1.1.2~1.1.3导数的概念及几何意义 同步学案

高二数学 选修2—2 第一章 §1.1.2~§1.1.3导数的概念及几何意义
班级 姓名
学习目标
1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；
2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度;
3.通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.
学习过程
一、课前准备
复习：平均变化率 .
二、新课导学
1．瞬时速度：
物体在时的瞬时速度就是运动物体在到一段时间内的平均速度，当时的极限，即 .
2．导数的概念：
在处的导数的定义：一般地,在处的瞬时变化率是
我们称之为在处的 记作或即 .
注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0
(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率.
(4)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.
3．求导数的步骤：
①求函数的增量：
②求平均变化率：
③取极限，得导数：
上述求导方法可简记为：一差、二比、三极限。
探究任务：导数的几何意义
问题1：当点，沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋是什么？

新知：当割线P无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P 处的切线
割线的斜率是：
当点无限趋近于点P时，无限趋近于切线PT的斜率. 因此，函数在处的导数就是切线PT的斜率，即
新知：函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率.
即=
※ 典型例题
1．掌握求导方法:
例1、（1）以初速度为做竖直上抛运动的物体，秒时的高度为，求物体在时刻处的瞬时速度。
（2）求在到之间的平均变化率。
（3）设+1，求，，
2.掌握瞬时变化率的求法及实际意义：
例2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热。如果在第h时原油的温度为 ,计算第2 h和第6 h时，原油的瞬时变化率，并说明意义。
3．掌握导数定义及变形:
例3、（1）已知在处的导数为,求及的值。
（2）若,求的值.
例4、如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象.根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.
例5、求双曲线在点处的切线的斜率,并写出切线方程.
三、总结提升
※ 学习小结
1、瞬时速度v=；
2、导数的概念；
3、导数的几何意义：函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率. 即=,其切线方程为 .
课后作业
1．已知物体做自由落体运动的方程为s(t)＝gt2，若Δt→0时，无限趋近于9.8m/s，则正确的说法是(　　)
A．9.8m/s是物体在0～1s这段时间内的速度
B．9.8m/s是物体在1s～(1＋Δt)s这段时间内的速度
C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速度
D．9.8m/s是物体从1s～(1＋Δt)s这段时间内的平均速度
2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2s时，此木块在水平方向的瞬时速度为(　　)
A．1 B. C. D.
3．函数在某一点的导数是(　　)
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
4．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则 的值为(　　)
A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0
5．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为(　　)
A．30°　　 B．45° C．135° D．165°
6．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　)
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
7．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)
A．2 B．－1 C．1 D．－2
选修2—2 第一章 §1.1.2~§1.1.3导数的概念及几何意义参考答案
1、[答案]　C
[解析]　由瞬时速度的定义可知选C，某一时刻和某一时间段是两个不同的物理概念．
2、[答案]　C
[解析]　Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，＝＋Δt，
则s′|t＝2＝ ＝.故选C.
3、[答案]　C
4、[答案]　B
[解析]　 ＝2＝2 ＝2f′(x0)．
5、[答案]　B
[解析]　∵y＝x2－2，
∴y′＝ ＝ ＝ ＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选B.
6、[答案]　B
[解析]　切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.故选B.
7、[答案]　B
[解析]　根据导数的定义知f′(1)＝－1.故选B.