课件39张PPT。第一章 空间几何体1.1 空间几何体的结构第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征一二三四一、空间几何体的定义、分类及相关概念
1.观察下面两组物体,你能说出各组物体的共同点吗?提示:(1)几何体的表面由若干个平面多边形组成.
(2)几何体的表面可由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成.一二三四2.如图,观察几何体,它有几个面?几个顶点?几条棱?有没有比它的面、顶点、棱更少的几何体?
提示:4个面,4个顶点,6条棱.没有比它的面、顶点、棱更少的几何体.
3.填空:
空间几何体的定义及分类
(1)定义:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.
(2)分类:常见的空间几何体有多面体与旋转体两类.一二三四4.填写下表: 一二三四一二三四二、棱柱的结构特征
1.观察下列多面体,有什么共同特点?
提示:(1)有两个面相互平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)其余各面中每相邻两个四边形的公共边都互相平行.一二三四2.有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱吗?举例说明.
提示:不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱.一二三四3.关于棱柱的定义、分类、图示及其表示,请填写下表: 一二三四4.做一做:
下列说法中,正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的其他侧面也是矩形
C.正方体的所有棱长都相等
D.棱柱的所有棱长都相等
解析:棱柱的侧面都是平行四边形,选项A错误;其他侧面可能是平行四边形,选项B错误;棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等,选项D错误;易知选项C正确.
答案:C一二三四三、棱锥的结构特征
1.观察下列多面体,有什么共同特点?
提示:(1)有一个面是多边形;(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.一二三四2.关于棱锥的定义、分类、图形及表示,请填写下表: 一二三四四、棱台的结构特征
1.观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系?
提示:(1)区别:该多面体有两个面相互平行而棱锥没有.
(2)联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间的部分即为棱台.一二三四2.观察下面的几何体是否为棱台?为什么?
提示:不是.因为延长各侧棱不能还原成棱锥.一二三四3.关于棱台的定义、分类、图形及表示,请填写下表: 一二三四4.做一做:下列几何体中, 是棱柱, 是棱锥,
是棱台(仅填相应序号).?解析:结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.
答案:①③④ ⑥ ⑤探究一探究二探究三思维辨析棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1 下列四个命题中,正确的有( )
①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面;②各个面都是三角形的几何体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;④四棱锥有4个顶点.
A.0个 B.1个 C.3个 D.4个探究一探究二探究三思维辨析思路分析:所给命题→联想空间图形→紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征→作出判断
解析:①错误,底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行,但不能作为底面;
②错误,如图所示的几何体各面均为三角形,但不是三棱锥;
③错误,因为不能保证侧棱相交于同一点;
④错误,四棱锥只有一个顶点,就是各侧面的公共顶点.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析反思感悟判断棱柱、棱锥、棱台形状的常用方法
(1)棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键.因此,在涉及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定义,再看它们是否具备各自的性质:侧面、底面形状、侧棱、棱之间的关系等.(2)判断时要充分发挥空间想象能力,必要时可借助于几何模型.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1下列说法正确的有 (填序号).?
①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共点;③棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形;④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点;⑤多面体至少有四个面.
解析:棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体,因而侧面是平行四边形,故①对.
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体,因而其侧面均是三角形,且所有侧面都有一个公共点,故②对.
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后,截面与底面之间的部分,因而其侧面均是梯形,且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点),故③错④对.⑤显然正确.因而正确的有①②④⑤.
答案:①②④⑤探究一探究二探究三思维辨析多面体的表面展开与折叠
例2 如图是三个几何体的表面展开图,请问它们是什么几何体?
思路分析:几何体的侧面展开图的特点→紧扣概念→还原为原几何体
解:①五棱柱;②五棱锥;③三棱台.如图所示.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟空间几何体展开图的解题策略
1.解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥直观想象能力和动手实践能力.
2.若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,再依次画出各侧面.
3.若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析:A,B,C中底面图形的边数与侧面的个数不一致,故不能围成棱柱.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析多面体表面距离最短问题
例3 如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,
∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.
