2.3.1 直线与平面垂直的判定
1.设l,m是两条不同的直线, α是一个平面,则下列命题正确的是( A )
(A)若l⊥α,l∥m,则m⊥α (B)若l∥α,m?α,则l∥m
(C)若l⊥m,m?α,则l⊥α (D)若l∥α,m∥α,则l∥m
解析:易知A正确.
B.l与m可能异面,也可能平行.
C.当l与α内两条相交直线垂直时,才能判定l⊥α,
D.l与m可能平行、异面或相交.
2.已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( B )
(A)若m∥α,n∥α,则m∥n (B)若m⊥α,n?α,则m⊥n
(C)若m⊥α,m⊥n,则n∥α (D)若m∥α,m⊥n,则n⊥α
解析:对A,m,n还可能异面或相交,故A不正确.对C,n还可能在平面α内,故C不正确.对D,n也可能在α内,故D不正确.对B,由线面垂直的定义可知正确.故选B.
3.直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则直线l和平面α的位置关系是( D )
(A)垂直 (B)平行
(C)l在α内 (D)无法确定
解析:当l与平面α内的无数条直线都垂直,若这无数条直线互相平行,则l可能在α内,也可能与平面α平行,相交,故选D.
4.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( C )
(A)平行
(B)垂直相交
(C)垂直但不相交
(D)相交但不垂直
解析:因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC,又MA?平面AMC,所以MA⊥BD.
显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.故选C.
5.已知P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面 ABC,垂足H,则H为△ABC的( B )
(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心
解析:连接AH并延长,交BC于D,连接BH并延长,交AC于E;因为PA⊥PB,PA⊥PC,故PA⊥平面PBC,故PA⊥BC;因为PH⊥平面ABC,故PH⊥BC,故BC⊥平面PAH,故AH⊥BC;同理BH⊥AC;故H是△ABC的垂心.
6.正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:画出图形,如图BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角.在三棱锥DACD1中,由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H,连接D1H,DH,则∠DD1H即为DD1与平面ACD1所成的角.设正方体的棱长为a,则cos∠DD1H==.故选D.
7.如图PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,EF∥PA,则图中直角三角形的个数是( D )
(A)3
(B)4
(C)5
(D)6
解析:因为∠ACB=90°,
所以△ACB是直角三角形.
由PA⊥平面ABC,得PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,
所以△PAB,△PAC是直角三角形.
又BC⊥AC,AC∩PA=A,
所以BC⊥平面PAC,
所以BC⊥PC,
所以△PCB是直角三角形.
因为EF∥PA,PA⊥平面ABC,
所以EF⊥平面ABC,
所以EF⊥BE,EF⊥EC,
所以△BEF,△FEC是直角三角形,
所以△PAB,△PAC,△ACB,△PCB,△FEC,△BEF均为直角三角形,共6个.故选D.
8.如图所示,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD⊥平面ABCD,则下列结论中不正确的是( D )
(A)AC⊥SB
(B)AB∥平面SCD
(C)SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析:因为四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,又SD⊥平面ABCD,
所以SD⊥AC,又SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,
所以AC⊥SB,故A正确;由于AB∥CD,
所以AB∥平面SCD,故B正确;
由于AC⊥平面SBD,设AC∩BD=O,
连SO,则SA与平面SBD所成的角为∠ASO,
同理SC与平面SBD所成的角为∠CSO,
因为SA=SC=,又O为AC的中点,
所以∠ASO=∠CSO,所以C正确.D显然不正确.
9.如图,△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°,则直线AD⊥平面 ,直线BD⊥平面 ,直线CD⊥平面 .?
解析:因为△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,所以AD⊥BD,AD⊥DC.
又BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.
又AD=BD=CD,所以AB=AC.又∠BAC=60°,
所以△ABC为正三角形,所以BC=AB=AC=AD,所以∠BDC=90°,由直线和平面垂直的判定定理,知BD⊥平面ADC,CD⊥平面ABD.
答案:BDC ADC ABD
10.如图,三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角的大小为 .?
