2.3.2双曲线的简单几何性质(1)同步学案

高二数学 选修2—1 第二章 §2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
班级 姓名
学习目标
1．类比椭圆推导双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）；
2．掌握等轴双曲线的定义及性质；
3．能解决与几何性质相关的简单的综合性问题.
学习过程
课前准备：
复习：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、新课导学：
1．双曲线的简单几何性质
标准方程
图形
范围
顶点
实轴、实轴长
虚轴、虚轴长
焦点
焦距
对称性
对称轴： 对称中心：
离心率
渐近线方程
离心率说明：1．范围：
2．在取值范围内变化时，双曲线图形的变化？
2．等轴双曲线：
（1）定义：
（2）标准方程：
（3）离心率：
（4）渐近线方程：
典型例题
例1、求下列双曲线的的实半轴长,虚半轴长,离心率及渐近线方程。 (1)4x2－9y2=36, (2)25x2－4y2=100.
例2、求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上； ⑵离心率，经过点；
⑶渐近线方程为，经过点．
例3、(1)若双曲线的渐近线方程为,求双曲线的离心率; 。
(2)若双曲线的离心率为2，求两条渐近线的夹角大小。 。
例4、已知是双曲线（的两个焦点，是经过且垂直于轴的双曲线的弦，如果,求双曲线的离心率。
变式：若双曲线:的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率=（ ）
A.2 B. C.3 D.
三、总结提升
※ 学习小结
双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线． 课后作业
一、基础训练题
1．双曲线－＝1的(　　)
A．实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝
B．实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝
C．实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±2x，离心率e＝
D．实轴长为2，虚轴长为8，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝
2．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
3．焦点为(0,6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
4．双曲线的渐近线为y＝±x，则双曲线的离心率是(　　)
A. B．2 C.或 D.或
5．过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为(　　)
A．2　　　　　 　B．4 C．8 D．4
6．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
7．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是__________．
8．双曲线的焦距是实轴长的倍，且一个顶点坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为________．
9．求以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．
10．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)过点M(2，－2)与－y2＝1有公共渐近线．
提高训练题
11．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x
12．已知焦点在x轴的双曲线的离心率为2，则双曲线两条渐近线的夹角为________．
13．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN以直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
14．双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，试求双曲线方程与椭圆的方程．
选修2—1 第二章 §2.3.2双曲线的简单几何性质(1)参考答案
1、答案：　A
2、解析：因等轴双曲线的焦点为(－6,0)，∴c＝6，
∴2a2＝36，a2＝18.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案：　D
3、解析：设所求双曲线的方程为－＝1.
∵双曲线的一个焦点为(0,6)，且其在y轴上，
∴λ＜0，∴－λ－2λ＝36，λ＝－12.
∴所求双曲线方程是－＝1.
答案：　B
4、解析：　若双曲线焦点在x轴上，∴＝，
∴e＝＝＝＝.
若双曲线的焦点在y轴上，∴＝，＝.
∴e＝＝＝＝.
答案：　C
5、解析：双曲线x2－y2＝4的焦点为(±2，0)，把x＝2代入并解得y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.
答案：　B
6、解析：　双曲线的渐近线方程为y＝±x ∴b＝1.
答案：　1
7、解析：由渐近线方程为y＝±x＝±x，
得m＝3，c＝，且焦点在x轴上．
答案：(±，0)
8、解析：由于双曲线的一个顶点坐标为(0,2)，
可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则a＝2.
∴c＝a＝2，b2＝c2－a2＝20－4＝16，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
9、解：椭圆的焦点F1(－，0)，F2(，0)，即为双曲线的顶点．
∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上，
∴双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点A1(－4,0)，A2(4,0)，所以c＝4，a＝，
∴b＝＝3，
故所求双曲线的方程为－＝1.
实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝6，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
10、解析：　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴标准方程为－＝1或－＝1.
(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，∴b＝.
∴所求双曲线方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，∴b＝2.
所求双曲线方程为－＝1.
综上，双曲线方程为－＝1或－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线的方程为－y2＝λ，
将点(2，－2)代入得λ＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
11、解析：由椭圆离心率e＝＝＝，解得＝，故双曲线的方程为y＝±x.
答案：　A
12、解析：设实轴与渐近线的夹角为α，则cos α＝＝＝，
所以α＝，则2α＝，故两条渐近线的夹角为π－＝.
答案：
13、解析：由题意得，a＋c＝，即a2＋ac＝b2，a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0.解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案：2
14、解：由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，
可设椭圆方程为＋＝1(a2>25)；
双曲线方程为－＝1(0点P(3,4)在椭圆上，＋＝1，得a2＝40，
双曲线过点P(3,4)的渐近线为
y＝ x，即4＝×3，b2＝16，
所以椭圆方程为＋＝1；双曲线方程为－＝1.