思路分析:把三棱锥的侧面展开,当△AEF的各边在同一直线上时,其周长最小.探究一探究二探究三思维辨析解:将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,
如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,探究一探究二探究三思维辨析反思感悟“化曲为直”求最短距离
本题是多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开,再用平面几何的知识来求解.探究一探究二探究三思维辨析延伸探究如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在A,B之间的最短绳长.探究一探究二探究三思维辨析解:作出三棱锥的侧面展开图,如图.A,B两点之间的最短绳长就是线段AB的长度.因为OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B之间最短的绳长为5.探究一探究二探究三思维辨析一题多变——几何体的计算问题
典例正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2 ,求正三棱锥的高.
提示:正三棱锥?侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形?勾股定理求解.解:作出正三棱锥如图,SO为其高,连接AO,作OD⊥AB于点D,则点D为AB的中点.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析方法总结 1.正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高PO,底面为正方形,作PE⊥CD于E,则PE为斜高.
(1)斜高、侧棱构成直角三角形,如图1中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形,如图1中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形,如图1中Rt△POC.探究一探究二探究三思维辨析2.正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图2(以正四棱台为例),O1,O分别为上、下底面中心,作O1E1⊥B1C1于E1,OE⊥BC于E,则E1E为斜高,
(1)斜高、侧棱构成直角梯形,如图2中梯形E1ECC1.
(2)斜高、高构成直角梯形,如图2中梯形O1E1EO.
(3)高、侧棱构成直角梯形,如图2中梯形O1OCC1.探究一探究二探究三思维辨析变式训练 将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”,如何解答?
12341.有两个面平行的多面体不可能是( )
A.棱柱 B.棱锥
C.棱台 D.以上都不正确
解析:因为棱锥的任意两个面都相交, 所以不可能是棱锥.
答案:B12342.棱台不具备的性质是( )
A.两底面相似 B.侧面都是梯形
C.所有棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
答案:C12343.长方体的长、宽、高之比为5∶3∶2,对角线长为2 ,则其长、宽、高分别为 .?12344.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在正方体表面上,从顶点A到顶点C1的最短距离为 .?
解析:将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上,连接AC1,课件36张PPT。第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 简单组合体的结构特征一二三四五一、圆柱的结构特征
1.如图,矩形ABCD绕其边AB所在直线旋转一周,其余三边BC,CD,DA旋转各形成什么图形?共同围成什么空间几何体?
提示:边BC,DA旋转一周各形成一个圆面,边CD旋转一周形成一个曲面,它们共同围成一个圆柱.一二三四五2.如图,在圆柱中任取不重合的两条母线,如AB,CD,它们有何关系?过它们的截面是怎样的图形?连接AC,AC还是母线吗?
提示:AB∥CD,截面ABCD是矩形.AC不是母线.一二三四五3.关于圆柱的结构特征,请完成下表: 一二三四五二、圆锥的结构特征
1.如图,Rt△ABC绕其一直角边AC所在的直线旋转一周,其余两边BC,AB旋转各形成什么图形?它们共同围成什么空间几何体?
提示:边BC旋转一周形成一个圆面,边AB旋转一周形成一个曲面,它们共同围成一个圆锥.一二三四五2.如图,在圆锥中任取不重合的两条母线,如AB,AD,它们之间有何关系?过它们的截面是怎样的图形?
提示:AB与AD相交于点A,截面ABD是过顶点A的等腰三角形.一二三四五3.关于圆锥的结构特征,请完成下表: 一二三四五三、圆台的结构特征
1.如图,用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是什么几何体?
提示:圆台.一二三四五2.如图,直角梯形ABCD绕其垂直于底边的腰BC所在的直线旋转一周,腰AD与底边AB,CD旋转形成什么图形?它们共同围成什么几何体?
提示:腰AD旋转一周形成一个曲面,底边AB,CD各旋转一周形成一个圆面,它们共同围成一个圆台.一二三四五3.如图,在圆台中任取两条不重合的母线,如AD,EF,它们之间有何关系?过它们的截面是怎样的图形?连接AF,AF还是母线吗?
提示:AD与EF反向延长后交于一点.过AD,EF的截面是等腰梯形.AF不是母线.一二三四五4.关于圆台的结构特征,请完成下表: 一二三四五5.圆柱、圆锥、圆台的形状虽然不同,但是它们之间既有区别又有联系,并且在一定条件下可以相互转化,如图,你能根据所给图形描述一下它们之间是怎样相互转化的吗?