解析:因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,
所以∠PBA为直线PB与平面ABC所成的角.
在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,
所以∠PBA=45°,
即直线PB与平面ABC所成的角的大小为45°.
答案:45°
11.如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=2 cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为 .?
解析:过P作PO垂直于平面ABC于O,连接CO,则CO为∠ACB的平分线.连接OF,可证明△CFO为直角三角形,CO=2,Rt△PCO中,cos∠PCO=,∠PCO=45°.
答案:45°
12.已知三棱锥SABC的各顶点都在一个表面积为4π的球面上,球心O在棱AB上,SO⊥平面ABC,AC=,则三棱锥SABC的表面积为 .?
解析:因为球的表面积为4π,所以球的半径长R=1,三棱锥SABC的图形如图所示,由题意及图可知AB=2R=2,SO=AO=BO=CO=1,又SO⊥平面ABC,
所以SA=SB=SC=,又AC=,
所以BC=,所以△ABC与△ABS均为等腰直角三角形,其面积之和为2×1=2,△SAC与△SBC均为等边三角形,其面积均为,则三棱锥SABC表面积为2+.
答案:2+
13.在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证:
(1)PA∥平面DEB;
(2)PB⊥平面DEF.
证明:(1)连接AC,BD,交于O,连接EO.因为底面ABCD是正方形,
所以点O是AC的中点.所以在△PAC中,EO是中位线,所以PA∥EO,
因为EO?平面DEB,且PA?平面DEB,所以PA∥平面DEB.
(2)因为PD⊥底面ABCD,且BC?底面ABCD,所以PD⊥BC.因为底面ABCD是正方形,
所以DC⊥BC,可得BC⊥平面PDC.
因为DE?平面PDC,所以BC⊥DE.
又因为PD=DC,E是PC的中点,所以DE⊥PC.所以DE⊥平面PBC.因为PB?平面PBC,所以DE⊥PB.
又因为EF⊥PB,且DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.
14.侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA′B′C′满足∠BAC=90°, AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.
(1) 求证:MN∥平面A′ACC′;
(2) 求证:A′N⊥平面BCN;
(3) 求三棱锥CMNB的体积.
(1)证明:如图,连接AB′,AC′,
因为四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,
所以AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,
又点N为B′C′的中点,
所以MN∥AC′,
又MN?平面A′ACC′,且AC′?平面A′ACC′,
所以MN∥平面A′ACC′.
(2)证明:因为A′B′=A′C′=2,点N为B′C′的中点,所以A′N⊥ B′C′.
又BB′⊥平面A′B′C′,所以A′N⊥BB′,
所以A′N⊥平面BCN.
(3)解:由图可知=,
因为∠BAC=90°,所以BC==2,
S△BCN=×2×4=4.
由(2)及∠B′A′C′=90°可得A′N=,
因为M为A′B的中点,
所以M到平面BCN的距离为,
所以==×4×=.
15.(2017·天津卷)如图,在四棱锥PABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(2)求证:PD⊥平面PBC;
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
(1)解:如图,由已知AD∥BC,故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD⊥平面PDC,直线PD?平面PDC,所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中,由已知,得AP==,
故cos∠DAP==.
所以, 异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)证明:由(1)知AD⊥PD.
又因为BC∥AD,所以PD⊥BC.
又PD⊥PB,PB∩BC=B,所以PD⊥平面PBC.
(3)解:过点D作DF∥AB,交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,
所以PF为DF在平面PBC上的射影,
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1.
由已知,得CF=BC-BF=2.
又AD⊥DC,故BC⊥DC.
在Rt△DCF中,可得DF==2,
在Rt△DPF中,可得sin∠DFP==.
所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
16.在正三棱柱ABCA1B1C1中(底面是等边三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱),已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:如图,分别取C1A1,CA的中点E,F,连接B1E与BF,则B1E⊥平面CAA1C1,过D作DH∥B1E,则DH⊥平面CAA1C1,连接AH,则∠DAH为AD与平面AA1C1所成的角,由已知易得DH=B1E=,DA=,所以sin∠DAH==.
