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《 21.1一元二次方程》导学案
课题 一元二次方程 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．根的作用的理解． 2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念
重点难点 重点： 一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用难点： 根的作用以及理解
学习过程
知识链接 2x-10=0这是一个什么样的方程？它的解是什么？2.一元一次方程的定义、以及解的定义。
合作探究 知识点1、二元一次方程定义问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm， 则盒底的长为__________，宽为__________. 得方程_____________________________ 整理得_____________________________ 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________. 设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场. 列方程____________________________ 化简整理得________________________ 请口答下面问题：（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ ●归纳：方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程叫一元二次方程.知识点2、二元一次方程表达式一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0（a≠0）． 其中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________, _____是一次项系数；_____是常数项注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号二次项系数是一个重要条件，不能漏掉思考：为什么规定a≠0，b、c可以为0吗？ 例1、将方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数． 知识点3、二元一次方程的根猜测问题2中排球赛的出的方程的解是什么？ 试一试，填下表： 教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边_______的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作一元二次方程的_____）．是否只有x=８是方程x2－x=56的根呢？试一试将x=－7代入方程： 例2、已知关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一根是0，求a的值.
自主尝试 知识点1练习：判断下列方程，哪些是一元二次方程？ （1）x3－2 x 2＋5＝0； （2）＝1； （3）5x2－2x－＝x2－2x＋； （4）2（x＋1）2＝3（x＋1）； （5）x2－2x＝x2＋1； （6）ax2＋bx＋c＝0 知识点2练习：将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）5x2-1=4x （2）4x2=81 （3）4x（x+2）=25 知识点3练习：1、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根（1）x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2， x3=3 ) (2)0.5(3x-1)2-8=0 (x1=-1 ，x2=1， x3= )2、已知x=2是关于x的方程的一个根，求2a-1的值。
当堂检测 1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( )A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 2.若a是一元二次方程x2＋x－1＝0的根，则a3＋2a2－7的值为____3.若方程（a-2）x2+x=3是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）A. a≠2 B. a≧0 C. a≧0且a≠2 D.为任意实数 4.若关于x的方程(2m2＋m－3)x|m＋1|＋7x－3＝0是一元二次方程，求m的值． 5.若a+b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：_________;若4a-2b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：_________;6.m、n是关于x的一元二次方程x2+2006x-2008=0的根，试求（m2+2006m-2007）（n2+2006+2007）的值。
小结反思 本节课你学会了什么？你知道一下知识吗？1.一元二次方程的概念 2.一元二次方程的一般形式 3.理解方程的解的概念；会用方程的解求待定系数——解的运用（代入）
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《 21.1一元二次方程》导学案
课题 一元二次方程 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．根的作用的理解． 2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念
重点难点 重点： 一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用难点： 根的作用以及理解
教学过程
知识链接 2x-10=0这是一个什么样的方程？它的解是什么？2.一元一次方程的定义、以及解的定义。今天我们将学习一种新的方程，大家一起来认识一下：板书课题
合作探究 知识点1、二元一次方程定义问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
学生通过分析设出合适的未知数，列出方程．问题1考虑从不同角度列方程：角度一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm，则有方程(100－2x)(50－2x)＝3 600； 角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个长方形的面积，同样设正方形的长是x cm，则有方程 通过整理得到方程． 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛共28场，若设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场，于是得到方程，经过整理得到方程．请口答下面问题：（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ ●归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 老师强调：判定一元二次方程三要素：（1）方程两边都是整式 （2）都只含一个未知数x （3）它们的最高次数都是2次的知识点2、二元一次方程表达式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．思考：为什么规定a≠0，b、c可以为0吗？答案：只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数例1、将方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．解：去括号得 ， 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式： 其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10． 学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．知识点3、二元一次方程的根猜测问题2中排球赛的出的方程的解是什么？ 试一试：当x=1时，x2－x=0；当x=2时，x2－x=2……我们可以填出下表： 教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作一元二次方程的根）．是否只有x=８是方程x2－x=56的根呢？试一试将x=－7代入方程：x2－x=56，左边＝(－7)×(－7)－(－7)＝56＝右边， ∴x＝－7也是方程x2－x=56的根. 虽然方程x2－x=56有两根（8和－7），但是排球邀请队数是一个正整数，即应邀请8个队参赛．这就说，由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否确实是实际问题的解．例2、已知关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一根是0，求a的值. 解：把x=0代入方程得：a2-1=0，解得：a=±1， ∵（a-1）x2+x+a2-1=0是关于x的一元二次方程， ∴a-1≠0，即a≠1， ∴a的值是-1.
