1.1 空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.1.2 简单组合体的结构特征
1.下列命题中,正确的是( D )
(A)有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱
(B)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
(C)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形
(D)棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形
解析:根据棱柱的概念及性质可知D正确.
2.下面关于棱锥的说法正确的是( D )
(A)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
(B)底面是正多边形的棱锥是正棱锥
(C)正棱锥的侧棱不一定相等
(D)过棱锥的不相邻的两侧棱的截面是三角形
解析:由于A中缺少了定义中的“其余各面是有一个公共顶点的三角形”,故A不正确;由于正棱锥的概念中除了底面是正多边形外,还要求顶点在底面上的射影是底面的中心,否则就不是正棱锥,故B不正确;根据正棱锥的概念可知,正棱锥的侧棱长相等,故C不正确,D显然正确.
3.下列四个命题:
①圆柱是以矩形旋转一周所得的几何体;
②以直角三角形的一边为旋转轴,旋转所得几何体是圆锥;
③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交;
④圆锥的轴截面是等腰三角形.
其中错误命题的个数是( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①圆柱是以矩形的一边为轴旋转而成的,故①错;②圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转而成的,若是以斜边为轴旋转,则不能形成圆锥,故②错;③圆台的任意两条母线的延长线必相交,故③错;④因为圆锥的母线长相等,所以圆锥的轴截面是等腰三角形,故④对.
4.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为,侧棱长为1,则动点从A沿表面移到点D1时的最短的路程是( A )
(A)2 (B)28 (C)2 (D)24
解:如图所示.
将正六棱柱的侧面展开,只需展开一半,即可求A与D1之间的距离. A=AD2+D=(3)2+1=28.所以AD1=2.
5.如图所示,模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为( A )
(A)模块①②⑤ (B)模块①③⑤
(C)模块②④⑤ (D)模块③④⑤
解析:逐个选择检验可知,①②⑤符合要求.
6.如图所示,在三棱台ABCA′B′C′中,截去三棱锥A′ABC,则剩余部分是( B )
(A)三棱锥
(B)四棱锥
(C)三棱柱
(D)组合体
解析:剩余部分是四棱锥A′-BB′C′C,故选B.
7.在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的轴截面的面积为( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:如图所示,过点D作BC的垂线,垂足为点H.由旋转法的定义可知,该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥.因此其轴截面的面积为梯形ABCD面积的2倍,即S轴截面=2××(1+2)×1=3,故选C.
8.若圆台轴截面的两条对角线互相垂直,且上下底面半径之比为3∶4,又其高为14,则圆台的母线长为( C )
(A)8 (B)10 (C)20 (D)6
解析:如图所示,
由题可知=,
因为=,又h=14,所以OO1=6,OO2=8,
又BD⊥AC,所以△AOD,△BOC均为等腰直角三角形,
所以r=6,R=8,
所以母线长l===20.
9.在下面的四个平面图形中,哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图 .(填序号)?
解析:结合展开图与四面体,尝试折叠过程,可知①、②正确.
答案:①②
10.若正三棱锥的底面周长为9,侧棱长为2,则该棱锥的高为 .?
解析:由题意得,正三棱锥的底面边长为=3,又三棱锥为正三棱锥,顶点P在底面上的射影为底面△ABC的中心O,且AO=3sin 60°×=,
所以三棱锥的高h===1.
答案:1
11.如图中的组合体的结构特征有以下几种说法:
(1)由一个长方体割去一个四棱柱构成.
(2)由一个长方体与两个四棱柱组合而成.
(3)由一个长方体挖去一个四棱台构成.
(4)由一个长方体与两个四棱台组合而成.
其中正确说法的序号是 .?
解析:本题中的组合体可以看成是一个大的长方体割去一个四棱柱构成,也可以看成是一个小的长方体在肩上加两个四棱柱组合而成.
答案:(1)(2)
12.如图,在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是 .?
