课件33张PPT。章末总结网络建构一、空间几何体的结构特征【典例1】 (1)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个竖直的平面去截这个组合体,则截面图形可能是( )
(A)①② (B)①③ (C)①④ (D)①⑤主题串讲(1)解析:一个圆柱挖去一个圆锥后,剩下的几何体被一个竖直的平面所截,圆柱的截面图形是矩形除去一条边,圆锥的截面图形是三角形除去一个条边或抛物线的一部分.故选D.(2)根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
①由六个面围成,其中一个面是正五边形,其余各面是有公共顶点的三角形;
②一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形;
③一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.(2)解:①由棱锥的几何特点知几何体是五棱锥.
②两底边中点的连线与两底垂直,因此旋转得到的几何体是圆台.
③绕较长的底边所在直线旋转一周形成的几何体是一圆柱与一圆锥组成的组合体.规律方法 有关空间几何体的概念辨析问题,要紧紧围绕基本概念、结构特征逐条验证,且勿想当然做出判断.二、空间几何体的三视图与直观图
【典例2】 (1)在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如图所示,则侧视图为( )解析:(1)由正视图、俯视图可知该几何体由半圆锥与三棱锥构成,且有共同的顶点,中间的线是可以看得到的为实线,所以侧视图为D项.答案:(1)D(2)如图所示为水平放置的△ABC在坐标系中的直观图,其中D′是A′C′的中点,且∠ACB≠30°,∠BAC≠30°,则原图形中与线段BD的长相等的线段有 条.?解析:(2)由斜二测画法可知,原图形为直角三角形,且∠B=90°,又D为AC的中点,由直角三角形的性质可知,
BD=AD=DC,即与BD的长度相等的线段有2条.答案:(2)2规律方法 (1)由三视图还原几何体时,要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征,想象整个几何体的特征,从而判断三视图所描述的几何体.(2)有关直观图的计算问题,关键是把握直观图与原图形的联系.三、空间几何体的体积与表面积
【典例3】 (1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )(A)8+2 (B)11+2
(C)14+2 (D)15(2)有一几何体的三视图如图,则该几何体体积为( )(A)4+ (B)4+
(C)4+ (D)4+π(3)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r等于( )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:(3)由已知可知,该几何体的直观图如图所示,其表面积为2πr2+ πr2+4r2+2πr2=5πr2+4r2.由5πr2+4r2=16+20π,得r=2.故选B.规律方法 由几何体的三视图求几何体的体积、表面积问题,一般情况下先确定几何体的结构特征,再由三视图中的数据确定几何体中的相关数据,代入公式求解即可.四、球与其他几何体的组合问题
【典例4】 (1)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为( )
(A)4π(r+R)2 (B)4πr2R2
(C)4πrR (D)π(R+r)2解析:(1)如图所示是球与圆台的轴截面,过点D作DE⊥BC,垂足为点E,答案:(1)C规律方法 (1)与球有关的组合体,一种是内切,一种是外接,解题时要认真分析图形,充分发挥空间想象能力,做到以下几点:
①明确切点和接点的位置;
②确定有关元素间的数量关系;
③作出合适的截面图.
(2)一般地,作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素,能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系,将立体问题转化为平面问题解决.五、易错题辨析
【典例5】 如图所示是正四棱台(上、下底面都是正方形,且上、下底面的中心的连线垂直于上、下底面)ABCD-A1B1C1D1的三视图.根据图中所给数据,求这个正四棱台的侧面积.错因分析:正四棱台的正视图与侧视图的高是正四棱台的高,但不是其侧面梯形的高.上面的解法由于对三视图认识不到位而导致错误.正解:正四棱台的直观图如图所示.【典例6】 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的表面积为 m3.?错因分析:解答本题失误的主要原因是未减去圆锥与圆柱重叠部分的面积造成了重复计算.真题体验1.(2017·浙江卷,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )
A 2.(2017·全国Ⅱ卷,理4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
(A)90π (B)63π
(C)42π (D)36πB 解析:由三视图可知,该几何体下半部分是高为4,半径为3的圆柱,上半部分是高为6,半径为3的圆柱的一半,所以其体积为π×32×4+ × π× 32×6=36π+27π=63π.故选B.3.(2017·全国Ⅲ卷,理8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )B 4.(2017·全国Ⅰ卷,理7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )B (A)10 (B)12
(C)14 (D)165.(2017·北京卷,理7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )B 解析:由四棱锥的三视图可知,该四棱锥的直观图(正方体的一部分)如图所示.点击进入 检测试题谢谢观赏！第一章 空间几何体 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.下列说法正确的是( D )
(A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
(C)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
(D)九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形
解析:选项A,B都不正确,反例如图所示.选项C也不正确,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.
