF,则EC′=BF,所以EO=OF.
在平行四边形A′EFA中,因为O是EF的中点,
所以D点为AA′的中点.
14.如图(1),在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥PABCD,如图(2).
求证:在四棱锥PABCD中,AP∥平面EFG.
证明:在四棱锥PABCD中,
因为E,F分别为PC,PD的中点,所以EF∥CD.
因为AB∥CD,所以EF∥AB.
因为EF?平面PAB,AB?平面PAB,
所以EF∥平面PAB.
同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,
所以平面EFG∥平面PAB.
因为AP?平面PAB,
所以AP∥平面EFG.
15.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,过其对角线BD1的平面分别与AA1,CC1相交于点E,F,求截面四边形BED1F面积的最小值.
解:如图,连接BD,B1D1,由平面与平面平行的性质定理可证BF∥D1E,BE∥D1F.
所以四边形BED1F是平行四边形.
过E点作EH⊥BD1于H.
因为=2·=BD1·EH=EH·a,
所以要求四边形BED1F面积的最小值,转化为求EH的最小值.
因为AA1∥平面BDD1B1,
所以当且仅当EH为直线AA1到平面BDD1B1的距离时,EH最小,
易得EHmin=a.
所以的最小值为a2.
16.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点M是平面A1B1C1D1内一点,则BM∥平面ACD1,且tan∠DMD1的最大值为( D )
(A) (B)1
(C)2 (D)
解析:如图所示,
正方体ABCDA1B1C1D1中,连接A1C1,B1D1,交于点O1,
连接BD,交AC于点O,连接BO1,OD1,
则A1A∥C1C,且A1A=C1C,
所以四边形ACC1A1是平行四边形,
所以AC∥A1C1.
又AC?平面ACD1,且A1C1?平面ACD1,
所以A1C1∥平面ACD1;
同理BO1∥D1O,BO1∥平面ACD1,
所以平面ACD1∥平面BA1C1,
所以当M在直线A1C1上时,都满足BM∥ACD1;
所以tan∠DMD1===是最大值.
17.如图,在三棱柱ABCA′B′C′中,点E,F,H,K分别为AC′,CB′,A′B,B′C′的中点,G为△ABC的重心,从K,H,G,B′中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为( C )
(A)K (B)H (C)G (D)B′
解析:若K点为P,因为P(K)F∥C′C,
所以P(K)F∥C′C∥A′A∥B′B,
则棱柱至少有三条棱与平面PEF平行,故A不正确,
若H点为P,
因为平面P(H)EF∥平面ABC,
所以AC∥平面P(H)EF,AB∥平面P(H)EF,BC∥平面P(H)EF,
则棱柱至少有三条棱与平面PEF平行,故B不正确,
若G点为P,
则棱柱中仅有AB,A′B′与平面PEF平行,故C正确,
若B′点为P,
因为棱柱中只有AB∥平面PEF,A′B′在平面PEF内,故D不正确.
故选C.
18.如图,已知平面α∥β∥γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C与D,E,F.已知AB=6,=,则AC= .?
解析:由题意可知=?AC=·AB=×6=15.
答案:15
19.已知四棱锥PABCD的底面四边形ABCD的对边互不平行,现用一平面α去截此四棱锥,且要使截面是平行四边形,则这样的平面α( C )
(A)有且只有一个 (B)有四个
(C)有无数个 (D)不存在
解析:由侧面PAD与侧面PBC相交,侧面PAB与侧面PCD相交,
设两组相交平面的交线分别为m,n,
由m,n决定的平面为β,
作α与β平行且与四条侧棱相交,交点分别为A1,B1,C1,D1,
则由面面平行的性质定理得:
A1B1∥m∥D1C1,
A1D1∥n∥B1C1,
从而得截面必为平行四边形.
因为平面α可以上下移动,则这样的平面α有无数多个.
故选C.
20.如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD;
(2)已知PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求PD的长;
(3)若点P在α与β之间,试在(2)的条件下求CD的长.
(1)证明:因为PB∩PD=P,
所以直线PB和PD确定一个平面,记为γ,
则α∩γ=AC,β∩γ=BD.
又α∥β,
所以AC∥BD.
解:(2)由(1)得AC∥BD,
所以=,即=.
所以CD=(cm),
所以PD=PC+CD=(cm).
(3)同(1)得AC∥BD,
所以△PAC∽△PBD.
所以=,即=.
所以=,
所以PD=(cm).
所以CD=PC+PD=3+=(cm).