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③三个面为等腰直角三角形,一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
解析:①正确,如四边形A1D1CB为矩形;②错误,任意选择4个顶点,若组成一个平面图形,则必为矩形,如四边形ABCD为正方形,四边形A1D1CB为矩形;③正确,如四面体AA1BD;④正确,如四面体A1C1BD;⑤正确,如四面体B1ABD.
答案:①③④⑤
13.在如图所示的三棱柱中放置着高为h的水,现将三棱柱倒放,使面ACC1A1着地,则此时水所形成的几何体是棱柱吗?为什么?
解:是棱柱,如图所示,这是因为将平面ACC1A1着地,上面的水平面为DD1E1E,则水所形成的几何体为四棱柱ADECA1D1E1C1,其中面ADEC与面A1D1E1C1平行,且全等,侧面AA1D1D,DD1E1E,CC1E1E,AA1C1C分别为平行四边形,故水所形成的几何体为棱柱.
14.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和 25π cm2.求:
(1)圆台的高;
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
解:(1)如图所示,圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,由已知,得上底面半径O1A=2 cm,下底面半径OB=5 cm,又腰长为12 cm,所以高AM= =3(cm).
(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l.
由△SAO1∽△SBO,得=.
所以l=20(cm).
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
15.如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:
(1)三棱柱侧面展开图的对角线长;
(2)从B经过M到C1的最短路线长及此时的值.
解:沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形BB1B1′B′(如图所示).
(1)矩形BB1B1′B′的长BB′=3×2=6,宽BB1=2,
所以三棱柱侧面展开图的对角线长为
BB1′==2.
(2)由侧面展开图可知:当B,M,C1三点共线时,由B经M到点C1的路线最短,
所以最短路线长为BC1==2.
显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M,
所以A1M=AM,即=1.
16.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( C )
(A)①是棱台 (B)②是圆台
(C)③是棱锥 (D)④不是棱柱
解析:图①中的几何体不是由棱锥截来的,且上、下底面不是相似的图形,所以①不是棱台;
图②中的几何体上、下两个面不平行,所以②不是圆台;
图③中的几何体是棱锥.
图④中的几何体前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的公共边平行,所以④是棱柱.
故选C.
17.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AA1=,点E为AB上的动点,则D1E+CE的最小值为( B )
(A)2
(B)
(C)+1
(D)2+
解析:如图,将正方形ABCD沿AB向下旋转到对角面ABC1D1内,记为正方形ABC2D2.
在矩形C1D1D2C2中连接D1C2,与AB的交点为E,此时D1E+CE取得最小值,最小值为D1C2.因为BC1==2,所以C1C2=3,故D1C2== =.
18.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,DD1的中点为Q,过A,Q,B1三点的截面面积为 .?
解析:截面是如图所示的等腰梯形QEB1A,经过C1D1的中点E.
因为EQ=,AB1=,AQ=B1E=,
所以该梯形的高为,
所以截面面积为S=×(+)×=.
答案:
19.下列四个平面图形都是正方体的展开图,还原成正方体后,数字排列规律完全一样的两个是 (填序号).?
解析:将平面展开图还原成正方体,易得(2)(3)的数字排列规律完全一样.
答案:(2)(3)
20.如图,圆台的母线AB的长为20 cm,上、下底面的半径分别为5 cm, 10 cm,从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.
解:作出圆台的侧面展开图,如图所示,
由Rt△OPA与Rt△OQB相似,
得=,即=,
解得OA=20 cm,所以OB=40 cm.
设∠BOB′=α,由弧BB′的长与底面圆Q的周长相等,
得2×10×π=π·OB·,解得α=90°.
所以在Rt△B′OM中,B′M2=OB′2+OM2=402+302=502,
所以B′M=50 cm.即所求绳长的最小值为50 cm.
点评:空间中直接求曲线的最长(短)距离不易解决,但平面中求距离的最值问题比较容易,因此将空间问题转化成平面问题是解决本类题的常用方法.本题要实现转化,只需将圆台侧面展开即可.
