2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.已知直线l⊥平面α,直线m?平面β,有下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若α⊥β,则l∥m;③若l∥m,则α⊥β;④若l⊥m,则α⊥β,其中,正确命题的序号是( C )
(A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④
解析:当l⊥α,α∥β时,l⊥β,又m?β,所以l⊥m,故①正确;当α⊥β,l⊥α时,l∥β或l?β,又m?β,则l与m可能相交、平行、异面,故②不正确;因为l∥m,l⊥α,所以m⊥α,又m?β,所以α⊥β,故③正确;④显然不正确.
2.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列四个
命题:
①a∥b,a∥α?b∥α;
②a⊥b,a⊥α?b∥α;
③a∥α,β∥α?a∥β;
④a⊥α,β⊥α?a∥β.
其中不正确的有( D )
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个
解析:①中b?α有可能成立,所以①不正确;②中b?α有可能成立,故②不正确;③中a?β有可能成立,故③不正确;④中a?β有可能成立,故④不正确.综上①②③④均不正确,故选D.
3.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,要使n⊥β,则应增加的条件是( C )
(A)n?α,且m∥n (B)n∥α
(C)n?α且n⊥m (D)n⊥α
解析:由面面垂直的性质定理可知选C.
4.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则( D )
(A)α∥γ
(B)α⊥γ
(C)α与γ相交但不垂直
(D)以上都有可能
解析:α⊥β,β⊥γ,则α∥γ或α⊥γ或α与γ相交但不垂直.故选D.
5.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( D )
(A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行
(C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
解析:若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.
6.如图,PA⊥矩形ABCD,下列结论中不正确的是( A )
(A)PD⊥BD (B)PD⊥CD
(C)PB⊥BC (D)PA⊥BD
解析:因为PA⊥矩形ABCD,
所以PA⊥BD,若PD⊥BD,则BD⊥平面PAD,
又BA⊥平面PAD,则过平面外一点有两条直线与平面垂直,不成立,故A不正确;
因为PA⊥矩形ABCD,
所以PA⊥CD,AD⊥CD,
所以CD⊥平面PAD,所以PD⊥CD,
同理可证PB⊥BC.故选A.
7.设αlβ是直二面角,直线a?平面α,直线b?平面β,a,b与直线l都不垂直,那么( C )
(A)a与b可能垂直,但不可能平行
(B)a与b可能垂直,也可能平行
(C)a与b不可能垂直,但可能平行
(D)a与b不可能垂直,也不可能平行
解析:当a∥l,b∥l时,a∥b.若a⊥b,可在a上任取点A,过点A在α内作l的垂线c,如图,则c⊥β,所以c⊥b.因为a∩c=A,所以b⊥α,所以b⊥l,这与已知矛盾.所以a与b不可能垂直.
8.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与平面α,β所成的角分别为45°和30°,过点A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A′,B′,则AB∶A′B′等于( A )
(A)2∶1 (B)3∶1
(C)3∶2 (D)4∶3
解析:如图,连接AB′,A′B.
由已知,得AA′⊥β,∠ABA′=30°,
BB′⊥α,∠BAB′=45°.
设AB=a,则BA′=a,
BB′=a,
在Rt△BB′A′中,
A′B′==a,
所以AB∶A′B′=2∶1.故选A.
9.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出四个命题:
①若l⊥α,α⊥β,则l?β;②若l∥α,α∥β,则l?β;③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.
则正确命题的个数为 .?
解析:①错,可能有l∥β;②错,可能有l∥β;③正确;④错,也可能有l∥β,或l?β或l与β相交.
答案:1
10.如图,四面体PABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ACB=
90°,AC=8,BC=6,则PC= .?
解析:取AB的中点E,连接PE,EC.
因为∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
所以AB=10,
所以CE=5.
因为PA=PB=13,
E是AB的中点,
所以PE⊥AB,PE=12.
因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,
所以PE⊥平面ABC.
因为CE?平面ABC,
所以PE⊥CE.
在Rt△PEC中,
PC==13.
答案:13
11.设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列
命题:
①若m∥α,m∥β,则α∥ β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.
上述命题中,其中假命题的序号是 .?
解析:①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行都可能,故①不正确;
②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;
③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确;
④若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知m∥n,故④正确.
答案:①③
12.如图所示,三棱锥PABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是 .?
解析:因为平面PAC⊥平面PBC,
AC⊥PC,AC?平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC.
所以AC⊥平面PBC.
又BC?平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.
所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A,B两点).
答案:以AB为直径的圆(除去A,B两点)
13.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD.
