1.4全称量词与存在量词 同步学案

高二数学 选修2—1 第一章 §1.4全称量词与存在量词
班级 姓名
学习目标
1、了解全称量词和存在量词的定义和全称命题、存在性命题的定义
2、能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
3、进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力。
学习过程
一、课前准备
下述命题有何不同？
（1）所有中国公民的合法权益都受到中华人民共和国宪法的保护
（2）对任意实数x，都有x2≥0 （3）存在有理数x，使x2-2=0
二、新课导学
短语“所有的”、“任意一个” 、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常叫做全称量词．用符号“ x”表示“对任意x”。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
短语“有一个”、“有一些”、 “存在一个”“至少一个” 等表示部分的量词在逻辑中通常叫做存在量词．用符号“ x”表示“存在x”。
含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
总结：对含有一个量词的命题进行否定的规律？
正面词语
=
>
<
是
都是
对任意x成立
P或q
所有的
任意两个
至多有一个
至少有一个
至多有n个
P且q
反面词语
※ 典型例题
例1、判断下列语句是否为命题，若是命题，再判断是全称命题还是特称命题，并判断真假。
(1)有一个实数，tan无意义
(2)任何一条直线都有斜率吗？
(3)圆的圆心到其切线的距离等于圆的半径；
(4)圆内接四边形的对角互补；
(5)对数函数都是单调函数.
例2、用量词符号“”或“”表示下列命题：
(1)存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根；
(2)对于任意实数，存在实数，使>0；
(3)方程至少存在一个负根；
(4)若，则直线垂直于平面内任意一直线.
练习1、判断下列命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2x＋1＞0；
(2)?x0∈R，|x0|≤0；
(3)?x∈N*，log2x＞0；
(4)?x0∈R，cos x0＝.

例3、写出下列命题的否定
（1）所有人都晨练； （2）；
（3）平行四边形的对边相等； （4）；
练习2、写出下列命题的否定
（1）； （2）有些质数是奇数 ；
（3）； （4）存在一个三角形没有外接圆；
（5）至少有一个实数x，使x3＋1=0 （6）对任意实数x，存在实数y，使x＋y＞0
课后作业
一、基础训练题
1．下列四个命题中的真命题为(　　)
A．?x∈R，x2－1＝0
B．?x∈Z,3x－1＝0
C．?x∈R，x2＋1＞0
D．?x∈Z,1＜4x＜3
2．下列命题中，真命题是(　　)
A．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
3．对下列命题的否定说法错误的是(　　)
A．p：能被2整除的数是偶数；﹁p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；﹁p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；﹁p所有的三角形不都是正三角形
D．p：?x∈R，x2＋x＋2≤0；﹁p：?x∈R，x2＋x＋2＞0
4．已知命题p：?x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
5．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＜1　　　　　　　　　　 B．a≤1
C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1
6．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“?”或“?”符号表示为________．
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述为________．
8．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
9．已知命题p：?x0∈R，tan x0＝；命题q：?x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且q”是________命题．(填“真”或“假”)
二、提高训练题
10．设命题p：对一切x∈R，都有x2＋ax＋2＜0，若﹁p为真，则实数a的取值范围是________．
选修2—1 第一章 §1.4全称量词与存在量词参考答案
解析：若x2－1＝0，则x±1，A错误；若3x－1＝0，则x＝?Z，B错误；
若1＜4x＜3，则＜x＜，D错误；x2＋1≥1＞0恒成立，故选C.
答案：　C
2、解析：∵当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)．
∴f(x)是偶函数
又∵当m＝1时，f(x)＝x2＋x(x∈R)
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
∴A对，B、C、D错．故选A.
答案：　A
3、解析：“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题；所有的三角形都不是正三角形，故选项C错误．
答案：　C
4、解析：当x＝时，tan x＝1，∴命题p为真命题．
由x2－3x＋2<0得1∴p∧q为真，p∧?q为假，?p∨q为真，?p∨?q为假．
答案：　D
5、解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0.当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1，综上所述，实数a的取值范围是a＜1.
答案：　A
6、答案：?x∈R，x2＋2x＋1≥0
7、答案：?x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>0
8、答案：(1)?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3 (2)?x∈R，x2＋2x＋5≠0
9、解析：　当x0＝时，tan x0＝，
∴命题p为真命题；
x2－x＋1＝2＋>0恒成立，
∴命题q为真命题，
∴“p且q”为真命题．
答案：　真
10、解析：﹁p为真，又﹁p：?x∈R，x2＋ax＋2≥0，而函数f(x)＝x2＋ax＋2开口向上，所以a∈R.
答案：a∈R