2.3 等差数列的前n项和(1)同步学案

高二数学 必修5 第二章 §2.3 等差数列的前n项和(1)
班级 姓名
学习目标
1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？
复习2：等差数列有哪些性质？
二、新课导学
※ 学习探究
探究：等差数列的前n项和公式
问题：
1. 计算1+2+…+100=?
2. 如何求1+2+…+n=?
新知：
数列的前n项的和：
一般地，称 为数列的前n项的和，用表示，即
反思：
① 如何求首项为，第n项为的等差数列的前n项的和?
② 如何求首项为，公差为d的等差数列的前n项的和?
试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和.
⑴
⑵.
小结：
1. 用，必须具备三个条件： ；
2. 用，必须已知三个条件： .
※ 典型例题
例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
小结：解实际问题的注意：
① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；
② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解.
例2、已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
变式1、在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
变式2、等差数列-10，-6，-2，…的前多少项的和为54？
小结：等差数列前n项和公式就是一个关于的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等差数列前n项和公式的两种形式；
2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；
3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.
课后作业
一、基础训练题
1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为(　　)
A．360　　　　　　　B．370 C．380 D．390
2．已知a1＝1，a8＝6，则S8等于(　　)
A．25 B．26 C．27 D．28
3．在等差数列{an}中，S10＝120，则a2＋a9＝(　　)
A．12 B．24 C．36 D．48
4．已知数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于(　　)
A．30 B．45 C．90 D．186
5．已知数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于(　　)
A．－1 B．－11 C．－13 D．－15
6．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，
则这个数列有(　　)
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
7．设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a17＝________.
8．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝__________.
9．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.
10．某工厂2011年的月产值按等差数列增长，一季度总产值为20万元，上半年总产值为60万元，则2011年全年总产值为________万元．
11．等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an； (2)若Sn＝242，求n.
二、提高训练题
12．已知等差数列{an}的公差为1，且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝(　　)
A．99 B．66 C．33 D．0
13．等差数列{an}的通项an＝2n＋1，则由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是(　　)．
A．n(n＋2) B．n(n＋4) C．n(n＋5) D．n(n＋6)
14．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．
必修5第二章 §2.3 等差数列的前n项和(1)参考答案
1、答案：C
2、答案：D
3、解析：选B.S10＝＝5(a2＋a9)＝120.∴a2＋a9＝24.
答案：B
4、解析：由等差数列{an}易得公差d1＝3.又bn＝a2n，所以{bn}也是等差数列，
公差d2＝6.S5＝b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5×6＋×6＝90.
答案：C
5、解析：由(a3＋a8)2＝9且an<0，知a1＋a10＝a3＋a8＝－3，故S10＝＝－15.
答案：D
6、解析：∵a1＋a2＋a3＝34，①
an＋an－1＋an－2＝146，②
又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
∴①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.③
Sn＝＝390.④
将③代入④中得n＝13.
答案：A
7、解析：由题意得an＋1－an＝2，
∴{an}是一个首项a1＝－7，公差d＝2的等差数列．
∴a1＋a2＋…＋a17＝S17＝17×(－7)＋×2＝153.
答案：153
8、解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6.①
S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10.②
由①②得a1＝1，d＝.
答案：
9、解析：由等差数列的性质知S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1.
又∵a5＋a12＝a1＋a16＝－9，
∴S16＝＝8(a1＋a16)＝－72.
答案：－72
10、解析　由月产值成等差数列增长，可知季度总产值也按等差数列增长．
而第二季度总产值为60－20＝40(万元)，所以公差d＝40－20＝20(万元)．
所以S4＝20×4＋×20＝200(万元)．
答案　200
11、解：(1)设{an}的首项为a1，公差为d，则
∴∴通项an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242，得12n＋×2＝242.
解得n＝11，或n＝－22(舍去)．
解析：选B.由a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，得99a1＋＝99.
∴a1＝－48，∴a3＝a1＋2d＝－46.
又∵{a3n}是以a3为首项，以3为公差的等差数列．
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝33a3＋×3＝33(48－46)＝66.
13、解析　由题意a1＋a2＋…＋an＝＝n(n＋2)，∴bn＝＝n＋2.于是数列{bn}
的前n项和Sn＝＝n(n＋5)．
答案　C
14、解：(1)设公差为d，则a－a＝a－a.
由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0.所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝
又由S7＝7得7a1＋d＝7.解得a1＝－5，d＝2，
所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.
(2)＝.令2m－3＝t，则＝＝t＋－6，因为t是奇数，
所以t可取的值为±1.当t＝1，m＝2时，t＋－6＝3,2×5－7＝3是数列{an}中的项：t＝－1，m＝1时，t＋－6＝－15，数列{an}中的最小项是－5不符合．所以满足条件的正整数m＝2.