2.2.2 平面与平面平行的判定
1.经过平面外两点与这个平面平行的平面( C )
(A)只有一个 (B)至少有一个
(C)可能没有 (D)有无数个
解析:当这两点的连线与平面相交时,则没有平面与这个平面平行;当这两点的连线与平面平行时,有且只有一个平面与这个平面平行,所以选C.
2.设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有( D )
①l?α,m?α,且l∥β,m∥β ②l?α,m?β,且l∥m ③l∥α,m∥β,且l∥m
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)0个
解析:由两平面平行的判定定理可知,得出α∥β的个数为零.
3.已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,则下列五个命题中正确的命题有( A )
①a∥c,b∥c?a∥b;②a∥γ,b∥γ?a∥b;③c∥α,c∥β?α∥β;④c∥α,a∥c?a∥α;⑤a∥γ,α∥γ?a∥α.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)5个
解析:由公理4知①正确;②错误,a与b还可能相交或异面;③错误,α和β可能相交;④错误,可能有a?α;⑤错误,可能有a?α.故 选A.
4.已知两个不重合的平面α,β,给定以下条件:
①α内不共线的三点到β的距离相等;
②l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β;
③l,m是两条异面直线,且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.
其中可以判定α∥β的是( D )
(A)① (B)② (C)①③ (D)③
解析:①中,若三点在平面β的两侧,则α与β相交,故不正确.② 中,α与β也可能相交.③中,若把两异面直线l,m平移到一个平面内,即为两相交直线,由判定定理知正确.
5.下列命题中,不正确的是( A )
(A)一条直线和两个平面α,β所成的角相等,那么α∥β
(B)平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β
(C)一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行
(D)分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
解析:直线与两平面所成的角相等,这两个平面可能相交,故A命题不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行,所以C命题正确;B,D正确,故选A.
6.在正方体EFGHE1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是( A )
(A)平面E1FG1与平面EGH1
(B)平面FHG1与平面F1H1G
(C)平面F1H1H与平面FHE1
(D)平面E1HG1与平面EH1G
解析:如图,易证E1G1∥平面EGH1,G1F∥平面EGH1,
因为E1G1∩G1F=G1,
所以平面E1FG1∥平面EGH1.
故选A.
7.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,则在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( D )
(A)不存在 (B)有1条
(C)有2条 (D)有无数条
解析:画出平面D1EF与平面ADD1A1的交线D1G,并画出其与底面ABCD的交线,如图所示.于是在平面ADD1A1内与直线D1G平行的直线都与平面D1EF平行,有无数条.故选D.
8.在正方体ABCDA1B1C1D1中E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,给出下列四个推断:
①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1;③FG∥平面BC1D1;④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推断正确的序号是( A )
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
解析:因为正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,所以FG∥BC1,
因为BC1∥AD1,所以FG∥AD1,
因为FG?平面AA1D1D,AD1?平面AA1D1D,
所以FG∥平面AA1D1D,故①正确;
因为EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,
所以EF所在直线与平面BC1D1相交,故②错误;
因为E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,
所以FG∥BC1,
因为FG?平面BC1D1,BC1?平面BC1D1,
所以FG∥平面BC1D1,故③正确;
因为EF所在直线与平面BC1D1相交,
所以平面EFG与平面BC1D1相交,故④错误.
故选A.
9.如图,已知在三棱锥PABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是 .?
解析:在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.
又DE?平面ABC,
所以DE∥平面ABC.
同理可证EF∥平面ABC.
又DE∩EF=E,
所以平面DEF∥平面ABC.
答案:平行
10.如图所示的是正方体的平面展开图.有下列四个命题:
①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;
③平面BDM∥平面AFN;
④平面BDE∥平面NCF.
其中,正确命题的序号是 .?
解析:展开图可以折成如图(1)所示的正方体.
在正方体中,连接AN,如图(2)所示,因为AB∥MN,且AB=MN,所以四边形ABMN是平行四边形.所以BM∥AN.因为AN?平面DE,BM?平面DE,所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,所以①②正确;如图(3)所示,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,进而得到平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.
答案:①②③④
11.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的 中点,
求证:(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明:(1)因为GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,
所以B,C,H,G四点共面.