17.如图,正方体AC1的棱长为1,连接AC1,交平面A1BD于点H,则下列命题中错误的是( D )
(A)AC1⊥平面A1BD
(B)H是△A1BD的垂心
(C)AH=
(D)直线AH与BB1所成角为45°
解析:由题意知①AC1⊥平面A1BD,AC1⊥平面CB1D1;②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分;③AC1=AB等,故选项A,C正确,易得H为等边△A1BD的中心,B正确.又AH与BB1所成的角即∠A1AC,tan∠A1AC=.所以D不正确,故选D.
18.如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC⊥SO.正确结论的序号是 .?
解析:连接SO,如图所示,
因为四棱锥SABCD的底面为正方形,所以AC⊥BD.
因为SD⊥底面ABCD,
所以SD⊥AC,
因为SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,
因为SB?平面SBD,所以AC⊥SB,则①正确;
因为AB∥CD,AB?平面SCD,CD?平面SCD,
所以AB∥平面SCD,则②正确;
因为SD⊥底面ABCD,
所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角,
因为AD=CD,SD=SD,
所以∠SAD=∠SCD,则③正确;
因为AC⊥平面SBD,SO?平面SBD,
所以AC⊥SO,则④正确.
答案:①②③④
19.如图所示,将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形,当平面四边形ABCD满足 时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.(填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能情况)?
解析:AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等),在平面四边形中,设AC与BD交于E,假设AC⊥BD,则AC⊥DE,AC⊥BE.折叠后,AC与DE,AC与BE依然垂直,所以AC⊥平面BDE,所以AC⊥BD.
若四边形ABCD为菱形或正方形,它们的对角线互相垂直,同理可证AC⊥BD.
答案:AC⊥BD
20.如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).
(1)求证:DE∥平面A1CB;
(2)求证:A1F⊥BE;
(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.
(1)证明:因为D,E分别为AC,AB的中点,
所以DE∥BC.
又因为DE?平面A1CB,BC?平面A1CB,
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC,
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D,DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.
而A1F?平面A1DC,
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD,
所以A1F⊥平面BCDE.
所以A1F⊥BE.
(3)解:线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.
理由如下:
如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,
则PQ∥BC.
又因为DE∥BC,
所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知,DE⊥平面A1DC,
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
所以A1C⊥DP.
所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.
课件36张PPT。2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定课标要求:1.理解线面垂直的定义和判定定理.2.能运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.能在简单的几何体中计算线面角.自主学习知识探究1.直线与平面垂直的概念
如果直线l与平面α内的 都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作 ,直线l叫做平面α的 ,平面α叫做直线l的 ,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做 .
探究1:(教师备用)若直线a⊥平面α,直线b?α,则a与b互相垂直吗?
答案:垂直.任意一条直线l⊥α垂线垂面垂足2.直线与平面垂直的判定定理两条相交直线a∩b=P探究2:(教师备用)若直线a⊥b,直线a⊥c,且b?α,c?α,直线a⊥平面α吗?
答案:不一定垂直,当b与c相交时,a⊥平面α.3.直线与平面所成的角
(1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做 ,过斜线上 的一点向平面引垂线PO,过垂足O和 的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ,叫做这条直线和这个平面所成的角.
(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 ;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是 的角,于是,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.斜足斜足以外斜足A锐角直角0°自我检测1.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是( )
(A)①③ (B)②
(C)②④ (D)①②④
2.下列条件中,能使直线m⊥α的是( )
(A)m⊥b,m⊥c,b?α,c?α
(B)m⊥b,b∥α
(C)m∩b=A,b⊥α
(D)m∥b,b⊥αAD3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )
(A)平面OAB (B)平面OAC
(C)平面OBC (D)平面ABC
4.若直线a和直线b与平面α所成的角相等,则直线a与直线b的位置关系是( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)不确定CD5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角的正弦值为 .?题型一线面垂直的概念与定理的理解【例1】 下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;
④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;
⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4课堂探究解析:由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B.误区警示 线面垂直的判定定理中,直线垂直于平面内的两条相交直线,“相交”两字必不可少,否则,就是换成无数条直线,这条直线也不一定与平面垂直.即时训练1-1:如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的是 .?解析:三角形两边必相交,圆的两条直径必相交,梯形的两边有可能是平行的一组对边,正六边形的两边也可能是一组平行对边.故由线面垂直的判定定理知,能保证该直线与平面垂直的是①③.