(1)证明:平面PBD⊥平面PAC;
(2)设AP=1,AD=,∠CBA=60°,求A到平面PBC的距离.
(1)证明:因为四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,
所以BD⊥AC,
因为PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA,
因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC,
因为BD?平面PBD,
所以平面PBD⊥平面PAC.
(2)解:因为AP=1,AD=,∠CBA=60°,
所以AC=,S△ABC=×()2=,
因为PC=PB==2,
所以S△PBC=××=,
设A到平面PBC的距离为h,
因为=,
所以×h×=××1,
解得h=.
所以A到平面PBC的距离为.
14.如图,在三棱锥VABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;
(3)求三棱锥VABC的体积.
(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.
又因为VB?平面MOC,
所以VB∥平面MOC.
(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC,且OC?平面ABC,
所以OC⊥平面VAB.
所以平面MOC⊥平面VAB.
(3)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,
所以AB=2,OC=1,所以S△VAB=,
又因为OC⊥平面VAB,
所以=OC·S△VAB=.
又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等,所以三棱锥VABC的体积为.
15.如图,在四棱锥ABCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=
90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.
(1)证明:AC⊥平面BCDE;
(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.
(1)证明:如图,连接BD,在直角梯形BCDE中,
由DE=BE=1,CD=2,
得BD=BC=.
由AC=,AB=2,
得AB2=AC2+BC2,
即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE,
平面ABC∩平面BCDE=BC,
AC?平面ABC,
所以AC⊥平面BCDE.
(2)解:在直角梯形BCDE中,
由BD=BC=,
DC=2,得BD⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCDE,BD?平面BCDE.
所以BD⊥平面ABC.
作EF∥BD,与CB延长线交于点F,连接AF,
则EF⊥平面ABC.
所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角.
在Rt△BEF中,
由EB=1,∠EBF=45°,
得EF=,BF=.
在Rt△ACF中,
由AC=,CF=,得AF=.
在Rt△AEF中,
由EF=,AF=,
得tan∠EAF=.
所以直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.
16.如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,则下列说法中不正确的是( D )
(A)平面ACD⊥平面ABD (B)AB⊥CD
(C)平面ABC⊥平面ACD (D)AB∥平面ABC
解析:因为BD⊥CD,平面ABD⊥平面BCD,
所以CD⊥平面ABD,
因为CD?平面ACD,
所以平面ACD⊥平面ABD,故A正确;
因为平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,
所以AB⊥AD,
又CD⊥平面ABD,所以AB⊥CD,故B正确;
因为AB⊥AD,AB⊥CD,
所以AB⊥平面ACD,
又因为AB?平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ACD,故C正确;
因为AB?平面ABC,所以AB∥平面ABC不成立,故D错误.故选D.
17.如图所示,PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:
①AF⊥PB,②EF⊥PB,③AF⊥BC,④AE⊥BC,其中正确的个数是( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:因为AB是☉O的直径,
所以AC⊥BC.
因为PA垂直于☉O所在的平面,
所以PA⊥BC,
所以BC⊥平面PAC,
所以BC⊥AF,所以③正确.
又AF⊥PC,
所以AF⊥平面PBC,
所以AF⊥PB,所以①正确.
又AE⊥PB,
所以PB⊥平面AEF,
所以EF⊥PB,
所以②正确.
若AE⊥BC,则由AE⊥PB,得AE⊥平面PBC,
此时E,F重合,与已知矛盾,
所以④错误.故选C.
18.已知直二面角αlβ,点A∈α,AC⊥l,点C为垂足,B∈β,BD⊥l,点D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则CD的长为 .?
解析:如图,连接BC.
因为二面角αlβ为直二面角,
AC?α,且AC⊥l,α∩β=l,
所以AC⊥β.
又BC?β,所以AC⊥BC,
所以BC2=AB2-AC2=3.
又BD⊥CD,
所以CD==.
答案:
19.如图,边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G.已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列结论,其中正确的结论有 (填上所有正确结论的序号).?
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;
②三棱锥A′FED的体积有最大值;
③恒有平面A′GF⊥平面BCED;
④异面直线A′E与BD不可能互相垂直.
解析:在正三角形ABC中,
AF为中线,DE为中位线,
所以AF⊥BC,DE∥BC,
所以DE⊥A′G,DE⊥GF,
又A′G∩GF=G,
所以DE⊥平面A′GF.
又DE?平面BCED,
所以平面A′GF⊥平面BCED,故③正确.
过A′作A′H⊥AF,垂足为点H,
则A′H?平面A′GF,
又平面A′GF⊥平面BCED,
平面A′GF∩平面BCED=AF,
所以A′H⊥平面ABC,故①正确.
