1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图
1.已知某图形中的直线或线段不平行于投影线.关于其平行投影的性质,下列说法不正确的是( B )
(A)直线或线段的平行投影仍是直线或线段
(B)平行直线的平行投影是平行的直线
(C)与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等
(D)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的长度比等于这两条线段的长度比
解析:平行直线的平行投影可能重合,B不正确.故选B.
2.已知一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的组成为( C )
(A)上面为棱台,下面为棱柱
(B)上面为圆台,下面为棱柱
(C)上面为圆台,下面为圆柱
(D)上面为棱台,下面为圆柱
解析:结合图形分析知上为圆台,下为圆柱.
3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( D )
4.如图,点O为正方体ABCDA′B′C′D′的中心,点E为面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是( D )
解析:由题意知光线从上向下照射,得到C,
光线从前向后照射,得到A.
光线从左向右照射得到B.故空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是D,故选D.
5.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是( A )
(A) (B)2 (C)1 (D)2
解析:由三视图可知该几何体是三条棱两两垂直的三棱锥,其最大面为边长为2的正三角形.最大面的面积为×22=.故选A.
6.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为2的正三角形,俯视图是正方形,那么该几何体的侧视图的面积是( A )
(A) (B)2 (C)4 (D)2
解析:根据三视图可知该几何体是一个四棱锥,其底面是正方形,侧棱相等,所以这是一个正四棱锥.其侧视图与正视图是完全一样的正三角形.故其面积为×22=.选A.
7.如果用表示1个立方体,用表示两个立方体叠加,用表示3个立方体叠加,那么如图中由7个立方体摆成的几何体,从正前方观察,可画出平面图形是( B )
解析:由题意和题图可知,左边和右边各为一个正方体,用表示,当中为三个正方体,用表示,上面为两个正方体,用表示,所以答案B是符合题意的,故选B.
8. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其大致图形如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.其实际图形中四边形不存在,当其正视图和侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是( A )
(A)a,b (B)a,c
(C)c,b (D)b,d
解析:因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).
所以其正视图和侧视图是一个圆,
因为俯视图是从上向下看,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,
所以俯视图是含2条对角线且为实线的正方形,
故选A.
9.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体为 .?
解析:由正视图,侧视图为等腰梯形,而俯视图为正六边形,所以该几何体为底面是正六边形的六棱台.
答案:六棱台
10.如图是某个圆锥的三视图,则俯视图中的圆的面积为 ,圆锥的母线长为 .?
答案:100π 10
11.若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是 和 .?
解析:由侧视图可知,三棱柱的高为2,底面正三角形的高为2,设底面边长为a,则由a=2得a=4.
答案:2 4
12.在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,D1C1上的动点,点G为正方形B1BCC1的中心.则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中,面积的最大值为 .?
解析:如图,
若投影投在AA1D1D或BB1C1C平面上,投影面积由E点确定,最大面积为8,E与A1重合时取最大面积;
若投影投在ABCD或A1B1C1D1平面上,投影面积由F点确定,最大面积为8,F与D1重合时取最大面积;
若投影投在ABB1A1或DD1C1C平面上,投影面积由E点与F点确定,当E与A1,F与C1重合时,可得最大面积,G投在BB1的中点,是个直角梯形S==12.
综上面积最大值为12.
答案:12
13.如图是一些立体图形的视图,但观察的方向不同.下列各图可能是哪些立体图形的视图?
解:图(1)可能为球、圆柱,
图(2)可能为棱锥、圆锥、三棱柱,
图(3)可能为圆柱、正四棱柱.
14.如图,在四棱锥PABCD中,底面为正方形,PC与底面ABCD垂直,如图为该四棱锥的正视图和侧视图,它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形.
(1)根据图所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积;
(2)求PA.
解:(1)该四棱锥的俯视图如图所示(内含对角线),边长为6 cm的正方形,如图,其面积为36 cm2.
(2)由侧视图可求得PD===6.
由正视图可知AD=6,且AD⊥PD,
所以在Rt△APD中,
PA===6(cm).
15.用小立方体搭成一个几何体,使它的正视图和俯视图如图所示,搭建这样的几何体,最多要几个小立方体?最少要几个小立方体?
解:由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字,因此,用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字,即如图①所示,此种情况共用小立方块17块.
① ②
而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字,其他方框内的数字可减少到最少的1,即如图②所示,这样的摆法只需小立方块11块.
16.用若干个棱长为1的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都是如图所示,对这个几何体,下列说法正确的是( D )
(A)这个几何体的体积一定是7
(B)这个几何体的体积一定是10
(C)这个几何体的体积的最小值是6,最大值是10
(D)这个几何体的体积的最小值是5,最大值是11
解析:由正视图、侧视图可知,上部分一定是两个小正方体,下部分最多可以是9个小正方体,最少是3个小正方体,所以这个几何体的体积的最小值是5,最大值是11.故选D.