课件37张PPT。1.1 空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
1.1.2 简单组合体的结构特征课标要求:1.了解多面体、旋转体以及简单组合体的概念及特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的概念.3.概括并掌握柱体、锥体、台体、球的概念及结构特征,并能利用这些特征来判断、描述现实生活中的实物模型.自主学习知识探究1.空间几何体的分类平面多边形它所在平面内封闭几何体多边形公共边定直线棱与棱2.柱体的结构特征ABCD-A′B′C′D′平行四边形平行两个互相平行 其余各面公共边公共顶点矩形的一边轴垂直于轴平行于轴母线柱体圆柱OO′3.锥体的结构特征多边形三角形多边形面三角形面公共顶点公共边S-ABCD一条直角边锥体圆锥SO探究1:(教师备用)根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形;
(2)由五个面围成,其中一个面是正方形,其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形.答案:(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形,可满足每相邻两个面的公共边都相互平行,故该几何体是六棱柱.
(2)该几何体的其中一个面是四边形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点,因此该几何体是四棱锥.4.台体的结构特征平行于棱锥底面底面截面ABCD-A′B′C′D′平行于圆锥底面截面台体圆台OO′圆台5.球的结构特征直径球体球球心半径直径球O6.简单组合体的结构特征
(1)简单组合体:由 组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成有两种基本形式:
①由简单几何体 而成;
②由简单几何体 一部分而成.简单几何体拼接截去或挖去探究2:(教师备用) 如图所示,将一个直角三角形绕其一边旋转,得到的几何体是什么?答案:如图所示.
绕任一直角边旋转,都将得到一个圆锥,但是底面半径不同,分别是BC,AB,母线长都是斜边AC.
绕其斜边AC旋转,得到的是一个组合体,由两个同底面的圆锥组成.自我检测(教师备用)D 1.下列几何体是棱柱的有( )(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个2.如图是由哪个平面图形旋转得到的( )D 3.下列命题中正确的有( )
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面;②圆柱不是旋转体;③以半圆围绕直径旋转半周得到一个球;④圆台的轴截面是等腰梯形.
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个B 4.用平行于底面的平面去截一个四棱锥,得到的两个几何体分别是 .
, .?答案:四棱锥 四棱台5.根据图中所给的图形制成几何体后,哪些点重合在一起?解:展开图折叠后复原的几何体,可知J与N;A,M与D;H与E;G与F;B与C重合在一起.题型一 简单几何体的结构特征【例1】 (1)(2016·嘉兴市一中期中)下列命题中,正确的命题是( )
①有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
③有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
④四面体都是三棱锥.
(A)②④ (B)①② (C)①②③ (D)②③④课堂探究解析:(1)①错误;反例:将两个相同的斜平行六面体叠放;②正确,在长方体中可以截出;③错误,侧棱可能无法聚成一点;④正确.故选A.(2)下列叙述正确的是( )
(A)直角三角形围绕一边旋转而成的几何体是圆锥
(B)用一个平面截圆柱,截面一定是圆面
(C)圆锥截去一个小圆锥后,剩下的是一个圆台
(D)通过圆台侧面上一点有无数条母线解析:(2)直角三角形绕斜边所在直线旋转形成的是两个对底的圆锥,为组合体,故A错;用平行于底面的平面去截圆柱,截面才是圆面,故B错.通过圆台侧面上一点有且只有一条母线,故D错.C正确.选C.方法技巧 准确理解几何体的定义,把握几何体的结构特征,并且学会通过举反例进行辨析.即时训练1-1:(1)下列说法中正确的是( )
(A)顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正棱锥
(B)底面是正三角形,各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
(C)底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥
(D)底面是正三角形,并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥解析:(1)选项A,到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心,该三角形不一定为正三角形,故A错;选项B,如图所示,△ABC为正三角形,若PA=PB =AB=BC=AC≠PC,△PAB,△PBC,△PAC都为等腰三角形,但它不是正三棱锥,故B错;选项C,顶点在底面面上的射影为底面三角形的垂心,底面为任意三角形皆可,故C错;选项D,顶点在底面上的射影是底面三角形的外心,又
底面三角形为正三角形,因此,外心即中心,故D正确.故选D.(2)(2016·山东临沂高一检测)下列命题正确的是( )
(A)圆柱的轴是经过圆柱上、下底面圆的圆心的直线
(B)圆柱的母线是连接圆柱上底面和下底面上一点的直线
(C)矩形较长的一条边所在的直线才可以作为旋转轴
(D)矩形绕任意一条直线旋转,都可以围成圆柱解析:(2)由圆柱的定义和有关概念可知,A正确;圆柱的母线必须在侧面上且垂直于底面,所以B不正确;矩形的任意一条边所在的直线都可以作为旋转轴,C错误;矩形绕任意直线旋转不一定形成圆柱,因此D错误,故选A.题型二 折叠与展开问题【例2】 (1)如图所示平面图形沿虚线折起后,①为 ,②
为 ,③为 .?(1)解析:由图①知几何体各侧面是矩形,底面为四边形.该几何体是四棱柱;由图②知几何体各侧面是三角形,底面是三角形,该几何体是三棱锥;由图③知几何体侧面是三角形,底面为四边形,故该几何体是四棱锥.答案:四棱柱 三棱锥 四棱锥(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.方法技巧 (1)对于所给展开图发挥空间想象力,若想象力不足,应当动手折纸做实验.(2)对于给出的几何体的展开图,应当给顶点标上字母,先把底面画出来,再依次画出侧面,还原出几何体的形状.即时训练2-1:如图底面半径为1,高为2的圆柱,在A点有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点,则蚂蚁爬行的最短距离是 .?2-2:如图是一多面体的展开图,每个面内都给了字母,请根据要求回答问题:
(1)如果A在多面体的底面,那么哪一面会在上面?
(2)如果面F在前面,从左边看是面B,那么哪一个面会在上面?
(3)如果从左边看是面C,面D在后面,那么哪一个面会在上面?解:(1)如果A在多面体的底面,那么F在上面.
(2)如果面F在前面,从左边看是面B,若是向外折,则C会在上面;若是向里折,则E会在上面.
(3)如果从左边看是面C,面D在后面,若是向外折,则F会在上面;若是向里折,则A会在上面.题型三简单组合体的结构特征【例3】 (1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )解:(1)A.(2)如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?解:(2)旋转后的图形草图分别如图(1),(2)所示.
其中图(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图(2)是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的.变式探究:(1)(变换条件)若将典例(1)选项B中的平面图形旋转一周,想象并说出它形成的几何体的结构特征.解:(1)①是直角三角形,旋转后形成圆锥;②是直角梯形,旋转后形成圆台;③是矩形,旋转后形成圆柱,所以旋转后形成的几何体如图所示.通过观察可知,该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的.(2)若将典例(1)选项B中的图形改为以下面的底边所在直线为轴旋转一周,说出它形成的几何体的结构特征.解:(2)可把原图看成由①,②两部分构成,即大梯形挖去一个小梯形,则旋转一周后得到一个大圆台挖去一个以大圆台上底面为下底面的小圆台组合而成.方法技巧 不规则平面图形旋转形成的几何体的结构特征的分析策略
(1)分割:首先要对原平面图形适当分割,一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形.(2)定形:然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.即时训练3-1:某奖杯的形状如图,说出它的结构特征.解:该奖杯是由球、四棱柱、四棱台三个几何体拼接而成.3-2:如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1上、下底面中心分别为O1,O2,将正方体绕直线O1O2旋转一周,其中由线段BC1旋转所得图形是( )3-3:一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为
(只填写序号).?解析:当截面与正方体的一面平行时,截面图形如①,
当截面不与正方体的一面平行,截面图形如②③.
答案:①②③点击进入 课时作业谢谢观赏！
