2.2 等差数列（3）同步学案

高二数学 必修5 第二章 §2.2 等差数列（3）
班级 姓名
学习目标
1. 掌握等差数列的证明与判断的方法；
2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：等差数列定义：即an－an－1＝d (n≥2).
等差数列通项公式：an＝ ,推导出公式：an＝am＋(n－m)d, d=
复习2：等差数列中，公差为，则
若，且,则 ;
特别地，当时 .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：等差数列的性质
等差数列中，公差为，则
(1)下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列，公差为.
(2)若数列也为等差数列，则，，（k,b为非零常数）也是等差数列.
(3)仍是等差数列.
(4)数列（为非零常数）也是等差数列.
探究任务二：等差数列的证明
判断数列是否为等差数列的常用方法：
(1)定义法：证明an－an－1＝d (常数)；
(2)中项法：利用中项公式，若2b＝a＋c,则a, b, c成等差数列；
(3)递推公式法：an－an－1＝an+1－an或2an=an－1+an+1(n≥2).
※ 典型例题
例1、已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求{bn}的通项公式；
(3){bn}中的第110项是{an}的第几项？
例2、若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列．
例3、正项数列中，
(1)数列是否为等差数列?说明理由；
(2)求.
变式2、已知在数列{an}中，a1＝，an＝2－(n∈N*，n≥2)，又数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项．
课后作业
1．等差数列{an}的公差为d，则数列{can}(c为常数且c≠0)是(　　)
A．公差为d的等差数列
B．公差为cd的等差数列
C．不是等差数列
D．以上都不对
2．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是(　　)．
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
3．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为________．
4．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an＞0，则an＝________.
5．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为________．
6．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，c2＝________.
7．已知，，成等差数列，试证：a2，b2，c2成等差数列．
8．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
9．已知等差数列{an}，a1＝a，公差d＝1，若bn＝an2－an＋12(n∈N＋)，试判断数列{bn}是否为等差数列？并证明你的结论．
必修5第二章 §2.2 等差数列（3）参考答案
例1、解：(1)∵a1＝3，d＝－5.所以an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.
数列{an}中项数被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…，∴{bn}的首项b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n(n∈N＋)．
∵bn－bn－1＝－20(n∈N＋，n≥2)，∴{bn}是等差数列，其通项公式为bn＝13－20n(n∈N＋)．
(3)∵b110＝13－20×110＝－2187，设它是{an}中的第m项，则－2187＝8－5m，则m＝439.
例2、解析　(an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d.
答案　3d
解　(1)
是等差数列，公差1.
(2)由(1)知是等差数列，且d=1

变式2、解：(1)∵bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝1，
∴数列{bn}为等差数列．
(2)由(1)得bn＝n－，
∴an＝1＋＝1＋.
an＋1－an＝1＋－
＝
＝
∴a3当n≥4且n∈N*时，an＋11，又a4>3，
∴{an}中，最小项为a3＝－1，最大项为a4＝3.
1、解析：设bn＝can，
则bn＋1－bn＝can＋1－can＝c(an＋1－an)＝cd.
答案：B
2、解析　∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
答案　C
3、解析：因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}的首项是a1＋b1＝25＋75＝100，
又a2＋b2＝100，所以公差为0，所以第37项为100.
答案　100
4、解析：根据已知条件a＝a＋4，即a－a＝4，
∴数列{a}是公差为4的等差数列，
∴a＝a＋(n－1)·4＝4n－3.
∵an＞0，∴an＝.
答案：
5、解析：n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝.
6、解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，
又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.
答案：19
7、证明　∵，，成等差数列，
∴＝＋.
∴2(b＋c)(a＋b)＝(a＋c)(a＋c＋2b)，
∴2b2＝a2＋c2，∴a2，b2，c2成等差数列．
8、解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4，
∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，
∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n＞1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.
9、解　数列{bn}是等差数列，证明如下：
∵等差数列{an}中，a1＝a，d＝1，
∴an＝a＋(n－1)＝n－1＋a，∴bn＝an2－an＋12＝(n－1＋a)2－(n＋1－1＋a)2＝1－2n－2a，
∴bn＋1＝1－2(n＋1)－2a.
∴bn＋1－bn＝[1－2(n＋1)－2a]－(1－2n－2a)＝－2.
所以数列{bn}是以b1＝a12－a22＝－2a－1为首项，－2为公差的等差数列．