答案:①③1-2:下列命题中,正确命题的序号是 .?
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,那么l⊥α;②如果直线l与平面α内的两条直线垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直的直线;④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;⑤若a∥α,b⊥α,则a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,则b⊥α.解析:根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂直时,l⊥α,如果α内的无数条直线互相平行,l与α不一定垂直,故①不正确;根据直线与平面垂直的判定定理可知,如果平面α内的两条直线不相交时,l与α不一定垂直,故②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条互相平行的直线垂直,故③不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故④正确;⑤,⑥显然正确.
答案:④⑤⑥题型二直线与平面垂直的判定【例2】 (12分)在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证:PH⊥平面ABC.所以AH⊥BC,……………………2分
又AP⊥BC,AH∩AP=A,
所以BC⊥平面AHP, ……………4分
又PH?平面AHP,
所以PH⊥BC. ……………………6分
同理可证PH⊥AB, ………………8分
又AB∩BC=B,
所以PH⊥平面ABC. ……………12分变式探究:在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,且PH⊥平面ABC,求证:AB⊥PC,BC⊥AP.证明:如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,
所以AH⊥BC,又PH⊥平面ABC,
所以PH⊥BC,又PH∩AH=H,
所以BC⊥平面PAH,
所以BC⊥AP,同理可证:AB⊥PC.方法技巧 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线,证明它们都和这条直线垂直.即时训练2-1:如图,四棱锥P-ABCD中,O是底面正方形ABCD 的中心,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:EO∥平面PAD;证明:(1)连接AC,因为点O是底面正方形ABCD的中心,
所以点O是AC的中点,又因为E是PC的中点,所以在△PAC中,EO是中位线,所以PA∥EO.
因为EO?平面PAD,PA?平面PAD,所以EO∥平面PAD.(2)证明:DE⊥平面PBC.证明:(2)因为PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PD⊥BC,
因为底面ABCD是正方形,有BC⊥DC,
所以BC⊥平面PDC.
而DE?平面PDC,所以BC⊥DE.
因为PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,
而DE是斜边PC的中线,所以DE⊥PC.
又BC,PC?平面PBC,且BC∩PC=C,
所以DE⊥平面PBC.2-2:如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点.
(1)求证:SD⊥平面ABC;证明:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE,
在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,
所以DE∥BC,且DE⊥AB.
在△SAB中,因为SA=SB,
所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,
所以AB⊥平面SDE.
因为SD?平面SDE,所以AB⊥SD.
在△SAC中,因为SA=SC,D为AC的中点,
所以SD⊥AC.
因为SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,
所以SD⊥平面ABC.(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.证明:(2)因为AB=BC,D为斜边AC的中点,
所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.
而BD?平面ABC,所以SD⊥BD.
因为SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,
所以BD⊥平面SAC.题型三直线与平面所成的角(1)证明:如图,连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,
所以EF∥BA1.又因为EF?平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(2)求证:直线AE⊥平面BCB1;(2)证明:因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1.(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.方法技巧 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤
(1)确定斜线与平面的交点(斜足);(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线,连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影,则斜线和射影所成的锐角即为所求的角;(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.即时训练3-1:已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为 .?3-2:(2015·浙江卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.
因为AB=AC,所以AE⊥BC.
故AE⊥平面A1BC.
连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,
从而DE∥A1A且DE=A1A,
所以AA1DE为平行四边形.
于是A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.(2)解:作A1F⊥DE,垂足为F,连接BF.
因为A1E⊥平面ABC,
所以BC⊥A1E.
因为BC⊥AE,
所以BC⊥平面AA1DE.
所以BC⊥A1F,
所以A1F⊥平面BB1C1C.
所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.点击进入 课时作业谢谢观赏！
