1.2导数的计算(1) 同步学案

高二数学 选修2—2 第一章 §1.2导数的计算(1)
班级 姓名
学习目标
复合函数的分解，求复合函数的导数；
掌握求函数的切线方程的两种类型。
学习过程
一、课前准备
1、默写基本初等函数的导数公式：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) 且；(8) .
2、默写两个函数的和(或差)积商的导数
； ； .二、新课导学
※ 学习探究
新知：复合函数的求导法则
一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作：
复合函数的求导法则：
两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：，其中u为中间变量.即： 对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
试试：=
※ 典型例题
例1 求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）（其中，均为常数）
变式：求下列函数的导数：
（1）； （2）
※ 学习评价
1．下列运算中正确的是（ ）


2．设则等于（ ）

3．曲线在点处的切线方程为 .
4．过原点作曲线的切线，则切点坐标为 ，切线的斜率为 .
三、总结提升
※ 学习小结
常见函数的导数公式：（必须熟记！）
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)且； (8).
两个函数的和(或差)积商的导数

一、基础训练题
课后作业
1．函数f(x)＝－10的导数是(　　)
A．0 B．负数 C．正数 D．不确定
2．若f(x)＝，则3f′(1)等于(　　)
A．0 B. C．1 D.
2．设函数f(x)＝sinx，则f′(0)等于(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．以上均不正确
4．下列各式中正确的是(　　)
A．(logax)′＝ B．(logax)′＝ C．(3x)′＝3x D．(3x)′＝3xln3
5．若y＝lnx，则其图象在x＝2处的切线斜率是(　　)
A．1　　　 B．0　　　 C．2　　　 D.
6．直线y＝x5的斜率等于5的切线的方程为(　　)
A．5x－y＋4＝0 B．x－y－4＝0
C．x－y＋4＝0或x－y－4＝0 D．5x－y＋4＝0或5x－y－4＝0
7．已知函数f(x)＝x3的切线斜率等于1，则切线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定
8．物体的运动方程为s＝t3，则物体在t＝1时的速度为________，在t＝4时的速度为________．
9．曲线y＝cosx在点P处的切线的斜率为______．
10．过点P(－2,0)作曲线y＝的切线，求切线方程．
11．已P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
12．求下列函数的导数．
(1)y＝＋； (2)y＝x3·10x； (3)y＝cosx·lnx； (4)y＝.
二、提高训练题
13．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为(　　)
A. B．π2 C．2π2 D.(2＋π)2
14．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N＋，则f2010(x)的值是(　　)
A．sinx　　　 B．－sinx C．cosx D．－cosx
15．曲线y＝lnx与x轴交点处的切线方程是____________________________．
16．设点P是y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．
选修2—2 第一章 §1.2导数的计算(1)参考答案
1、[答案]　A
2、[答案]　C
3、[答案]　A
[解析]　∵f′(x)＝(sinx)′＝cosx，
∴f′(0)＝cos0＝1.故选A.
4、[答案]　D
[解析]　根据公式知D正确．
5、[答案]　D
[解析]　∵y′＝，∴y′|x＝2＝，故图象在x＝2处的切线斜率为.
6、[答案]　D
[解析]　∵y′|x＝x0＝5x＝5，
∴x0＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．
又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x－y＋4＝0或5x－y－4＝0.故选D.
7、[答案]　B
[解析]　设切点为(x0，x)，∵f′(x)＝3x2，
∴k＝f′(x0)＝3x，即3x＝1，
∴x0＝±，
即在点和点处有斜率为1的切线，故选B.
8、[答案]　3　48
[解析]　s′＝3t2，s′|t＝1＝3，s′|t＝4＝48.
9、[答案]　－
[解析]　∵y′＝(cosx)′＝－sinx，
∴切线斜率k＝y′|x＝＝－sin＝－.
10、解 设切点为Q(x0，)，∵y′＝，
∴过点Q的切线斜率为：＝
∴x0＝2，∴切线方程为：y－＝(x－2)
即：x－2y＋2＝0.
11、解 　y＝x2的导数为y′＝2x，设切点M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0.
∵PQ的斜率k＝＝1，又切线平行于PQ，∴k＝y′|x＝x0＝2x0＝1.∴x0＝.
∴切点M.
∴切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
12、解　(1)y＝＋＝2x－2＋3x－3， y′＝－4x－3－9x－4.
(2)y′＝(x3)′·10x＋x3·(10x)′＝3x2·10x＋x3·10x·ln10.
(3)y′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋.
(4)y′＝＝.
13、[答案]　A
[解析]　曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的面积为.
14、[答案]　B
[解析]　依题意：f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，
f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，
按以上规律可知：f2010(x)＝f2(x)＝－sinx，故选B.
15、[答案]　y＝x－1
[解析]　∵曲线y＝lnx与x轴的交点为(1,0)
∴y′|x＝1＝1，切线的斜率为1，
所求切线方程为：y＝x－1.
16、解　根据题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝ex上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．
令P(x0，y0)，∵y′＝(ex)′＝ex，
∴由题意得ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最短距离为.