提示:当圆台的下底面保持不变,而上底面越来越大时,圆台就越来越接近于圆柱,当上底面增大到与下底面相同时,圆台就转化为圆柱;当圆台的上底面越来越小时,圆台就越来越接近于圆锥,当上底面收缩为一个点时,圆台就转化为圆锥了.一二三四五6.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱.( )
(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台.( )
(3)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.( )
答案:(1)× (2)× (3)×一二三四五四、球的结构特征
1.如图,把半圆绕其直径所在的直线旋转一周,半圆弧旋转形成什么图形?如果是把整个的圆绕其一条直径所在的直线旋转半周,圆弧旋转形成什么图形?它们各自围成什么空间几何体?
提示:半圆弧旋一周转形成一个球面,圆弧旋转形成的也是一个球面,它们围成的空间几何体都是球.一二三四五2.在球面上任取两点A,B,线段AB一定是球的直径吗?什么时候是直径?
提示:不一定.当线段AB过球心时是直径.
3.关于球的结构特征,请完成下表:一二三四五4.做一做:如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请把第一、第二排中相应的图形用线连起来.
答案:(1)—C (2)—B (3)—D (4)—A一二三四五五、简单组合体
1.下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗?它们是如何构成的?
提示:这两个空间几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体,而是由柱、锥、台、球体中的三种或两种组合而成的几何体.一二三四五2.填空:
(1)简单组合体的概念:由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.
(2)简单组合体的基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
3.做一做:将图甲所示的三角形绕直线l旋转一周,可以得到图乙所示的几何体的是 .(填序号)? 图甲 图乙
答案:②探究一探究二探究三思想方法旋转体的结构特征
例1下列命题正确的是 .(填序号)?
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥;
⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球;
⑥用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.探究一探究二探究三思想方法解析:①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥;②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台;③它们的底面为圆面;④⑤⑥正确.
答案:④⑤⑥
反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.探究一探究二探究三思想方法变式训练1给出下列说法:①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;③夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体.其中说法正确的是 .(填序号)?
解析:①正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;
②不正确,圆台的母线延长后必相交于一点;
③不正确,圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.
答案:①探究一探究二探究三思想方法组合体的结构特征
例2 描述下列几何体的结构特征.
思路分析:根据简单组合体的两种基本构成形式进行分析.
解:图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.探究一探究二探究三思想方法反思感悟简单组合体构成的判断技巧
(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征;
(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式;
(3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).探究一探究二探究三思想方法变式训练2如图(1)(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?探究一探究二探究三思想方法解:旋转后的图形如图所示.其中(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;(2)是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.探究一探究二探究三思想方法旋转体中的计算
例3如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O'O的母线长.探究一探究二探究三思想方法思路分析:过圆锥的轴作截面,利用三角形相似来解决.
解:设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.
过轴SO作截面,如图.探究一探究二探究三思想方法反思感悟旋转体中的计算问题解题策略
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程组而得解.这种立体问题平面化的思想是解答旋转体中计算问题的关键.探究一探究二探究三思想方法延伸探究本例中若圆台的上底面半径为1 cm,其他条件不变,试求圆台的高.解:∵圆台的上底面半径为1 cm,∴下底面半径为4 cm. 探究一探究二探究三思想方法转化与化归思想在空间几何体中的应用
典例如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在点A处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?
【审题视角】将圆柱的侧面沿母线剪开→侧面展开图→最短距离→计算求值探究一探究二探究三思想方法解:把圆柱的侧面沿AB剪开,然后展开成为矩形,如图,连接AB',则AB'即为蚂蚁爬行的最短距离.
∵AB=A'B'=2,AA'为底面圆的周长,且AA'=2π×1=2π,方法点睛求旋转体侧面上两点间的最短距离,一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解.12341.下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A.圆台 B.球 C.圆柱 D.棱柱
答案:B12342.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个长方体
解析:圆面绕着直径所在的轴旋转而形成球,矩形绕着轴旋转而形成圆柱.
答案:B12343.如图,蒙古包可以看作是由 和 构成的几何体.?
解析:上半部分为圆锥,下半部分为圆柱.
答案:圆锥 圆柱12344.若一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为 cm.?
解析:如图是圆锥的轴截面,则SA=20 cm,∠ASO=30°,
