1.2.3 空间几何体的直观图
1.利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图一定是三角形;
②正方形的直观图一定是菱形;
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;
④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的是( B )
(A)①② (B)①
(C)③④ (D)①②③④
解析:①正确.②正方形的直观图是平行四边形.③等腰梯形的直观图是梯形.④菱形的直观图是平行四边形.选B.
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于( D )
(A)45° (B)135°
(C)90° (D)45°或135°
解析:由斜二测画法知,平行于坐标轴的线段仍平行于x′,y′轴,故∠A′为45°或135°.选D.
3.用斜二测画法画出长为6,宽为4的矩形水平放置的直观图,则该直观图面积为( C )
(A)12 (B)24 (C)6 (D)12
解析:因为原矩形的面积S=6×4=24,所以其直观图的面积为24×= 6.
4.如图,△A′O′B′为水平放置的△AOB的直观图,且O′A′=2,
O′B′=3,则△AOB的周长为( A )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)7
解析:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,底面边长OB=3,高OA=2O′A′=4,AB=5,
所以直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.
5.在如图所示的平面直角坐标系中,均为边长为1的正三角形ABC,它们的直观图不是全等三角形的一组是( C )
解析:由于在直观图中原来平行于x轴(或在x轴上)的线段的长度不变,而原来平行于y轴(或在y轴上)的线段的长度变为原来的一半,故选项C第二个图中线段AB的长度改变了,而第一个图中线段AB的长度不变,所以两个三角形的直观图不是全等的.故选C.
6.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( A )
解析:根据已知中的三视图,结合三视图中有两个三角形即为锥体,有两个矩形即为柱体,有两个梯形即为台体,将几何体分解为简单的几何体分析后,即可得到答案A.
7.如图所示,△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图,A′B′在x′轴上,B′C′与x′轴垂直,且B′C′=3,则△ABC的边AB上的高为( A )
(A)6 (B)3 (C)3 (D)3
解析:过C′作C′D′∥y′轴,交x′轴于D′,则∠C′D′B′=45°,因为B′C′=3,所以C′D′=3,在原△ABC中,CD⊥AB,且CD=2C′ D′=6.
8.一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形,则原三角形的面积是( C )
(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2
解析:因为S△A′B′C′=a2sin 60°=a2,
所以S△ABC=2S△A′B′C′=a2.
9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰为,上底面为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 .?
解析:如图所示,由已知斜二测直观图根据斜二测画法画出原平面图形,所以BC=B′C′=1,
OA=O′A′=1+1+1=3,OC=2O′C′=2,所以这个平面图形的面积为×(1+3)×2=4.
答案:4
10.如图所示为一个水平放置的正方形ABCO在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为 .?
解析:点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d,
而O′A′=OA=1,∠C′O′A′=45°,所以d=O′A′=.
答案:
11.水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则△ABC中AB边上的中线的长度为 .?
解析:由于在直观图中∠A′C′B′=45°,
则在原图形中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
斜边AB=5,
故斜边AB上的中线长为2.5.
答案:2.5
12.在△ABC中,AC=10 cm,边AC上的高BD=10 cm,则其水平放置的直观图的面积为 .?
解析:S△ABC=×10×10=50(cm)2,其直观图的面积为S=S△ABC=(cm)2.
答案: cm2
13.如图所示为一几何体的平面展开图,按图中虚线将它折叠起来,画出它的直观图.
解:由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为2的正方形,垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图 所示.
14.如图所示是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出该几何体的直观图.
解:(1)画轴:如图(1)所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz =90°.
(2)画底面:利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上取点O′,使 OO′等于三视图中相应的高度,过点O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥顶点:在Oz上取点P,使PO′等于三视图中相应的 高度.
(4)成图:连接PA′,PB′,PC′,PD′,A′A,B′B,C′C,D′D,整理得到三视图表示的几何体的直观图如图(2)所示.
15. 如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB
=30°,AD=3 cm,试画出它的直观图.
解:画法:(1)如图①所示,在梯形ABCD中,以边AB所在的直线为x轴,点A为原点,建立平面直角坐标系xOy.如图②所示,画出对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°.
(2)在图①中,过D点作DE⊥x轴,垂足为E.
在图②中,在x′轴上取A′B′=AB=4 cm,
A′E′=AE=≈2.598(cm);
过点E′作E′D′∥y′轴,
使E′D′=ED=×=0.75(cm),
再过点D′作D′C′∥x′轴,且使D′C′=DC=2 cm.
(3)连接A′D′,B′C′,并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,如图③所示,则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.
16.水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B′O′=C′O′=1,
A′O′=,那么原△ABC是一个( A )
(A)等边三角形
(B)直角三角形
(C)三边中只有两边相等的等腰三角形
(D)三边互不相等的三角形
解析:由图形,知在原△ABC中AO⊥BC.
因为A′O′=,所以AO=.
因为B′O′=C′O′=1,
所以BC=2,AB=AC=2,
所以△ABC为等边三角形.故选A.
17.如图,梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图,若A1D1∥y′轴,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,A1D1=1,A1B1=2,则梯形ABCD的面积是( B )
(A)10 (B)5 (C)5 (D)10
解析:斜二测画法下的梯形的面积
S=×(2+3)×1×sin 45°=,
根据=,
得S梯形ABCD=×2=5,
故选B.
18.如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′,则△AOB的面积是 .?
解析:法一 由图象,可知O′B′=4,则在△AOB中,OB=4,又与y′平行的线段的长度为4,则△AOB的高为8,所以△AOB的面积为S=×4× 8=16.
法二 通过斜二测画法画出的三角形的直观图的面积与原三角形的面积之比为∶1.
因为S△A′O′B′=×4×(4sin 45°)=4,
所以S△AOB===16.