(2)因为E,F分别为AB,AC的中点,
所以EF∥BC,
因为EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G??EB,
所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.
因为A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG.
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF=E,
所以平面EFA1∥平面BCHG.
12.如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD内是否存在点Q,使平面EFQ∥平面PAB?若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.
解:存在.
取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH.
因为F,G为PD,AD的中点,所以FG∥PA.
因为FG?平面PAB,PA?平面PAB,
所以FG∥平面PAB.
因为E,F分别为PC,PD的中点,
所以EF∥CD,因为AB∥CD,
所以EF∥AB.
因为EF?平面PAB,AB?平面PAB.
所以EF∥平面PAB.
因为EF∩FG=F,
所以平面EFG∥平面PAB.
又GH∥CD,所以GH∥EF.
所以平面EFG即平面EFGH.
所以平面EFGH∥平面PAB.
又点Q∈平面ABCD,平面ABCD∩平面EFG=GH,
所以点Q∈GH.
所以点Q在底面ABCD的中位线GH上.
13.如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.
(1)求证:平面MNG∥平面ACD;
(2)求S△MNG∶S△ADC的值.
(1)证明:连接BM,BN,BG并延长,分别交AC,AD,CD于点P,F,H,连接PF,FH,PH.
因为M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,
所以===2,
所以MN∥PF.
又PF?平面ACD,MN?平面ACD,
所以MN∥平面ACD.
同理可证MG∥平面ACD.
因为MG∩MN=M,
所以平面MNG∥平面ACD.
(2)解:由(1)知==,
所以MG=PH.
又PH=AD,
所以MG=AD.
同理可证NG=AC,MN=CD.
所以△MNG∽△DCA,其相似比为1∶3.
所以S△MNG∶S△ADC=1∶9.
14.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有( C )
(A)2对 (B)3对 (C)4对 (D)5对
解析:底面为正六边形的棱柱,互相平行的面最多有4对,故选C.
15.已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面α与平面β平行的是( D )
(A)α内有两条直线与β平行
(B)直线a∥α,a∥β
(C)直线a,b满足b∥a,a∥α,b∥β
(D)异面直线a,b满足a?α,b?β,且a∥β,b∥α
解析:对于选项A,当α内有两条平行线与β平行时,平面α与平面β可能平行,也可能相交,故A不符合题意;对于选项B,若直线a∥α,a∥β,则平面α与平面β可能平行,也可能相交;故B不符合题意;对于选项C,若b∥a,a∥α,b∥β,则平面α与平面β可能平行,也可能相交,故C不符合题意;对于选项D,当a?α,b?β且a∥β,b∥α时,可在a上取一点P,过点P作直线b′∥b,由线面平行的判定定理得 b′∥β,再由面面平行的判定定理得α∥β,故D符合题意.
16.正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a,E,F分别为A′D′,D′C′的中点,过EF且平行于平面AB′C的截面面积为 .?
解析:由平面与平面平行的判定定理可知,过EF且平行于平面AB′C的截面交DD′于点G,可知截面EFG为正三角形,且边长为a,所以面积为a2.
答案:a2
17.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥PABCD,如图②.则在四棱锥PABCD中,AP与平面EFG的位置关系为 .?
解析:在四棱锥PABCD中,因为E,F分别为PC,PD的中点,
所以EF∥CD.
因为AB∥CD,
所以EF∥AB.
因为EF?平面PAB,AB?平面PAB,
所以EF∥平面PAB.
同理EG∥平面PAB.
又EF∩EG=E,
所以平面EFG∥平面PAB.
因为AP?平面PAB,AP?平面EFG,
所以AP∥平面EFG.
答案:平行
18.在三棱柱ABCA1B1C1中,点D为AC的中点,点D1是A1C1上的一点.
(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
(2)当BC1∥平面AB1D1时,求证:平面BC1D∥平面AB1D1.
(1)解:=1.证明如下:
如图,此时D1为线段A1C1的中点,连接A1B交AB1于O,连接OD1.
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
所以OD1∥BC1.
又因为OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,
所以BC1∥平面AB1D1,
所以当=1时,BC1∥平面AB1D1.
(2)证明:由(1)知,当BC1∥平面AB1D1时,点D1是线段A1C1的中点,则有AD∥D1C1,且AD=D1C1,
所以四边形ADC1D1是平行四边形.