课件30张PPT。1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图课标要求:1.了解中心投影与平行投影.2.能画出简单的空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型.自主学习知识探究1.中心投影及其相关概念2.平行投影及其相关概念3.三视图及其相关概念4.简单组合体的三视图
画组合体的三视图的一般步骤如下:
(1)形体分析:组合体比基本几何体复杂,但它来源于基本几何体,只需先分析组合形式,把组合体分解为基本几何体,再按一个一个基本几何体画图,就可以画出组合体的三视图.
(2)选出正视图:摆放组合体,应选择最能反映组合体形状特征的方向为正视图的投影方向,其他视图就按正视图投影关系画出.
(3)确定画图步骤:一般先画出各视图的主要对应元素,按先整体后局部的顺序进行.自我检测(教师备用)1.已知△ABC,选定的投影面与△ABC所在的平面平行,则经过中心投影后(投影线与投影面相交)所得的三角形与△ABC( )
(A)全等 (B)相似
(C)不相似 (D)以上均有可能
2.在三棱锥、正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台、球中,正视图、俯视图、侧视图都相同的几何体有( )
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个B B 3.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )D 4.一个简单几何体的正视图,侧视图如图所示,则其俯视图不可能为( )
(A)长方形 (B)直角三角形
(C)圆 (D)椭圆C 5.有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个( )
(A)棱台 (B)棱锥
(C)棱柱 (D)正四面体答案:9π 4A 题型一 简单几何体的三视图【例1-1】 画出如图所示的正三棱柱、正四棱锥和正五棱台的三视图.课堂探究解:如图几何体对应的三视图分别为
(1),(2),(3)图所示.【1-2】 如图,画出四面体AB1CD1的正视图,则得到的正视图可以为( )解析:根据投影及正视图的概念,可知A符合.故选A.方法技巧 画几何体的三视图时需注意的问题
(1)确定正视的方向,同一物体观察的角度不同,所画的三视图可能不同;
(2)注意辨析分界线,以及轮廓线的实与虚;
(3)正确摆放三个视图的位置.即时训练1-1:(1)定义:底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱.将正三棱柱截去一个角(如图1所示,M,N分别是AB,BC的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图为( )解析:(1)N的投影是C,M的投影是AC的中点.对照各图.选D.答案:(1)D(2)一个几何体的三视图如图所示,则俯视图的面积是 .?解析:(2)由题意得a× = ,所以a=2.
所以俯视图的面积S=3×2=6.答案:(2)61-2:三棱锥D-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱BD的长为 .?题型二 简单组合体的三视图【例2-1】 如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图.(单位:cm)解:三视图如图:【2-2】 如图所示的是由几个小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数.请画出该几何体的正视图和侧视图,并在其上标出小正方体的个数,求出所有小正方体的个数.解:可先根据几何体的俯视图、小正方体的个数想象或画出几何体,再根据几何体的结构特征画出其正视图及侧视图.
正视图及侧视图如图所示.小正方体的个数为1+2+4+3+2=12.方法技巧 画简单组合体的三视图,首先确定组合体的组成形式,然后确定每个组成部分,最后画出三视图.若相邻两个几何体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要将分界线按虚(或实)线画出.即时训练2-1:一根钢管如图所示,则它的三视图为( )解析:该几何体是由圆柱中挖去一个圆柱形成的几何体,三视图为B.2-2:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上部分,则剩余几何体的正视图为( )解析:设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,则F是棱DD1的中点,截去正方体的上部分,剩余几何体的直观图如图所示,则其正视图为C.故选C.题型三由三视图还原几何体【例3-1】 如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的实物图是( )解析:根据三种视图的对角线的位置,可以判断A是正确的.故选A.变式探究:本例中三视图对应的几何体是一个什么样的组合体?解:因为实物图为A,所以该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的.【3-2】 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )(A)10 (B)12
(C)14 (D)16方法技巧 (1)根据三视图还原几何体,要仔细分析和认真观察三视图并进行充分的想象,然后综合三视图的形状,从不同的角度去还原.(2)通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体,再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征,最终确定是简单几何体还是简单组合体.即时训练3-1:如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体是( )
(A)三棱锥 (B)三棱柱
(C)四棱锥 (D)四棱柱解析:构造棱长为4的正方体,由三视图,可知该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中点P,B分别为相应棱的中点,故选A.3-2:已知某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形,给出下列图形:解析:结合题中所给俯视图,可知几何体可以为圆柱挖去一个小圆柱,圆柱挖去正方体,正方体挖去圆柱,正方体挖去底面为等腰直角三角形的直三棱柱等,所以①②③⑤都可作为俯视图.几何体不可能是正方体挖去一个底面为等边三角形的直三棱柱,故④不可能.故选B.其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是( )
(A)5 (B)4 (C)3 (D)23-3:某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )解析:该几何体是底面为正方形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,最长棱的棱长为 = ,故选C.(A)1 (B) (C) (D)2点击进入 课时作业谢谢观赏！