三棱锥A′FED的底面△FED的面积是定值,高是点A′到平面FED的距离.
易证当A′G⊥平面FED时距离(即高)最大,
三棱锥A′FED的体积最大,故②正确.
易知BD∥EF,
所以∠A′EF是异面直线A′E与BD所成的角.
因为正三角形ABC的边长为2a,
所以A′E=a,EF=a.
而0
所以A′F的长度的取值范围是(0,a),
当A′F=a时,A′E2+EF2=A′F2,
则∠A′EF=90°,
此时直线A′E与BD互相垂直,故④错误.
答案:①②③
20.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.
(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.
因为△PAD为等边三角形,所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.
又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.
因为PB?平面PGB,所以AD⊥PB.
(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF.
则EF∥PB,所以可得EF∥平面PGB.
在菱形ABCD中,GB∥DE,
所以可得DE∥平面PGB.
而EF?平面DEF,DE?平面DEF,EF∩DE=E,
所以平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG?平面PGB,
所以平面PGB⊥平面ABCD,
所以平面DEF⊥平面ABCD.
课件37张PPT。2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质课标要求:理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质,并能运用性质定理解决一些简单问题.自主学习知识探究1.直线与平面垂直的性质定理a∥b 探究1:(教师备用)(1)垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗?
(2)三角形的两边可以垂直于同一个平面吗?
(3)过一点有几条直线与已知平面垂直?
答案:(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.
(2)不可以.若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成三角形.
(3)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线.2.平面与平面垂直的性质定理垂直于交线 探究2:(教师备用)(1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?
(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?
答案:(1)正确.若设α∩β=l,a?α,b?β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.
(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直,否则不垂直.3.空间位置关系的相互转化
垂直关系之间的相互转化自我检测(教师备用)1.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,则下列结论中错误的是( )
(A)AP⊥AC
(B)AP⊥AB
(C)AP⊥平面ABC
(D)AP与BC所成的角为45°D2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
(A)若α⊥β,m?α,n?β,则m⊥n
(B)若α∥β,m?α,n?β,则m∥n
(C)若m⊥n,m?α,n?β,则α⊥β
(D)若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βD 3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m∥α,n?β,则下列叙述正确的是( )
(A)若α∥β,则m∥n (B)若m∥n,则α∥β
(C)若n⊥α,则m⊥β (D)若m⊥β,则α⊥βD 4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在平面ABC上的射影H必在直线 上.?答案:AB5.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: (用序号表示).?答案:①③④?②(或②③④?①)题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用【例1】 (1)已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下面四个命题:
①m∥n,m⊥α?n⊥α;②α∥β,m?α,n?β?m∥n;③m∥n,m∥α?
n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β.
其中正确命题的序号是( )
(A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③课堂探究(1)解析:由线面垂直的性质定理可知①正确;对于②,当α∥β,m?α,
n?β时,m与n可能平行也可能异面,故②不正确;对于③,当m∥n,m∥α时,n∥α或n?α,故③不正确;对于④,由m∥n,m⊥α,得n⊥α,又α∥β,所以n⊥β,故④正确.故选C.(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点,
MN⊥平面A1DC.
求证:①MN∥AD1;(2)证明:①因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1,
所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,
所以MN∥AD1.②M是AB的中点.方法技巧 证明两条直线平行的方法常见的有:(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.即时训练1-1:如图所示,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作EF⊥SC交SC于点F.
(1)求证:AF⊥SC;证明:(1)因为SA⊥平面AC,BC?平面AC,所以SA⊥BC,
因为ABCD为矩形,所以AB⊥BC,
又SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB,所以BC⊥AE.
又SB⊥AE,BC∩SB=B,所以AE⊥平面SBC,所以AE⊥SC.
又EF⊥SC,AE∩EF=E,所以SC⊥平面AEF,所以AF⊥SC.(2)若平面AEF交SD于点G.求证:AG⊥SD.证明:(2)因为SA⊥平面AC,所以SA⊥DC,
又AD⊥DC,SA∩AD=A,
所以DC⊥平面SAD.
所以DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF,AG?平面AEF,
所以SC⊥AG,
又DC∩SC=C,
所以AG⊥平面SDC,所以AG⊥SD.1-2:下列命题:
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行;
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行;
③一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直.
其中正确的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②③均正确.故选D.题型二 平面与平面垂直的性质定理的应用【例2-1】 (12分)如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;规范解答:(1)如图所示,连接BD.
因为四边形ABCD是菱形,
且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,…………………2分
因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.…………………………3分
又因为平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.……………6分(2)求证:AD⊥PB.规范解答:(2)连接PG.