2.有一个正三棱锥和一个正四棱锥,它们所有的棱长都相等,把这个三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上,则所得到的这个几何体是( D )
(A)底面为平行四边形的四棱柱
(B)五棱锥
(C)无平行平面的六面体
(D)斜三棱柱
解析:正三棱锥ABEF和正四棱锥BCDEF的一个侧面重合后,平面BCD和平面AEF平行,其余各面都是四边形,故该组合体是斜三棱柱.
3.如图,△ABC为正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC, 3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体ABCA′B′C′的正视图是( D )
解析:由题知AA′4.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形,其中O′A′=2,∠B′A′O′=45°,B′C′∥O′A′.则原平面图形的面积为( A )
(A)3 (B)6
(C) (D)
解析:因为O′A′=2,∠B′O′A′=∠B′A′O′=45°,所以O′B′=,又B′C′∥O′A′,所以∠C′B′O′=45°,∠O′C′B′=90°,所以B′C′=1,所以原图形为梯形,其上底为1,下底为2,高为2,所以S==3.
5.已知长方体的表面积是24 cm2,过同一顶点的三条棱长之和是6 cm,则它的体对角线长是( D )
(A) cm (B)4 cm
(C)3 cm (D)2 cm
解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,
由题意可知,2(ab+bc+ac)=24,①
a+b+c=6,②
②2-①可得a2+b2+c2=12,
所以长方体的体对角线的长为==2,故选D.
6.一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),那么此几何体的表面积(单位:cm2)是( C )
(A)102 (B)128 (C)144 (D)184
解析:由三视图知几何体为正四棱锥,且底面正方形的边长为8,斜高为5,其直观图如图,
所以几何体的表面积S=82+4××8×5=144.故选C.
7.若圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V1和V2,则V1∶V2等于( C )
(A)3∶2 (B)2∶1 (C)3∶1 (D)1∶1
解析:因为V1=S底·h,V2=S底·h,所以V1∶V2=3∶1.故选C.
8.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( C )
(A)8 cm3 (B)12 cm3 (C) cm3 (D) cm3
解析:该几何体的体积V=V四棱柱+V四棱锥,故V=23+×22×2=(cm3).
9.某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)( A )
(A) (B)
(C) (D)
解析:由三视图知,原工件为圆锥,
要使正方体新工件的体积最大,
则正方体下底面在圆锥底面上,
上底面是平行于圆锥底面的截面圆的内接正方形,过正方体的顶点作轴截面如图,
且AB为上底面正方形的对角线,设正方体的棱长为a,
则AB=a,又圆锥的高为=2,
所以=,
得a=,
正方体体积为V=a3=,
圆锥的体积为×π×12×2=,
故原工件的材料利用率为=,选A.
10.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE和△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,则三棱锥PDCE的外接球的体积为( C )
(A) (B)
(C) (D)
解析:因为ABCD为等腰梯形,AB=2DC,E为AB的中点,所以AD=DE= CE=BC,又∠DAB=60°,所以△ADE,△DCE,△CEB均为边长为1的正三角形,故翻折后的三棱锥PDCE为正四面体,其高PO1==,设球的半径为R,所以R2=(-R)2+()2,得R=,所以V=π.故选C.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
11.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于
cm3,表面积等于 cm2.?
解析:根据三视图画出几何体,
显然是将一个长方体割去两个三棱锥,
所以体积V=--=2×2×4-××2×2×2-× ×2×2×2=(cm3).
S表面积=2×4×2+×2×2×2+×4×2×2+×2××2=(28+ 4) cm2.
答案: (28+4)
12.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧,则该几何体的表面积为 ,体积为 .?
解析:由已知中的三视图可得该几何体为柱体,
底面面积为1×1-π=1-,
底面周长为1+1+π,柱体的高为1,故该几何体的表面积S=2×(1-)+(1+1+π)×1=4.
体积为(1-)×1=1-.
答案:4 1-
13.一个空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则侧视图的面积为 cm2,该几何体的体积为 cm3.?
解析:该几何体的直观图为半个圆锥和一个三棱锥,侧视图是底边长为2 cm,高为1 cm的三角形,
所以面积为1 cm2,空间几何体的体积为×1×1+××π×12×1= (+) cm3.
