2.3.2平面与平面垂直的判定课件（32张）

课件32张PPT。2.3.2　平面与平面垂直的判定一二三一、二面角
如图,观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.
1.如图,观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.
(1)数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角?
提示:二面角.
(2)平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点?
提示:二面角的平面角.一二三2.二面角 一二三一二三3.做一做:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的大小是　　　　　.?
答案:45°一二三二、平面与平面垂直
1.教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出是哪些二面角?这些二面角各是多少度?
提示:可以构成3个二面角;分别是两相邻墙面构成的二面角,1个墙面与地面构成的二面角,另1个墙面与地面构成的二面角;这3个二面角都为90°.
2.如何定义两个平面互相垂直?
提示:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.一二三3.如何画两个相互垂直的平面?平面α与平面β垂直,记作什么?
提示:两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.一二三三、平面与平面垂直的判定定理
1.建筑工人常在一根细线上拴一个重物,做成“铅锤”,用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时,如果墙壁贴近铅锤线,则说明墙和地面什么关系?此时铅锤线与地面什么关系?
提示:均垂直.一二三2.填空:平面与平面垂直的判定定理 一二三3.做一做:在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有　　　　　对.?
解析:平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.
答案:3探究一探究二探究三思想方法证明两个平面垂直
例1如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
思路分析:(1)要证DE=DA,只需证明Rt△EFD≌Rt△DBA;(2)注意M为EA的中点,可取CA的中点N,先证明N点在平面BDM内,再证明平面BDM过平面ECA的一条垂线即可;(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线.探究一探究二探究三思想方法证明(1)取EC的中点F,连接DF.
∵EC⊥BC,易知DF∥BC,∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中,
∴Rt△EFD≌Rt△DBA.∴ED=DA.
∴MN∥BD,∴N点在平面BDMN内.
∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BN.
又CA⊥BN,∴BN⊥平面ECA.
∵BN在平面MNBD内,
∴平面MNBD⊥平面ECA.
即平面BDM⊥平面ECA.探究一探究二探究三思想方法∴四边形MNBD为平行四边形.
∴DM∥BN.
由(2)知BN⊥平面ECA,∴DM⊥平面ECA.
又DM?平面DEA,
∴平面DEA⊥平面ECA.探究一探究二探究三思想方法反思感悟证明平面与平面垂直的常用方法:
(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:
①找出两相交平面的平面角;
②证明这个平面角是直角;
③根据定义,这两个相交平面互相垂直.
(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:探究一探究二探究三思想方法变式训练 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面PDC⊥平面PAD.
证明∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD.
又∵CD?平面PDC,
∴平面PDC⊥平面PAD.探究一探究二探究三思想方法求二面角的大小
例2如图,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.
(1)二面角B-PA-D的大小为　　　　　;?
(2)二面角B-PA-C的大小为　　　　　.?
思路分析:先依据二面角的定义找相应二面角的平面角,然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值,最后指出二面角的大小.探究一探究二探究三思想方法解析:(1)∵PA⊥平面ABCD,
∴AB⊥PA,AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又由题意∠BAD=90°,
∴二面角B-PA-D的大小为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD,
∴AB⊥PA,AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,
∴∠BAC=45°.
即二面角B-PA-C的大小为45°.
答案:(1)90°　(2)45°探究一探究二探究三思想方法反思感悟二面角的平面角的常见做法
(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法.过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.探究一探究二探究三思想方法延伸探究在题设条件不变的情况下,若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.
解:∵CD∥平面PAB,过P作CD的平行线l,如图,
由PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,知CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD.
又CD∥l,∴l⊥PD.
∴∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,为45°.
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°. 探究一探究二探究三思想方法垂直关系的综合应用
例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC= a.
(1)求证:PD⊥平面ABCD;
(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求二面角P-BC-D的大小.