因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,
所以PG⊥AD.…………………………………7分
由(1)知BG⊥AD,
而PG∩BG=G,
PG?平面PBG,
BG?平面PBG.
所以AD⊥平面PBG.…………………………10分
又因为PB?平面PBG,
所以AD⊥PB.……………………………………12分【2-2】 如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,点E为垂足.
(1)求证:PA⊥平面ABC;证明:(1)如图,在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于点F.
因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,
所以DF⊥平面PAC.
因为PA?平面PAC,所以DF⊥PA.
作DG⊥AB于点G,同理可证DG⊥PA.
因为DG,DF都在平面ABC内,
且DG∩DF=D,所以PA⊥平面ABC.(2)当点E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.证明:(2)如图,连接BE并延长交PC于点H.
因为点E是△PBC的垂心,所以PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC,PC?平面PBC,所以PC⊥AE.
因为AE∩BE=E,所以PC⊥平面ABE.
又AB?平面ABE,所以PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC,
又AB?平面ABC,所以PA⊥AB.
因为PA∩PC=P,所以AB⊥平面PAC.
又AC?平面PAC,所以AB⊥AC,
即△ABC是直角三角形.方法技巧 利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.即时训练2-1:如图,平行四边形ABCD中,BD=2 ,AB=2,AD=4,将△BCD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.证明:因为AB=2,BD=2 ,AD=4,所以AB2+BD2=AD2,
所以AB⊥BD,
因为平面EBD⊥平面ABD,
平面EBD∩平面ABD=BD,
所以AB⊥平面EBD,
因为DE?平面EBD,
所以AB⊥DE.求证:AB⊥DE.2-2:如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.
(1)求证:BC⊥平面ACD;法二 取AC的中点O,连接OD,则OD⊥AC,
因为平面ADC⊥平面ABC,
平面ADC∩平面ABC=AC,DO?平面ACD,
所以DO⊥平面ABC,
所以OD⊥BC,又因为AC⊥BC,AC∩OD=O,
所以BC⊥平面BCD.(2)求几何体D-ABC的体积.题型三 线面、面面垂直的综合问题【例3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=
PC=4,AB=6,BC=3.
(1)证明:BC∥平面PDA;(1)证明:因为长方形ABCD中,BC∥AD,
又BC?平面PDA,AD?平面PDA,
所以BC∥平面PDA.(2)证明:BC⊥PD;(2)证明:取CD的中点H,连接PH,
因为PD=PC,所以PH⊥CD.
又因为平面PDC⊥平面ABCD,
平面PDC∩平面ABCD=CD,
所以PH⊥平面ABCD.
又因为BC?平面ABCD,所以PH⊥BC.
又因为长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,
所以BC⊥平面PDC.
又因为PD?平面PDC,所以BC⊥PD.(3)求点C到平面PDA的距离.方法技巧 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.即时训练3-1:如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,
EP⊥平面ABCD.证明:(1)在矩形ABCD中,
因为AP=PB,DQ=QC,
所以AP CQ.
所以AQCP为平行四边形.
所以CP∥AQ.
因为CP?平面CEP,AQ?平面CEP,
所以AQ∥平面CEP.(1)求证:AQ∥平面CEP;(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.证明:(2)因为EP⊥平面ABCD,AQ?平面ABCD,
所以AQ⊥EP.
因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形.
所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.
因为AQ?平面AEQ,
所以平面AEQ⊥平面DEP.3-2:如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为AB的中点,N为BC的中点,沿DE将△ADE折起.
(1)若平面ADE⊥平面BCDE,求证:AB=AC;证明:(1)取DE的中点M,连接AM,
因为在翻折前,四边形ABCD为矩形,AB=2AD,E为AB的中点,
所以翻折后AD=AE,则AM⊥DE,
又平面ADE⊥平面BCDE,所以AM⊥平面BCDE,
所以AM⊥BC,又N为BC的中点,所以MN⊥BC,
因为AM∩MN=M,
所以BC⊥平面AMN,所以BC⊥AN,
又N为BC的中点,所以AB=AC.(2)若AB=AC,求证:平面ADE⊥平面BCDE.证明:(2)由(1)设M是DE中点,因为N为BC的中点,
所以MN∥DC,又BC⊥DC,所以MN⊥BC,
又AB=AC,所以BC⊥AN,又MN∩AN=N,
所以BC⊥平面AMN,
所以BC⊥AM,由(1)知AM⊥DE,又DE与BC不平行,
所以AM⊥平面BCDE,又AM?平面ADE,
所以平面ADE⊥平面BCDE.点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！