答案:16
19.直观图中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标系中原四边形OABC为 (填形状),面积为 cm2.?
解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=
2 cm,OC=4 cm,
所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).
答案:矩形 8
20.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′,如图,其中的对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其 面积.
解:四边形ABCD的真实图形如图所示,
因为A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形,
所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°,
所以在原四边形ABCD中,
DA⊥AC,AC⊥BC,
因为DA=2D′A′=2,
AC=A′C′=,
所以S四边形ABCD=AC·AD=2.
课件26张PPT。1.2.3 空间几何体的直观图课标要求:1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤.2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.3.强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换.自主学习知识探究1.直观图定义
当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时,一个空间图形在投射面上的平行投影(平面图形)可以形象地表示这个空间图形.像这样用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.2.平面图形直观图的斜二测画法步骤注意:斜二测画法的直观图与原图的面积关系
一个平面多边形的面积为S原,它的斜二测画法直观图的面积为S直,则有S直=
S原.3.空间几何体的直观图的画法自我检测(教师备用)1.下列说法中正确的是( )
(A)互相垂直的两条直线的直观图仍然是两条互相垂直的直线
(B)梯形的直观图可能是平行四边形
(C)矩形的直观图可能是梯形
(D)正方形的直观图可能是平行四边形
2.如图所示的水平放置的平面图形的直观图,所表示的图形ABCD是( )
(A)任意梯形
(B)直角梯形
(C)任意四边形
(D)平行四边形D B 3.若AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴,在直观图中,AB的直观图为A′B′,CD的直观图为C′D′,则( )
(A)A′B′=2C′D′ (B)A′B′=C′D′
(C)A′B′=4C′D′ (D)A′B′= C′D′C 答案:③4.如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的
.?5.已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形,则此正方形的面积为 .?答案:16或64题型一 画水平放置的平面图形的直观图【例1-1】 用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图所示.课堂探究名师导引:画直观图时,在平面图形上建立坐标系时,应使图形的顶点尽量多的在坐标轴上.解:画法:(1)如图所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.(2)以 O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′= OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.(3)连接B′C′,D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.【1-2】 若(1)中已知原梯形上底DC=1,下底AB=3,高为2,求直观图的面积?解:由水平放置的直观图的作法可知四边形A′B′C′D′仍为梯形,其中A′B′=3,C′D′=1,
高h′=O′E′sin 45°=1× = ,
所以S梯形A′B′C′D′= = = .方法技巧 画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意点:画图的关键是确定顶点的位置,画图时要注意原图和直观图中线段的长度关系是否发生改变.即时训练1-1:利用斜二测画法得到:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上结论中,正确的是 (填序号).?解析:由直观图的画法可知,三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形,正方形的直观图不是正方形,菱形的直观图不是菱形,故正确的是①②.答案:①②1-2:已知正△ABC的边长为a,那么正△ABC用斜二测画法得到的直观图△A′B′C′的面积是( )题型二 画空间几何体的直观图【例2-1】 有一个正六棱锥(底面为正六边形,侧面为全等的等腰三角形的棱锥),底面边长为3 cm,高为5 cm,画出这个正六棱锥的直观图.解:(1)先画出边长为3 cm的正六边形水平放置的直观图,如图①所示.
(2)过正六边形的中心O′建立z′轴,画出正六棱锥的顶点V′,如图②所示.
(3)连接V′A′,V′B′,V′C′,V′D′,V′E′,V′F′,如图③所示.
(4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示.【2-2】 某几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解:(1)画轴.如图①,画x轴,y轴,z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画圆台的两底面,利用斜二测画法,画出底面☉O,在z轴上截取OO′,使OO′等于三视图中相应的高度,过点O′作Ox的平行线O′x′,作Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出上底面☉O′.
(3)画圆锥的顶点.在Oz上取点P,使PO′等于三视图中相应的高度.
(4)成图.连接PA′,PB′,A′A,B′B,整理得到三视图
表示的几何体的直观图,如图②.方法技巧 (1)画空间几何体的直观图,可先画出底面的平面图形,然后画出竖轴.此外,坐标系的建立要充分利用图形的对称性,以便方便、准确地确定顶点;
(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便可以又快又准的画出.即时训练2-1:由下列几何体的三视图画出直观图.解:(1)画轴.
如图,画出x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,
使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱.过A、B、C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取线段AA′=BB′=CC′,且都与正视图或侧视图的高相等.
(4)成图.顺次连接A′、B′、C′,并加以整理(擦去辅助线,将遮挡部分用虚线表示),得到的图形就是所求的几何体的直观图.2-2:如图所示,由下列几何体的三视图画出它的直观图.解:(1)画轴.画x′轴、y′轴和z′轴,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°,如图①所示.(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱.过点A,B,C,D,E分别作z′轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′都等于正视图的高.
(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,去掉辅助线,改被挡部分虚线,如图②所示.题型三 直观图还原为平面图形【例3-1】 (10分)如图是一梯形OABC的直观图,其直观图面积为S,求梯形OABC的面积.规范解答:设O′C′=h,
则原梯形是一个直角梯形且高为2h.
C′B′=CB,O′A′=OA. …………………………2分
过C′作C′D⊥O′A′于D,【3-2】 如例题图所示,若在O′A′上取点D′,且梯形A′B′C′D′的面积是S,求梯形ABCD的面积.方法技巧 (1)还原图形的过程是画直观图的逆过程,关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段.平行于x′轴的线段长度不变,平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.(2)求图形的面积,关键是能先正确画出图形,然后求出相应边的长度,利用公式求解.
(3)原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S=2 S′.即时训练3-1:一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′,如图若O′B′=1,那么原△ABO的面积与直观图的面积之比为 .?3-2:如图所示,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,求原图形的周长.点击进入 课时作业谢谢观赏！
