4.1.1圆的标准方程课件（26张）

课件26张PPT。第四章 圆与方程4.1　圆的方程4.1.1　圆的标准方程一二一、圆的标准方程
1.在平面内,圆是如何定义的?
提示:在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合.
2.圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素是什么?各要素与圆具有怎样的关系?
提示:圆心和半径.圆心:确定圆的位置;半径:确定圆的大小.
3.若已知圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a,b,r都是常数,r>0).设M(x,y)为这个圆上的任意一点,那么点M满足的条件是什么?该圆如何用集合来表示?
提示:|MC|=r,P={M||MC|=r}.一二4.将点M适合的条件用坐标表示并化简会得到一个什么样的等式?化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.
5.填空:一二6.做一做:
圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是 (　　)
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
解析:设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1.
答案:A一二二、点与圆的位置关系
1.点A(1,1),B(3,0),C( )与圆x2+y2=4的关系如图所示,则|OA|,|OB|,|OC|与圆的半径r=2有什么关系?
提示:|OA|<2,|OB|>2,|OC|=2.
2.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系如何判断?
提示:(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2?点在圆外;
(2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2?点在圆上;
(3)(x0-a)2+(y0-b)2圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),一二4.做一做:点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是(　　)
A.在圆上 B.在圆外
C.在圆内 D.以上都不对
解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.
答案:B探究一探究二思想方法求圆的标准方程
例1求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.
思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.
解法一:设点C为圆心,
∵点C在直线:x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a).
又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.
解得a=-2.∴圆心坐标为C(-1,-2),半径r= .
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.探究一探究二思想方法法二:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.探究一探究二思想方法所以弦AB的垂直平分线的斜率k=-2,
所以线段AB的垂直平分线的方程为:y+4=-2x,即y=-2x-4.
故圆心是直线y=-2x-4与直线x-2y-3=0的交点,
所以所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.探究一探究二思想方法反思感悟圆的标准方程的两种求法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解—解方程组,求出a,b,r;
④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.探究一探究二思想方法延伸探究经过A(6,5),B(0,1)两点,且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上的圆的标准方程为　　　　　.?
解析:(方法一)(直接法)
由题意,得AB的中垂线方程为3x+2y-15=0.故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65. 探究一探究二思想方法(方法二)(待定系数法)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),解得a=7,b=-3,r2=65.
故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.
答案:(x-7)2+(y+3)2=65探究一探究二思想方法点与圆的位置关系
例2 (1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　)
A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定
(2)已知点M(5 )在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是　　　　　　　　　.?
思路分析:(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径,然后利用P到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系;(2)首先确定圆心和半径,利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解.
解析:(1)因为(m2)2+52=m4+25>24,所以点P在圆外.解得0≤a<1.
答案:(1)B　(2)[0,1)探究一探究二思想方法反思感悟点与圆的位置关系及其应用
点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.探究一探究二思想方法变式训练若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是(　　)
A.a<-1或a>1 B.-1C.0解析:由题意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,
故-1答案:B探究一探究二思想方法代入法求解与圆有关的轨迹问题
典例已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
解(1)设AP的中点为M(x0,y0),
由中点坐标公式可知点P坐标为(2x0-2,2y0).
因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x0-2)2+(2y0)2=4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x',y').在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2.
所以x'2+y'2+(x'-1)2+(y'-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.探究一探究二思想方法反思感悟求与圆有关的轨迹方程的方法
(1)直接法:根据题设条件直接列出方程;
(2)定义法:根据圆的定义写出方程;
(3)几何法:利用圆的性质列方程;
(4)代入法:找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.探究一探究二思想方法变式训练 设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.12341.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是 (　　)
A.5 B.3 C.4 D.2答案:A 12342.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为 (　　)
A.(x-2)2+(y+3)2=25
B.(x+2)2+(y-3)2=65
C.(x+2)2+(y-3)2=53
D.(x-2)2+(y+3)2=13
答案:D12343.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是　　　　　.?
解析:由题意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.
又m>0,故m的取值范围是(0,10).
答案:(0,10)12344.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为　　　　.?
解析:已知圆的圆心(-2,0)关于原点的对称点为(2,0),半径不变,故所求对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.
答案:(x-2)2+y2=5