自主尝试 知识点1练习：判断下列方程，哪些是一元二次方程？ （1）x3－2 x 2＋5＝0； （2）＝1； （3）5x2－2x－＝x2－2x＋； （4）2（x＋1）2＝3（x＋1）； （5）x2－2x＝x2＋1； （6）ax2＋bx＋c＝0答案：（3）（4）知识点2练习：将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）5x2-1=4x （2）4x2=81 （3）4x（x+2）=25答案：（1）一般式：5x2-4x-1=0，二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.（2）一般式：4x2-81=0，二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81. （3）一般式：4x2+8x-25=0，二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.知识点3练习：1、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根（1）x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2， x3=3 ) (2)0.5(3x-1)2-8=0 (x1=-1 ，x2=1， x3= )2、已知x=2是关于x的方程的一个根，求2a-1的值。 解：把x=2代入中得2a=6∴2a-1=5∴a=3
当堂检测 1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( )DA.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 2.若a是一元二次方程x2＋x－1＝0的根，则a3＋2a2－7的值为____．（答案：-6）3.若方程（a-2）x2+x=3是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）CA. a≠2 B. a≧0 C. a≧0且a≠2 D.为任意实数 4.若关于x的方程(2m2＋m－3)x|m＋1|＋7x－3＝0是一元二次方程，求m的值． 解：|m＋1|＝2，∴m＝1或－3，又2m2＋m－3≠0， 当m＝1时，2m2＋m－3＝0，不合题意； 当m＝－3时，2m2＋m－3＝12≠0，∴m＝－3 5.若a+b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：_________;若4a-2b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：_________;（答案：x=1、x=-2）6.m、n是关于x的一元二次方程x2+2006x-2008=0的根，试求（m2+2006m-2007）（n2+2006+2007）的值。 解：m,n分别代入方程得： m2+2006m-2008=0,得m2+2006m=2008 n2+2006n-2008=0,得n2+2006n=2008 ∴(m2+2006m-2007)(n2+2006n+2007)=4015
小结反思 本节课你学会了什么？你知道一下知识吗？1.一元二次方程的概念 2.一元二次方程的一般形式 3.理解方程的解的概念；会用方程的解求待定系数——解的运用（代入）
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21.1一元二次方程
人教版 九年级上
新知导入
2x-10=0
这是一个什么样的方程？
只含有一个未知数（元），并且未知数的
次数是1的整式方程叫一元一次方程
它的解是什么？
使方程等号两边都成立的未知数的值称为一元一次方程的解
新知讲解
知识点1、二元一次方程定义
问题1 ：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得
（100－2x）（50－2x）=3600.
整理，得： 4x2－300x+1400=0.
化简，得 ： x2－75x+350=0 .
由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸．
新知讲解
问题2: 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析:
全部比赛共
4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共 场.
即
(x-1)
新知讲解
这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
新知讲解
归纳：
等号的两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一元二次方程的定义
一元二次方程三要素：
①方程两边都是整式
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2次
巩固练习
解：（3）、（4）．
新知讲解
知识点2、二元一次方程表达式
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
其中ax2是二次项，a是二次项系数；
bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式.
ax2+bx+c=0 (a≠0)
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
当a=0时
bx+c=0
当a≠0，b=0时
ax2+c=0
当a≠0，c=0时
ax2+bx=0
当a≠0，b=0,c=0时
ax2=0
只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数
例题讲解
例1、将方程
化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的
解：去括号，得
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10
巩固练习
将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项。
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
一般式：4x2-81=0
一般式：4x2+8x-25=0
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
新知讲解
知识点3、二元一次方程的根
x2-x=56
当x=1时，x2－x=0；当x=2时，x2－x=2……我们可以填出下表：
６
12
20
30
42
56
72
90
可以发现:当x=8时，x2－x＝56，所以x=8是方程x2－x=56的解．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 .
你发现哪几个数值是方程 ：x2－x＝56的解？
前面有关排球邀请赛的问题中，我们列出方程:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
x2－x 0 2 …
新知讲解
虽然方程x2－x=56有两根（8和－7），但是排球邀请队数是一个正整数，即应邀请8个队参赛．
是否只有x=８是方程x2－x=56的根呢？
你能说出这是为什么吗？
将x=－7代入方程：x2－x=56，
左边＝(－7)×(－7)－(－7)＝56＝右边，
∴x＝－7也是方程x2－x=56的根.
这就说，由实际问题列出方程并得出方程的解后，
还要考虑这些解是否确实是实际问题的解．
归纳：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做这个一元二次方程的根
巩固练习
1、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根
（1）x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2， x3=3 )
(2)0.5(3x-1)2-8=0 (x1=-1 ，x2=1， x3= )
√
√
√
√
巩固练习
得2a=6
∴2a-1=5
∴a=3
例题讲解
例2、已知关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一根是0，求a的值.
解：把x=0代入方程得：a2-1=0，
解得：a=±1，
∵（a-1）x2+x+a2-1=0是关于x的一元二次方程，
∴a-1≠0，
即a≠1，
∴a的值是-1.
巩固练习
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0
D
2.若a是一元二次方程x2＋x－1＝0的根，则a3＋2a2－7的值为____．
－6
巩固练习
4.若关于x的方程(2m2＋m－3)x|m＋1|＋7x－3＝0是一元二次方程，求m的值．
C
解：|m＋1|＝2，∴m＝1或－3，又2m2＋m－3≠0，
当m＝1时，2m2＋m－3＝0，不合题意；
当m＝－3时，2m2＋m－3＝12≠0，
∴m＝－3
巩固练习
6.m、n是关于x的一元二次方程x2+2006x-2008=0的根，试求（m2+2006m-2007）（n2+2006+2007）的值。
解：m,n分别代入方程得：
m2+2006m-2008=0,得m2+2006m=2008
n2+2006n-2008=0,得n2+2006n=2008
∴(m2+2006m-2007)(n2+2006n+2007)=4015
5.若a+b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：_________;若4a-2b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：_________;
x=1
x=-2
课堂总结
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
3.理解方程的解的概念；会用方程的解求待定系数——解的运用（代入）
作业布置
教材第4页习题1、3、7题
谢谢
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