所以AD1∥DC1.
又因为DC1?平面AB1D1,AD1?平面AB1D1,
所以DC1∥平面AB1D1.
又因为BC1∥平面AB1D1,
BC1?平面BC1D,
DC1?平面BC1D,DC1∩BC1=C1,
所以平面BC1D∥平面AB1D1.
课件24张PPT。2.2.2 平面与平面平行的判定课标要求:1.理解平面与平面平行的判定定理.2.能应用面面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.自主学习知识探究平面与平面平行的判定定理相交a∩b=P 探究1:(教师备用)如果两个平面都与第三个平面平行,这两个平面平行吗?
答案:平行.
探究2:(教师备用)如果两个平面都平行于某一条直线,这两个平面平行吗?
答案:不一定平行.自我检测1.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面的位置关系是( )
(A)一定平行 (B)一定相交
(C)平行或相交 (D)以上判断都不对
2.如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)不确定CA3.平面α内有两条直线a和b,且a∥β,b∥β,则α与β的位置关系是 .?答案:平行或相交4.已知三个平面α,β,γ,一条直线l,要得到α∥β,下列条件中合适的是( )
(A)l∥α,l∥β且l∥γ (B)l?γ,且l∥α,l∥β
(C)α∥γ,且β∥γ (D)l与α,β所成的角相等C5.已知a,b是两条直线,α,β是两个平面,Ρ是一个点,若a∥β,b∥β,a?
α,b?α,且 (填上一个条件即可),则有α∥β.?答案:a∩b=P题型一 对面面平行判定定理的理解【例1-1】 已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是( )
(A)l∥β,l?α?α∥β
(B)l∥β,m∥β,l?α,m?α?α∥β
(C)l∥m,l?α,m?β?α∥β
(D)l∥β,m∥β,l?α,m?α,l∩m=M?α∥β课堂探究解析:如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,则AB∥平面DC1,AB?平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1,B1C1?平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;可证AD∥B1C1,AD?平面AC,B1C1?平面BC1,又平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是面面平行的判定定理,所以选项D正确.故选D.【1-2】 下列命题中正确的是( )
①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;
②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;
③若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;
④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行.
(A)①③ (B)②④
(C)②③④ (D)③④解析:①②中两个平面还可以相交,故①②错误;由两个平面平行的定义,知③正确;由两个平面平行的判定定理,知④正确.故选D.方法技巧 解决此类问题的关键有两点:(1)借助常见几何体进行分析,使得抽象问题具体化.(2)把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面”.即时训练1-1:平面α与平面β平行的条件可以是( )
(A)α内有无穷多条直线都与β平行
(B)直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内
(C)α内的任何直线都与β平行
(D)直线a在α内,直线b在β内,且a∥β,b∥α1-2:给出下列三个结论:
①一个平面α内有两条不平行的直线都平行于另一个平面β,则α∥β;②过平面α外一点且与α平行的所有直线在同一平面内;③如果平面α∩γ=a,平面γ∩β=b,a∥b,则α∥β,其中不正确的结论有 个.?解析:①,②正确;满足条件α∩γ=a,β∩γ=b,a∥b时,可能有α∥β,也可能有α与β相交,故③错误.
答案:1题型二平面与平面平行的判定【例2】 (12分)如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C.(2)若E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.规范解答:(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.………………5分
取BB1的中点G,连接AG,GF,易得AE∥B1G, …………………6分
又因为AE=B1G,所以四边形AEB1G是平行四边形, …………7分
所以B1E∥AG.易得GF∥AD. …………………………………8分
又因为GF=AD,
所以四边形ADFG是平行四边形, ……………………………9分
所以AG∥DF,所以B1E∥DF, …………………………………10分
所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF=D,所以平面EB1D1∥平面FBD. ………………12分方法技巧即时训练2-1:已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,求证:平面MNQ∥平面PBC.证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP,
而BP?平面PBC,NQ?平面PBC,
所以NQ∥平面PBC,
又因为四边形ABCD为平行四边形,BC∥AD,
所以MQ∥BC.
而BC?平面PBC,MQ?平面PBC,
所以MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ=Q,
所以平面MNQ∥平面PBC.点击进入 课时作业谢谢观赏！
