1.1.1变化率问题 同步学案

高二数学 选修2—2 第一章 §1.1.1变化率问题
班级 姓名
学习目标
1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.
学习过程
一、课前准备：
※ 学习探究
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2：高台跳水，求平均速度
二、新课导学：
新知：平均变化率：
试试：设，是数轴上的一个定点，在数轴上另取一点，与的差记为，即
= 或者= ，就表示从到的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为，即= ；如果它们的比值，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.
反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.
※ 典型例题
例1、过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
变式：已知函数的图象上一点及邻近一点，则=
例2、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]
小结：
※ 动手试试
练习1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.

练习2. 已知函数，，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上及的平均变化率.
（发现：在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？
三、总结提升：
1.函数的平均变化率是
2.求函数的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量
（2）计算平均变化率
※ 知识拓展
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
课后作业
1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率中，Δx不可能是(　　)．
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
2．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为(　　)．
A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　)．
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
4．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________．
5．国家环保局在规定的排污达标的日期前，
对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果
如图所示．治污效果更好的企业是(其中W表示排污量)________．
6．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？
7．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．
选修2—2 第一章 §1.1.1变化率问题参考答案
1、答案　C
2、解析　＝＝＝Δx＋3.
答案　C
3、解析　＝＝＝4＋2Δx.
答案　C
4、解析　Δy＝－(2＋1)＝－.
答案　－
5、解析　＝，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好．
答案　甲企业
6、解　由题意，生产并售出x台机器所获得的利润是：
L(x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3x2－3x，故所求的平均利润为：L＝＝＝87(元)．
7、解　第一年婴儿体重平均变化率为＝0.625(千克/月)；
第二年婴儿体重平均变化率为＝0.25(千克/月)．