1.3.2 球的体积和表面积
1.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为( C )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
解析:令S球1=4πR2,S球2=4πr2,
由题可知4πR2-4πr2=48π,①
又2πR+2πr=12π,②
得R-r=2.
2.长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3,AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为( D )
(A)25π (B)200π (C)100π (D)50π
解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,
设球半径为r,则2r==5,
则r=,4πr2=4×()2π=50π.
3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )
(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π
解析:由三视图可知,该几何体的上方是一个以3为半径的半球,下方是以3为底面半径,以5为母线长的圆锥,所以其体积V=×π×33+ ×π×32×=18π+12π=30π.
4.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1,S2,则S1∶S2等于( C )
(A)1∶1 (B)2∶1 (C)3∶2 (D)4∶1
解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,
则S1=6π,S2=4π.
所以S1∶S2=3∶2,
故选C.
5.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则( C )
(A)以上四个图形都是正确的
(B)只有(2)(4)是正确的
(C)只有(4)是错误的
(D)只有(1)(2)是正确的
解析:正三棱锥内接于球,故其各个顶点在球面上.如果过球心的截面恰好截得三棱锥的面为三角形,则根据其顶点是否在截面圆上,有如下讨论:
①当用过球心且平行于三棱锥某底面的平面去截球时,三个点都不在截面圆上,则截面近似图(1);
②当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时,它交对棱于中点,中点不在球上,也就不在截面圆上,则该截面近似图(2);
③当截面是过三棱锥一顶点和球心的平面时,截得的面除了图(2)的情况外,大都是如图(3)的情况,即另两点不在截面圆上;
④当三棱锥的三个顶点都是截面圆上时,截面不过球心,与题意矛盾.故选C.
6.已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3, AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( C )
(A) (B)2
(C) (D)3
解析:如图所示,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.
又AM=BC=,
OM=AA1=6,
所以球O的半径为R=OA==.
故选C.
7.一平面截一球得到直径是6 cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4 cm,则该球的体积是( C )
(A) cm3 (B) cm3
(C) cm3 (D) cm3
解析:根据球的截面的性质,得球的半径
R==5(cm),
所以V球=πR3=(cm3).
故选C.
8.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.?
解析:设圆柱底面半径是r,则πr2×8=πr2×6r-πr3×3,所以r=4.
答案:4
9.边长为4的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上,则四棱锥OABCD的体积是 .?
解析:因为ABCD外接圆的半径r==4,
又因为球的半径为5,
所以球心O到平面ABCD的距离d==3,
所以=×(4)2×3=32.
答案:32
10.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是 .?
解析:依题意得,该多面体是球的一个内接正方体,且棱长为2.
设该球的直径为2R,
则2R==2,即R=,
所以该球的表面积为4πR2=4π()2=12π.
答案:12π
11.如图,半径为2的半球内有一个内接正六棱锥 PABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是 .?
解析:显然正六棱锥PABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆,由已知,可得大圆的半径为2.
易得其内接正六边形的边长为2.
又正六棱锥PABCDEF的高为2,
则斜高为=,
所以该正六棱锥的侧面积为6××2×=6.
答案:6
12.如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.
解:S球=×4π×22=8π(cm2),
S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),
S圆台下底=π×52=25π(cm2),
即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).
又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),
V半球=××23=(cm3).
所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).
13.已知球心到过球面上A,B,C三点的截面的距离等于球的半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球的表面积和体积.
解:如图,设球心为O,球的半径为R,作OO1垂直平面ABC于点O1,
由于OA=OB=OC=R,
则O1是△ABC的外心,
即O1A=O1B=O1C.
设M是AB的中点,连接CM,
由于AC=BC,则O1在CM上,
设O1M=x,易知O1M⊥AB,
则O1A=,O1C=CM-O1M=4-x.
又O1A=O1C,
所以=4-x,
解得x=,
则O1A=O1B=O1C=.
在Rt△OO1A中,
O1O=,
∠OO1A=90°,OA=R.
由勾股定理得()2+()2=R2,
解得R=.
故S球=4πR2=54π,V球=πR3=27π.
14.已知正三棱锥SABC的所有棱长均为a,求SABC的外接球的体积.
解:设S在底面ABC上的射影为O1,球心为O,显然O在SO1上,连接AO1,OA,则AO1=·a·sin 60°=a.所以SO1===a.
设球的半径为R,
在Rt△OO1A中,OA2=O+A,
即R2=(a-R)2+(a)2,
得R=a.
所以外接球的体积V=πR3=πa3.
15.在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( B )
(A)4π (B) (C)6π (D)
解析:由题意可得若V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,
若与三个侧面都相切,
可求得球的半径为2,球的直径为4,
超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上、下底面相切,此时球的半径R=,该球的体积最大,Vmax=πR3=×=.
故选B.