思路分析:(1)转化为证明PD⊥DC与PD⊥AD;(2)转化为证明AC⊥平面PBD;(3)先证出∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.探究一探究二探究三思想方法(1)证明:∵PD=a,DC=a,PC= a,
∴PC2=PD2+DC2.∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD.又AD∩DC=D,
∴PD⊥平面ABCD.
(2)证明:由(1)知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC.
而四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD.
同时AC?平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)解:由(1)知PD⊥BC,又BC⊥DC, PD∩DC=D,
∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.
∴∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
在Rt△PDC中,PD=DC=a,∴∠PCD=45°.
即二面角P-BC-D的大小是45°.探究一探究二探究三思想方法反思感悟垂直关系间的相互转化. 探究一探究二探究三思想方法数形结合思想——翻折问题中的垂直问题
典例如图1,在矩形ABCD中,已知AD=2AB,E是AD的中点,沿BE将△ABE折到△A1BE的位置(如图2),使A1C=A1D,求证:平面A1BE⊥平面BCDE.
思路分析:△ABE是等腰直角三角形,翻折前后未变,要充分利用这一特点,取BE的中点F,使A1F⊥平面BCDE即可.探究一探究二探究三思想方法证明如图,取图2中BE,CD的中点F,G,连接A1F,FG,A1G.
∵A1C=A1D,∴A1G⊥CD.
∵AD=2AB,E是AD的中点,∴A1B=A1E.
∵F为BE的中点,∴A1F⊥BE.
∵四边形ABCD是矩形,∴ED∥BC,∠BCD=90°.
∵F,G为BE,CD的中点,∴FG⊥CD.
∵FG∩A1G=G,∴CD⊥平面A1GF,∴CD⊥A1F.
∵ED∥BC,BC=2ED,∴四边形BCDE为直角梯形,
∴CD与BE必相交,∴A1F⊥平面BCDE.
∵A1F?平面A1BE,∴平面A1BE⊥平面BCDE.探究一探究二探究三思想方法方法总结 处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图形进行对比,看哪些位置关系和相关量发生了变化;如果发生了变化,那么发生了怎样的变化;哪些没有发生变化,切不可混淆不清.特别是翻折前的线线垂直、线面垂直、面面垂直,在翻折后是否发生了变化,是否还保持垂直,这是解决翻折问题的关键.解决本题的关键是明确翻折前后的数量关系和位置关系的变化状况,其中等腰三角形中“三线合一”性质有非常重要的作用.探究一探究二探究三思想方法变式训练 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是线段AB上的两点,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4 ,DE=4,现将△ADE,△CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合于点G,得到多面体CDEFG.求证:平面DEG⊥平面CFG.证明因为DE⊥EF,CF⊥EF,所以四边形CDEF为矩形,
由GD=5,DE=4,得GE=3,
由GC=4 ,CF=4,得FG=4,所以EF=5.
在△EFG中,有EF2=GE2+FG2,所以EG⊥GF.
又因为CF⊥EF,CF⊥FG,得CF⊥平面EFG,所以CF⊥EG,
所以EG⊥平面CFG,即平面DEG⊥平面CFG.12341.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 (　　)
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n?α
C.m∥n,n⊥β,m?α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析:∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β.又m?α,∴α⊥β.
答案:C12342.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是 (　　)
A.平面PAB分别与平面PBC、平面PAD垂直
B.它们两两垂直
C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直
D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直1234解析:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.
又BC⊥AB,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB,∵BC?平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A,
得AD⊥平面PAB.
∵AD?平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.
由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直,故选A.
答案:A12343.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面的个数为　　　　　.?
解析:设平面α外的点为A,平面α内的点为B,过点A作面α的垂线l.若点B恰为垂足,则所有过AB的平面均与α垂直,此时有无数个平面与α垂直;若点B不是垂足,则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案:1个或无数个12344.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为(　　)解析:如图所示,
连接AC交BD于点O,连接A1O,O为BD中点,
∵A1D=A1B,
∴在△A1BD中,A1O⊥BD.
又在正方形ABCD中,AC⊥BD.
∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.
答案:C