课件28张PPT。2.2.4 平面与平面平行的性质课标要求:1.理解平面与平面平行的性质定理及含义.2.能运用面面平行的性质定理,证明一些空间平行关系的简单命题.自主学习知识探究1.平面与平面平行的性质定理平行a∥b探究:(教师备用)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?
答案:平行.
2.两个平面平行的其他性质
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面;
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等;
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行;
(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例;
(5)如果两个平面分别平行第三个平面,那么这两个平面互相平行.自我检测1.设有不同的直线a,b和不同的平面α,β,γ,给出下列三个命题,其中正确的命题有( )
①若a∥α,b∥α,则a∥b ②若a∥α,a∥β,则α∥β ③若α∥β,
a?α,则a∥β
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
2.已知平面α∥平面β,若两条直线m,n分别在平面α,β内,则m,n的关系不可能是( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)平行或异面BB3.过平面外一点作一平面的平行线有 条.?答案:无数4.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若PA′∶AA′=2∶5,则△A′B′C′与△ABC的面积比为 .?答案:4∶495.已知a,b表示两条不同直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题:
①若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β;
②若a,b相交且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β;
③若a?α,a∥β,α∩β=b,则a∥b.
其中正确命题的序号是 .?解析:①若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,α,β有可能相交,所以不正确.
②正确,因为在空间确定一个点O,过O作a,b的平行线a′,b′.过a′,b′的平面为γ,所以a∥a′,b∥b′,
因为a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,所以γ∥α,γ∥β,所以α∥β.
③正确,若a?α,a∥β,α∩β=b,根据线面平行的性质定理,可得a∥b.
答案:②③题型一平面与平面平行的性质定理的应用【例1】 (12分)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF.求证:NF∥CM.课堂探究规范解答:因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,又DE?平面ABC,AB?平面ABC,所以DE∥平面ABC,………………………………4分
同理EF∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC,…………8分
又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF∥MC.……………………………………………………………12分变式探究:将本例中的三棱锥改为长方体,如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为 .?解析:因为平面ABFE∥平面CDHG,平面EFGH与两平面分别交于EF,GH.由面面平行的性质定理得EF∥GH,同理可得EH∥FG,所以四边形EFGH为平行四边形.
答案:平行四边形方法技巧 面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面.即时训练1-1:已知如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.若平面BC1D∥平面AB1D1,求 的值.1-2:如图,平面四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外,且AA′,BB′,CC′,DD′互相平行.
求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:在?A′B′C′D′中,A′B′∥C′D′,
因为A′B′?平面C′D′DC,C′D′?平面C′D′DC,
所以A′B′∥平面C′D′DC.
同理A′A∥平面C′D′DC.
又A′A∩A′B′=A′,
所以平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
因为平面ABCD∩平面A′B′BA=AB,
平面ABCD∩平面C′D′DC=CD,
所以AB∥CD.同理AD∥BC.
所以四边形ABCD是平行四边形.题型二平行关系的综合应用【例2-1】 已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB,CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=34.
(1)若点S在平面α,β之间,则SC= ;?答案:(1)16 (2)若点S不在平面,α,β之间,则SC= .?答案:(2)272【2-2】 (12分)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;规范解答:(1)法一 如图,连接AC,CD1.
因为P,Q分别是AD1,AC的中点,
所以PQ∥CD1 .………………………………1分
又PQ?平面DCC1D1, …………………………2分
CD1?平面DCC1D1, …………………………3分
所以PQ∥平面DCC1D1. ……………………4分
法二 取AD的中点G,连接PG,GQ,
则有PG∥DD1,GQ∥DC,且PG∩GQ=G, ………1分
所以平面PGQ∥平面DCC1D1. ………………2分
又PQ?平面PGQ,
所以PQ∥平面DCC1D1. ………………………4分(2)求PQ的长;
(3)求证:EF∥平面BB1D1D.法二 取B1C1的中点E1,连接EE1,FE1,
则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1,且FE1∩EE1=E1,
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.…………10分
又EF?平面EE1F,
所以EF∥平面BB1D1D.…………………12分方法技巧 直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系,具体转化过程如图所示.即时训练2-1:如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A1B1C1分别在平面α,β内,线段AA1,BB1,CC1相交于点O,点O在α,β之间,若AB=2,AC=1,OA∶OA1=
3∶2,且BA⊥AC,则△A1B1C1的面积为 .?2-2:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行?解:如图,设平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,点M在AA1上,平面D1BQ∩平面BCC1B1=BQ,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO,由平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,平面PAO∩平面ADD1A1=AP,可得AP∥D1M,所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点,所以M为AA1的中点,Q为CC1的中点,故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！