16.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为△ABC是边长为1的正三角形,
所以△ABC的外接圆的半径r=,
因为点O到面ABC的距离
d==,SC为球O的直径,
所以点S到面ABC的距离为
2d=,
所以棱锥的体积为
V=S△ABC×2d
=××=,
故选A.
17.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .?
解析:设球的半径为R,则球的表面积为4πR2,
设圆锥的底面半径为r,
则圆锥的底面面积为πr2,
由已知得πr2=×4πR2,
所以r2=R2,
由几何体的特征知,球心到圆锥底面的距离、球的半径以及圆锥底面的半径可以构成一个直角三角形,
由此可以求得球心到圆锥底面的距离h==R,
所以两个圆锥的高分别为h1=R-h=R-R=R,
h2=R+h=R.
所以这两个圆锥中,体积较小者的高为R,体积较大者的高为R,故所求比值为.
答案:
18.如图所示,半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .?
解析:由球的半径为4,可知球的表面积为64π.
设内接圆柱底面半径为r,高为2h,
则r2+h2=16.
圆柱侧面积为2πr·2h=4πr·h=4π·=4π·=4π≤32π,
故所求球的表面积与内接圆柱的侧面积之差的最大值为32π.
答案:32π
19.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体(四面体的每个面都是正三角形)的容器里,求这个正四面体的高的最小值.
名师点拨:四个小球在正四面体内一定是两两相切的,球心连起来构成一个正四面体.
解:由题意,如图所示,在正四面体SABC的底面上放三个钢球,上面再放一个钢球时,正四面体的高最小.且连接小钢球的球心又得到一个棱长为2的小正四面体MNEF,且两个正四面体的中心重合于点O,取△NEF的中心O1,连接NO1,则NO1=,MO1==.由正四面体的性质知其中心O与O1的距离OO1=MO1=.从而OO2=OO1+1=+1.故正四面体的高的最小值为4OO2=+4.
课件31张PPT。1.3.2 球的体积和表面积课标要求:1.了解球的表面积和体积计算公式.2.会求与球有关的简单组合体的体积和表面积.自主学习知识探究1.球的表面积与体积公式
(1)球的体积
设球的半径为R,则球的体积V= πR3.
(2)球的表面积
设球的半径为R,则球的表面积S=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.2.几何体的“接”“切”问题
(1)几何体的“接”“切”关系:①两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上;②两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.
(2)解决几何体相切或相接问题,要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系,从而把空间问题转化为平面问题来解决.
(3)常用结论:①若长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球的直径;若球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;若球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.
②若球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.
③若球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高.自我检测(教师备用)1.一个球的大圆面积为9π,则它的表面积和体积分别是( )
(A)9π,27π (B)9π,36π
(C)36π,36π (D)36π,48πC 2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为( )
(A)R (B)2R
(C)3R (D)4RD B 4.若两个球的表面积之比是4∶9,则它们的体积之比是 .?答案:8∶275.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都等于6,且各顶点都在同一球面上,则此球的表面积等于 .?答案:84π题型一 球的表面积与体积【例1-1】 圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r,圆柱、圆锥的高都是2r,
(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比;课堂探究(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比.【1-2】 已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,则这个球的表面积为 .?解析:如图所示,设以r1为半径,O1为圆心的截面圆的面积为5π,以r2为半径,O2为圆心的截面圆的面积为8π,球的半径为R,OO2=x,则O1O2=1.答案:36π方法技巧 球的表面积和体积仅与球半径有关,因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题.即时训练1-1:已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
(A)36π (B)64π
(C)144π (D)256π1-2:用与球心的距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,求这个球的体积与表面积.题型二 由与球相关的三视图计算表面积与体积【例2】 (1)某器物的三视图如图所示,根据图中数据可知该器物的体积为( )答案:(1)D (2)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 .?答案:(2)3π变式探究:若将上面(1)中的三视图中的俯视图改成如图的图形,又如何呢?方法技巧 由与球有关的三视图求简单组合体的表面积或体积时,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.即时训练2-1:(1)一个几何体的三视图(单位:m)如图所示,则该几何体的体积为 m3.?答案:(1)(18+9π)(2)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为 .?2-2:如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得几何体的表面积是( )
(A)4π+24 (B)4π+32
(C)22π (D)12π解析:由三视图可知,该几何体的下方是一个长为2宽为2高为3的长方体,上方是半径为1的球,所以其表面积S表=4π×12+2×2+2×2+4×2× 3=32+4π.故选B.题型三与球相关的“切”“接”问题【例3-1】 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为( )【3-2】 半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为 .?方法技巧 解决几何体与球相切或相接的策略:
(1)要注意球心的位置,一般情况下,由于球的对称性球心在几何体的特殊位置,比如,几何体的中心或长方体对角线的中点等.(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.即时训练3-1:已知球面上的四点P,A,B,C,PA,PB,PC的长分别为3,4,5,且这三条线段两两垂直,则这个球的表面积为( )点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！