答案:1 (+)
14.已知三棱锥OABC中,OA,OB,OC两两互相垂直,OC=1,OA=x,OB=y,且x+y=4,则此三棱锥体积的最大值是 .?
解析:由题意可知该三棱锥的体积为
×xy×1=x(4-x)=-(x-2)2+.
由于0答案:
15.如图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是 .?
解析:作出直观图如图所示,由题意计算得到BG=4,AF=CD=3,
AG=CG=5,比较可得任意两个顶点间距离的最大值是3.
答案:3
16.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则正方体的体积为 ,这个球的体积为 .?
解析:设正方体的棱长为a,则6a2=18,
所以a=.
所以正方体的体积为3.
设球的半径为R,则由题意知2R==3,
所以R=.
故球的体积V=πR3=π×()3=π.
答案:3 π
17.如图,网格纸上小正方形的边长为2,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面的面积的最大值为 .?
解析:构造棱长为2的正方体,由三视图,可知该几何体为如图所示的三棱锥PABC,其中点A为相应棱的中点.因为S△ABC=S△PAB=×1×2=1,
S△PBC=×(2)2=2,
S△PAC=×PC×=×2×=.
因为2>>1,
所以该几何体的各个面的面积的最大值为2.
答案:2
三、解答题(本大题共5小题,共74分)
18.(本小题满分14分)
已知某几何体的三视图如图所示.
(1)画出该几何体的直观图;
(2)求该几何体的表面积.
解:(1)几何体的直观图如图.
(2)由(1)知该几何体是底面边长为4,高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体,易求得棱锥的斜高h′=2,其表面积S=42+4×4× 2+(×4×2)×4=48+16.
19.(本小题满分15分)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=12,BC=10, AA1=8,过点A1,D1的平面α与棱AB和CD分别交于点E,F,四边形A1EFD1为正方形.
(1)在图中请画出这个正方形(不必写作法),并求AE的长;
(2)问平面α右侧部分是什么几何体,并求其体积.
解:(1)正方形A1EFD1如图所示.
因为A1E=A1D1=AB=10,A1A=8,
在Rt△A1AE中,由勾股定理知AE=6.
(2)平面α右侧部分几何体是以A1EBB1为底面的直四棱柱,
由棱柱体积公式得V=×(6+12)×8×10=720.
20.(本小题满分15分)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m).
(1)试画出它的直观图;
(2)求它的表面积和体积.
解:(1)直观图如图所示.
(2)由(1)直观图可知该几何体是长方体被截去一个角得到的,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的.
在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1,垂足为E,则AA1EB是正方形,
所以AA1=BE=1.
在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1,
所以BB1=.
所以几何体的表面积S=+2++S正方形ABCD+ =1+2×(1+2)×1+1×+1+1×2=(7+)m2.
体积V=×1×2×1=(m3).
所以该几何体的表面积为(7+)m2,体积为 m3.
21.(本小题满分15分)
有一个倒圆锥形的容器,它的轴截面是正三角形,在这个容器内注入水,并且放入一个半径是r的钢球,这时球面恰好与水面相切,那么将球从圆锥形容器中取出后,水面高是多少?
解:如图,作出截面,因轴截面是一个正三角形,根据切线的性质知当球在容器内时,水面的深度为3r,水面半径为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π·(r)2·3r-πr3=πr3.将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为,从而容器内水的体积为
V′=π··h=πh3,
由V=V′,
可得h=r.
22.(本小题满分15分)
已知圆柱OO1的底面半径为2,高为4.
(1)求从下底面圆周上一点出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长;
(2)若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一,求截面 面积;
(3)在(2)的条件下,设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ,较大部分为Ⅱ,求VⅠ∶VⅡ(体积之比).
解:(1)将侧面沿过该点的母线剪开铺平得到一个矩形,邻边长分别是4π和4,
则从下底面圆周上一点出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长4.
(2)连接OA,OB,因为截面ABCD将底面圆周截去,
所以∠AOB=90°,
因为OA=OB=2,
所以AB=2,
而截面ABCD是矩形且AD=4,
所以S矩形ABCD=8.
(3)依题知V圆柱=Sh=16π,
三棱柱AOBDO1C的体积是8,
则VⅠ+8=V圆柱=4π,
所以VⅠ=4π-8,
而VⅡ=V圆柱-VⅠ=12π+8,
于是VⅠ∶VⅡ=.
